基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识.pdf

第2 7 卷第1期2024年2 月扬州大学学报（自然科学版）Journal of Yangzhou University(Natural Science Edition)Vol.27 No.1Feb.2024基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识周士博，杨浩，杨岳松，李峰1*，曹晴峰（1.江苏理工学院电气信息工程学院，江苏常州2 130 0 1；2.扬州大学电气与能源动力工程学院，江苏扬州2 2 512 7）摘要：针对噪声干扰条件下的Wiener-Hammerstein系统，提出一种基于组合信号的两阶段辨识算法用于辨识Wiener-Hammerstein系统各个环节参数.利用自回归（autoregressive，A R）模型和有限脉冲响应（fin ite im p u ls e r e s p o n s e，FI R）模型分别建立Wiener-Hammerstein系统的输人和输出线性环节，利用多项式模型建立非线性环节.在第一阶段，基于高斯信号的输入和输出，采用相关性分析方法辨识Wiener-Hammerstein系统中输人和输出线性环节的参数，有效解决了中间变量不可测的问题.在第二阶段，基于随机信号的输入和输出数据，利用递推最小二乘法辨识非线性环节参数.仿真结果表明，提出的两阶段方法能够有效辨识Wiener-Hammerstein系统，与其他辨识方法相比，辨识精度有所提高.关键词：Wiener-Hammerstein系统；组合式信号；相关分析法；递推最小二乘法中图分类号：TP273.3D0I:10.19411/j.1007-824x.2024.01.006文献标志码：A文章编号：10 0 7-8 2 4X(2024)01-0041-06Wiener-Hammerstein系统是一类典型的非线性动态系统，由输人动态线性环节、输人静态非线性环节以及输出动态线性环节级联而成，该系统可用于描述许多实际非线性系统，如电刺激骨骼肌肉模型1、热交换器2 以及连续搅拌反应釜3等.Wiener-Hammerstein系统的辨识算法研究在国内外均受到广泛关注.其辨识原理是建立系统各个串联环节的数学模型，基于测量的输入输出数据，利用优化方法求解各环节的参数.典型的辨识方法包括送代辨识法4、直接辨辩识法5 和频域法6 等.此外，针对具有非高斯输人的Wiener-Hammerstein系统，Wong等7 利用最佳线性逼近理论研究了该系统的参数辨识；Sjoberga等8 1提出了一种基于极大似然法和迭代搜索理论的Wiener-Hammerstein 系统辨识方法.在实际工业生产过程中，系统往往受到噪声干扰，因此研究噪声干扰条件下的Wiener-Ham-merstein系统辨识算法具有重要意义.基于分数阶理论，Giuseppe等9 研究了Wiener-Hammerstein系统的牛顿迭代辨识方法，并证明了其收敛性；Zong等1o1将辅助变量技术和多新息理论相结合，利用粒子群优化方法辨识噪声干扰下的Wiener-Hammerstein系统参数；Li等11利用滤波器增益和新型代价函数方法研究了受噪声污染影响的Wiener-Hammerstein系统参数辨识.在上述方法中，虽然考虑了噪声的干扰，但所提出的辨识方法存在各个串联环节参数的乘积项，须进一步分离参数，增加了计算复杂度.故本文提出一种基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识方法.拟采用相关分析方法辨识输人和输出动态线性环节模型，利用多项式对非线性环节建模，以解决中间变量不可测问题，并利用递推最小二乘算法辨识非线性环节参数，以提高辨识精度.1Wiener-Hammerstein 系统考虑一类噪声干扰的Wiener-Hammerstein系统，由输人动态线性环节G（），静态非线性环收稿日期：2 0 2 3-10-0 7.*联系人，E-mail：life n g js u t.e d u.c n.基金项目：国家自然科学基金资助项目（6 2 0 0 3151)；江苏省自然科学基金资助项目（BK20191035）；江苏高校“青蓝工程”资助项目；常州市科技计划资助项目（CJ20220065）；江苏省研究生实践创新计划资助项目（SJCX23_1614）；江苏理工学院研究生实践创新计划资助项目（XSJCX23_19).引文格式：周士博，杨浩，杨岳松，等基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识J。