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第2 7 卷第2 期2024年4月扬州大学学报（自然科学版）Journal of Yangzhou University(Natural Science Edition)Vol.27 No.2Apr.2024具非局部扩散和反应项的自由边界问题张羽，周玲*（扬州大学数学科学学院，江苏扬州，2 2 50 0 2）摘要：针对一个具有非局部扩散和反应项的自由边界问题进行研究，证明其解的存在唯一性，并运用迭代法研究解的渐近行为特别地，当扩散发生时，证明了系统存在唯一正解，且在紧开拓扑意义下全局渐近稳定，表明弱竞争时两个种群能够最终共存.关键词：非局部扩散；非局部反应；自由边界条件中图分类号：0 2 9；0 17 5.2D0I:10.19411/j.1007-824x.2024.02.011反应扩散系统在生命科学1-3、物理和生物4-6 等领域得到广泛应用。近年来，为了更好地模拟种群个体对食物和资源的竞争，研究者将非局部项引入到反应扩散系统中。2 0 19 年，Zhao等7 研究了具有非局部反应的竞争系统，(u,-diur=u1+u-u-(1+-)(*u)-ko,t0,0a0,0a0,h(0)=ho,u(0,)=uo(),0ho,(u(0,)=U(),00,0a0,00,h(t),Ch(t)h(t):=。J(a-y)u(t,a)dyda,t0,a=h(t),Jt)h(0)=ho,u(O,)=uo(),0ho,(u(0,)=(),0+8,其中u表示入侵物种的种群密度；u表示原物种的种群密度；u，k，h，h o,d.（i=1,2）都是正常数；=h（t）表示移动边界；u表示种群聚集的衡量标准；一u代表了空间竞争；非局部项（1十一)（u）代表入侵种群对资源的竞争，这里和都是正数且满足 0；非负偶函数J满足初始条件满足uo E C(o,ho),u。(0)=u o(h o)=O,Eo,ho)时,uo()0,lU E C(R+)n L(R+),。(0)=0,E R+时,o()0.本文主要研究方程（1）解的存在唯一性，以及在弱竞争情形下（0 k，h 1）当扩散发生时两个物种的渐近行为。1(u,v)的渐近行为首先，我们证明方程（1）解的存在唯一性。定理1 方程(1)存在唯一解(u(t,),u(t,),h(t)，满足u,u,E C(R+O,h(t)，U,U EC(R+XR+),h E Ci(0,+),且0uM:=max l ullco.,)0.g(+/&+4p),a e 0,h(t),t e(0,+o0),0uM2:=max(Il v (rt),1),E 0,+00),t E(0,+00).证明存在唯一性证明见文献8 中定理2.1，在此不做赞述下证式（4)令(t）是问题u=u(l+u一u)，的解由比较原理可知，对于任意tE（o,T，Eo,h(t)），u(t,）0,0+,(0,)=Uo,0+8,故(t,)max(I Uo ll L(Rt),1):=M2.证毕.令h:=lim+h（t）+o o，下面分析两种情形下解的渐近行为：熄灭情形（h十oo）和扩散情形(h=+8).1.1熄灭情形(h。+8)对于函数C(0,)，设0 l O,E(o,l),(u(t,0)=0,u(o,)=uo(x),E(o,l),其中f(u）=u 1十u一u（1十)（)，且f（0）=l.下面介绍一个重要结论，用于解的唯一性的证明。推论1（9 命题3.5）问题(5）有唯一正稳态解u(o.）EC(0,l）当且仅当对任意t0，问题（5）有唯一解u(t,)，且当入（G(o.)十1)0 时，lim=+u(t,）=u(o.)；当i(G(o.)+1)0时,lim-+u(t,)=0.扬州大学学报（自然科学版）g(y)u(t，y)d y(一y)u(t,y)dy，其中函数连续且满足(）:=J EC(R)nL(R),J()O,1(2)(3)(4)J(-y)s(y)dy-(5)入i(G(0.1)+1)0.(6)第2 7 卷J()dx=1.第2 期定理2令（u，,h）是问题（1）的解，若h十，则在o，十o）的任意紧子集上，u,满足lim+ll(t,)Il c(Co.h()=0,(7)limi+u(t,)=1.（8)证明易知u满足ch(t)u0,00,(u(O,)=uo(),0ho时（）=O 令(t,）为问题Ch(t)u,=JaJ(-y)u(t,y)dy-du(t,)+u1+au-u-(1+-)(*u),(u(o,)=uo()较原理，得0 u（t,）u(t)；随后根据文献9 中的定理3.7，可得入（G(o.）十1)0,loI=）-1是常微分方程)0，h(t)时u(t,）三0.结合式（7)，对任意给定的0 0，使得当tT。且Eo，十时，有u(t,）0，L0，可得满足,d2。J(-y)v(t,y)d y-d 2(t,)+v(l-ho),t T,00,(t,0)=0,tT。,uT,)0,0le,根据推论1，在o,L上，我们推出lim+inf(t，）1h一由于。