扬州大学学报（自然科学版），2023,27(1):41-46.(1)42节f（）以及输出动态线性环节H（）组成.该系统的输人、输出关系可以表示为式中，t表示时间序列；u(t)和y(t)分别为系统的输人和输出；(t)和(t)分别表示静态非线性环节的输入和输出；m(t)表示输出动态线性环节的输出；e(t)表示白噪声；静态非线性环节f(u(t)=入(t)十十入u（t)，其中入1，入是多项式模型系数；输人动态线性环节G(q）=1/A(q)，输出动态线性环节H(q)=B(q），其中A(q)=1+aiq-1+.+an.q-a，B(q)=b i q-1+b mq-，q 是移位算子，na和nb是阶次，ai，a n。是A（q）的未知参数，bi，b n 是B（q）的未知参数.具体的Wiener-Hammerstein系统结构如图1所示.u(t)根据给定的阈值e，建立噪声干扰下的Wiener-Hammerstein系统，即求解满足如下公式和约束条件的参数：JC7.(a),H(),2,5(0)-(0s.t.m(t)=H(q)之(t),(y(t)=m(t)+e(t).式中，子为静态非线性环节的估计，G(q)和H(q)分别为输人和输出动态线性环节的估计，Np为时间序列的长度，(t)和之(t)分别为动态线性环节和静态非线性环节的输出估计值，(t)为输出线性环节的输出估计值，(t)为Wiener-Hammerstein系统的输出估计值.2Wiener-Hammerstein 系统辨识本文设计的组合信号由可分离信号和随机信号组成，利用组合信号实现Wiener-Hammerstein系统的输入、输出动态线性环节和静态非线性环节分离辨识。根据文献12，对于Wiener非线性系统，当输入信号为高斯信号，则存在常数b。使输入和输出变量的互相关函数Ru（t)=b.G(q)R（t)，式中R（t)为输入变量的自相关函数，为时间变量.由此可知，当系统输入为可分离信号，且存在常数b。的情况下，系统的中间不可测变量（t)的互协方差函数R（t)可以用输入变量u(t)的自协方差函数R（t)代替，解决中间变量不可测的问题，从而实现静态非线性环节和动态线性环节参数的分离辨识.由此拓展到Wiener-Hammerstein系统中，有如下关系式成立：Ru（t)=b o G(q)H(q)R（t).2.1输入输出动态线性环节辨识根据上述所描述的互相关函数与自相关函数的线性关系，当输入高斯信号时，可采用相关分析法13辨识Wiener-Hammerstein系统动态线性环节参数.对于Wiener-Hammerstein输出误差系统，(t)满足可分离信号条件，故对于中间变量(t）、之(t)的互相关函数以及(t)的自相关函数存在如下关系：R（t)=b.R（t)，式中R（t)为(t)和(t)的互相关函数，R（t)为(t)的自相关函数.对扬州大学学报（自然科学版）(u(t)=G(q)u(t),z(t)=f(v(t),m(t)=H(q)z(t),(y(t)=m(t)+e(t).1v(t)1+a.q+.+an.q图1噪声干扰下的Wiener-Hammerstein系统图Fig.1 Diagram of Wiener-Hammerstein system with noise(i(t)=G(q)u(t),之(t)=于(t),第2 7 卷e(t)2(t)m(t)iv(t)+.+,v(t)biq+bn.q(t)第1期于输入动态线性环节G(q)，可以写成无限脉冲响应形式：(t）=G(q)u(t）=,g(k)q u(t）=ng(k)u(t-k).将上式分别带人R(t）和 R.(t）中，可得 R(t)=E(t)(tt)）=E(t)Z1g(k)u(t-t-k)=Z1g(k)R(r+k)=1g(k)dR(t),R(2)=E(u(0)(t-t)=E(Z-ig(k)u(t-k)Zig(e)u(t-t-)=ZZig(k)R.(t+$-k)g(e)=Z.g(e)qR(t).g(k)*，式中E(.）是数学期望，对于同一个线性环节，Z1g(k)与1g(E)qi是等价的.故R(t)=b=1g(k)q*R(t)=bG(q)R(t)。由于y(t)=H(q)(t)+e(t)，计算u(t)和y(t)的互相关函数，可得 R（t）=E(H(q)z(t)u(t 一t)）十E(e(t)u(t一t)）=E(H(g)(0)u(t-)=H(a)Ra(t)=bG(a)H(a)R(7),即Ru()=b+a+2,-*R(t).由上式可得R(t)(1+,aq)=bo（b,q)R.(t)，故R(t）=-a,R(-i）+,b b,R（-j).将上式写成回归形式R=，定义准则函数J(0）=IR-l ，对求偏导数得到(2)式中-aan，b o b i，,bob,，a i,an为输人线性环节未知参数的估计值，bi，,b为输出线性环节未知参数的估计值；R=R（1),R（2)，,R（P)为互相关函数组成的向量，P=na十n；相关函数矩阵-Ry()-R(1)R(2)-R.