和L的任意性，故在o，十o）的任意紧子集上有limi+.infu(t，）1一ho由于是任意的，则lim-+inf(t，）1.因此，在0，十）的任意紧子集上lim-+(t,）=1.1.2#扩散情形(h。=+8)考虑弱竞争情形0 k，h 1，令mo:=0.5V（k h-1+)+4(1-k）+（k h-1+)，易知（mo，1一hm。）是问题（1）的唯一正常值平衡解。进一步，我们假设，满足0h/(m。-)1,0 (1+-)/(m。)0,00,00,0a+8.为了研究弱竞争情形下方程解的渐近行为，下面给出一个重要引理，其证明类似文献7 中引张羽等：具非局部扩散和反应项的自由边界问题75的解。首先由比的解.由lim+(t)=1，得lim,+sup(t,(9)(10)76理3.4 和3.5.引理1假设（u，,w,h）满足方程（10)，对任意正常数A，若在，十）的任意紧子集上u(t，)满足 limi+oinfu(t,)A(limi+o supu(t,z)A),则(t,c)满足 lim+inf(t,)A(lim,+supw(t,)A).以下运用迭代法证明弱竞争情形下（u，）的渐近行为.定理3假设0 ,h1.令,满足式（9）且0 0，0，且 h=十，存在Ti1使得h(t)le，V t T i，Eo,l.注意到w0且h(t)udijaJ(-y)u(t,y)dy-diu(t,)+u(l+au-u),tTi,o,l.,0，故u满足由(u(t,l)0,故lim+supu(t,)0.5(V+4+)+e,uEo,.由和L的任意性，可得在，十）的任意紧子集上，(11)进一步地，我们可以得到m十am十1=0.由0 2/(V+4(1+）一）=1,且mi2/(V+4(-)-)=()-1(mo一)-1.此外，根据方程（9)，若0 h1，则mo0.5（k h-1+)4(1-kh）（k h 1+）=1，且一m十（kh一1十)m十1一k=0.进一步地，我们有m一mi-k十khm。十(m。一mi).若0 h-1，故mo十ml一-10.结合式（13），得mo0，0 1，0 0，当h=+时，存在T1,使得u(t,)m+,h(t)le，tT，Eo,ll.故满足 d J(-y)o(t,y)dy-d2(t,)+1-h(mi+),tT,E o,l.,(u(t,le)0,tT3,由于在o，l上(T,)0，故在o,L上有lim+inf(t,)1-h(m+)一.由L,和的任意性，可得在0，十）的任意紧子集上有lim+inf（t，）1一hm1:=U1：根据式（9）和（12）可得i=1hm11-h/（m。一）0.接下来的迭代与文献7 中定理3.6 的证明类似，这里不再赞述.综上，我们由迭代法得到6 个函数列（u），（），（w），u)，），），分别满足如下等式：i=mi,i=1hmi,i=0.5-1(/+41-k-(1+-)miJ+),w=u,w,=ui,0,=1-hu,=1-hui-,;=0.5(/+4L1-(1+-)w;-kuJ+),=0.5(+41-(1+-)i-koJ+),i=2,3,.扬州大学学报（自然科学版）lim-+sup u(t,c)0.5-l(V+4+):=m1,(mo+mi 一-1)(moml)k(-1+hmo)0.第2 7 卷(12)(14)第2 期第二步，运用单调有界定理证明序列收敛.首先，利用归纳法证明(u)和(u.)是有界序列当i=1时，uimoui，假设umou,对j=1,2,3,i-1成立，下证u;mou;成立.由第一步迭代，有?一m=u一（1十一)ui-1十khui-1(kh-1十)m=（u i m）（1十一)（u i-一mo）十kh（u i-i 一mo），计算可得(u;十mo-1)(u;-mo）=-(1+-)(ui-1-mo）+k h(u i-1-mo)-l,故u;mo.同时，由第一步的迭代，um=u;一（1十)u;十khui-1一（kh1十)mo=（u;一mo）一（1十-)(u;-mo)+kh(ui-1-mo).因为ui0，可得u,mo.因此，对任意的il，都有umoui.随后，证明序列（u)关于i是递增的，（u)关于i是递减的。易知uz一Bui=（u z 一u）一（1十-)(ui-mi）+k h u i.因为i0，因此我们可以得到uul.同理可得z.假设,u j-1对j=2,3,i-1成立，下证u,u i-i 成立.计算可得u?u-=(u;ui-1）（1十)（u i-1i-2）十kh(ui-ui-2）因为,-1对j=2,3,i-1成立，所以(u+-)(-)=（1+)(ui-1ui-2)+kh(ui-1-ui-2)0.故u,ui-1.同理可得u,mo-，由式(9)知0 1+-+khmo-，表明H=H:=H，即H满足-H十(kh-1十)H十1-k=0，故limiu;=lim;u;=H=mo.结合第一步迭代结果，在0,)的任意紧子集上，limu(t,)=mo，l i m-(t,）=1一hmo.综上，问题(1)解的全局存在唯一性得证，且在弱竞争情形下，若物种扩散成功，则我们证明了两竞争物种局部一致收敛到常值稳态解。