(P-1)0-R(0)-R(1)00R.(0)R.(1)0R.(0)002.2静态非线性环节辨识基于随机信号的输入、输出数据，估计静态非线性环节的参数,=入1，入,，根据Wiener-Hammerstein系统表达式可得y(t）=a,b j u （t 一j）+e(t)将其改写成回归形式y(t）=pT(t)o,+e(t),式中信息向量p(t)=(t-1),(t-1),(t-1),(t-n),(t-n),(t-n)，混合参数向量x=b,bi,b,ba,T.定义均方准则函数J（）=(t）一(t)，对求偏导数得到2(t)(t）(t),.令偏导数为0，可得,的最小二乘估计为，=(t)(t)(t)(t)定义协方差矩阵Q-（t）=Q-（t 1）十(t)（t)，则最小二乘估计可表示为：(t)=Q(t)Q-(t-1)(t-1)+(t)y(t)=Q(t)Q-(t)-(t)pT(t)J,(t-1)+Q(t)p(t)y(t)=;(t-1)+Q(t)(t)Ey(t)-p(t);(t-1).定义向量L(t）=Q(t)(t)，将矩阵可逆原理应用于Q-(t）=Q-1（t-1)十(t)T(t)和L(t)=Q(t)(t)，得到递推最小二乘辨识方法：周士博等：基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识-R(P-na)ER(na+n)XPR.(2)R.(P-1)R.(1)R,(P-2)0Ru(P-nb)43brq+bn,q=Ry(yy)-ly,-Ru(P-2)：04431仿真实验3.1数值仿真为了证明辨识方法的有效性，将本文方法运用到Wiener-Hammerstein系统中，考虑如下Wiener-Hammerstein 系统:系统的信噪比SNR=Vvar(e(t)/var(y(t)一e(t)）10 0%，式中，var（）表示方差函数，参数误差=0(t)-0(t)I/(t)Il.仿真实验中，选择30 0 0 组均值为0，方差为0.2 5的高斯信号和2 0 0 0 组0，2 范围内的随机信号作为Wiener-Hammerstein系统的输人.先利用高斯信号的输人和相应的输出辨识AR模型和FIR模型的参数，然后，基于设计的随机信号，利用递推最小二乘方法辨识多项式模型的未知参数.表1列出了不同信噪比下AR模型和FIR模型的参数辨辩识结果.由表1可知，当信噪比为9.42%时，AR模型和FIR模型参数的估计值与真实值较接近；当信噪比为18.12%时，系统的噪声干扰增加，此时AR模型和FIR模型的参数估计值误差变大，说明噪声对参数辨辩识结果有一定影响.此外，当信噪比一定时，AR模型和FIR模型参数的估计精度随着t值增加而提高.参数辨识结果的估计误差如图2 所示.由图2 可知，输人、输出动态线性环节的参数误差随着t值增加而减小，当t值达到10 0 0 时，参数估计误差曲线较稳定.因此，本文提出的方法能够有效辨识Wiener-Hammerstein系统.为了说明本文所提出的两阶段辨识方法的有效性，将文献14中的多新息随机梯度方法用于非线性环节的拟合，与本文的递推最小二乘方法进行对比实验.图3给出了两种辨识方法的拟合结果.图中横纵坐标分别为Wiener-Hammerstein系统静态非线性环节的输人和输出.由图3可见，本文辨识方法具有更好的拟合效果.其均方误差为0.0 0 50，最大绝对误差为0.0 6 33，文献14中方法的均方误差为0.0 2 37，最大绝对误差为0.1141.3.2过程仿真以pH中和过程为对象进行仿真实验15，采用扬州大学学报（自然科学版）(t)=(t-1)+L(t)y(t)-pT(t);(t-1),L(0)=1+000(1)9(0Q(t-1)(t)Q(t)=I-L(t)T(t)Q(t-1).(t)=u(t)/(1-0.8q-1+0.6q-),z(t)=2.42(t)+1.75(t)-0.83(t),m(t)=(0.7q-1-0.4g-2)z(t),(y(t)=m(t)+e(t).1.00.80.60.40.20.00图2 不同信噪比下输入、输出动态线性环节估计误差Fig.2Estimation error for input and outputdynamic linear link with different SNR第2 7 卷(3)表1输入、输出动态线性环节参数辨识结果Tab.1 Parameter identification results forinput and output dynamic linear linkSNRt值600-0.81500.61370.6777-0.398512000.80440.59529.42%18002400300060012000.79980.603618.12%18000.79840.60572400-0.79870.60893000-0.80250.6062真实值-0.80000.60005001 00015002.0002.5003000值a10.80450.60390.79600.60220.6837-0.3949-0.799.20.6033-0.80760.5876a2610.684.8-0.41470.6836-0.40420.6848-0.39420.6732-0.41220.6862-0.39080.6980-0.39490.7029-0.39210.7054-0.39800.7000-0.4000SNR=9.42%.-SNR=18.12%62第1期盐酸中和生产设备中的碱性废水，通过调节盐酸的流量控制中和槽的pH值，中和过程可以表示为：Fout=FHCL+FNaOH,VdXHCL/dt=FHCLCoHCL-FoutCHCL,VdXNaOH/dt=FNaOHCoNaOH-Fout CNaOH,dQ/dt=FHCLCHCL-FNaOHCNaOH-(FHcL+FNaOH)Q/V,Q=10-m-10Fw,式中，FHcL和FNaOH分别表示HCI和NaOH的流速，Fout表示酸碱中和的输出流速，CHCL和CNaOH分别为HCI和NaOH的浓度，Q为过程的中间变量，m为pH值，其他具体参数如表2 所示.假设AR模型和FIR模型的阶次为1，多项式模型阶次为5，利用50 0 组均值为0，方差为0.52 的高斯信号和2 0 0 0 组0，5的随机信号辨识Wiener-Hammerstein系统，得到 Wiener-Hammerstein 系统输人和输出线性环节的参数估计值分别为0.9 8 2 2 和0.0942，非线性环节的参数向量估计值为0.0 0 7 3，-0.3203,0.0778,0.3308,0.1215.根据辨识得到的Wiener-Hammerstein系统，设计如图4所示的pH过程控制系统，其中PI控制器表达式为u(t)=u(t-1)+K.ei(t)-ei(t一1)十ei(t)/t;，式中ei（t)为设定值yp与Wiener-Hammerstein系统输出 y(t)之间的误差，比例调节系数K。=0.0 5，积分调节系数ti=10.仿真研究中，选择不同pH值作为控制目标，控制结果如图5所示.由图5可知，随着pH值的变化，所设计的基于Wiener-Hammerstein系统的控制系统能够较好地跟踪pH值的输出.4结论本文提出了一种基于组合信号源Wiener-Ham-merstein输出误差系统辨识算法.在研究中，系统的非线性环节采用多项式模型拟合，输人、输出线性环节分别利用AR模型和FIR模型建立.首先，分析了高斯信号在线性系统下的统计特性，利用相关分析法辨识输入、输出线性环节参数，解决了中间变量信息不可测问题.此外，利用递推最小二乘算法辨识出非线性环节参数，提高了辩识精度.参考文献：1BAI E W,CAI Zhijun,DUDLEY-JAVOROSK S,et al.Identification of a modified Wiener-Hammerstein system andits application in electrically stimulated paralyzed skeletal muscle modeling JJ.Automatica,2009,45(3):736-743.2LAWRYNCZUK M.Nonlinear predictive control of dynamic systems represented by Wiener-Hammerstein mod-周士博等：基于组合信号的Wiener-Hammerstein系统辨识uSP参考轨迹图4基于Wiener-Hammerstein系统的控制系统Fig.4 Control system based on the Wiener-Hammerstein system8.58.07.5JHd7.06.56.05.50Fig.5Control results of pH value456r42N0-2-4-6-1图3静态非线性环节的拟合结果对比Fig.3 Fitting results comparison ofstatic nonlinear link表2 过程参数Tab.2Process parameters参数名称/单位反应器容积V/LHCI初始浓度 coHc/(mol L-1)NaOH初始浓度coNaOH/(mol L-1)HCI流速FHCL/(L s-1)NaOH流速FNaOH/(L s-1)固定参数FWPI控制器pH中和过程G(g)F（）Wiener-Hammerstein系统一设定值一提出的方法100200值图5pH值的控制结果实际输出递推最小二乘法文献14的方法-01V3002H(Q）4003数值20.0010.0100.00670.005010-14500446els JJ.Nonlinear Dyn,2016,86(2):1193-1214.3SKRJANC I.An evolving concept in the identification of an interval fuzzy model of Wiener-Hammerstein nonlin-ear dynamic systems JJ.Int J Control,2021,581:73-87.4SHAIKH M,BARBE K.Study of random forest to identify Wiener-Hammerstein system JI.IEEE Trans In-strum Meas,2021,70:1-12.5ANDONOVSKI G,LUGHOFER E,SKRJANC I.Evolving fuzzy model identification of nonlinear Wiener-Hammerstein processes JJ.IEEE Access,2021,9:158470-158480.6SHAIKH M A,BARBE K.Wiener-Hammerstein system identification:a fast approach through spearman cor-relation JJ.IEEE Trans Instrum Meas,2019,68(5):1628-1636.7WONG H K,SCHOUKENS J,GODFREY K R.Analysis of best linear approximation of a Wiener-Hammer-stein system for arbitrary amplitude distributions JJ.IEEE Trans Instrum Meas,2012,61(3):645-654.8SJOBERGA J,LAUWERSB 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establish theinput and output linear components of the Wiener-Hammerstein system,and the polynomial model isutilized to establish the nonlinear components.The Wiener-Hammerstein system consists of two dynamiclinear links and a static nonlinear link in series.In the first stage,based on the input-output ofGaussian signals,the correlation analysis method is utilized to identify the parameters of the inputand output linear links in the Wiener-Hammerstein system,which effectively solves the problem ofunmeasurable intermediate variables.In the second stage,based on the input-output data of randomsignals,the recursive least square method is used to identify the nonlinear link parameters.Simula-tion results show that compared with other identification methods,the proposed two-stage methodcan effectively identify the Wiener-Hammerstein system,and improve the identification accuracy.Keywords:Wiener-Hammerstein system;combined signals;correlation analysis;recursive leastsquares method(责任编辑文采）