参考文献：12ZHAO Meng,LI Wantong,DU Yihong.The effect of nonlocal reaction in an epidemic model with nonlocal dif-fusion and free boundaries J.Commun Pur Appl Anal,2020,19(9):4599-4620.2DU Yihong,LIN Zhigui.Spreading-vanishing dichotomy in the diffusive logistic model with a free boundary EJJ.SIAMJ Math Anal,2010,42(1):377-405.3ZHAO Yaling,LIU Zuhan,ZHOU Ling.Dynamics for a nonlocal reaction-diffusion population model with afree boundary J.Acta Appl Math,2019,159:139-168.4DENG Keng.On a nonlocal reaction-diffusion population model LJJ.Discrete Contin Dyn Syst Ser B,2008,9(1):65-73.5CAO Jiafeng,LI Wantong,WANG Jie,et al.The dynamics of a lotka-volterra competition model with nonlocaldiffusion and free boundaries JJ.Adv Differ Equ,2021,26:163-200.6WANG Mingxin.On some free boundary problems of the prey-predator model JJ.J Differ Equ,2014,256:3365-3394.7ZHAO Yaling,LIU Zuhan,ZHOU Ling.Dynamics for a nonlocal competition system with a free boundary JJ.Appl Anal,2019,98(14):2559-2588.8ZHANG Weiyi,ZHOU Ling.Global asymptotic stability of constant equilibrium in a nonlocal diffusion competi-tion model with free boundaries J.Discrete Contin Dyn Syst Ser B,2022,27(12):7745-7782.9CAO Jiafeng,DU Yihong,LI Fang,et al.The dynamics of a Fisher-KPP nonlocal diffusion model with free张羽等：具非局部扩散和反应项的自由边界问题7778boundaries J.J Funct Anal,2019,277:2772-2814.1oJ WANG Mingxin,ZHAO Jingfu.A free boundary problem for the predator-prey model with double free bound-aries JJ.J Dyn Differ Equ,2017,29:957-979.扬州大学学报（自然科学版）第2 7 卷Free boundary problems with nonlocal diffusion and reaction termsZHANG Yu,ZHOU Ling*(College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract:In this paper,the author studies a free boundary problem with nonlocal diffusion and re-action terms,proves the existence and uniqueness of the solution,and uses iterative method tostudy the asymptotic behavior of the solution.In particular,when diffusion occurs,it is proved thatthe system has a unique positive solution and is globally asymptotically stable in the sense of com-pact expansion,indicating that two populations can eventually coexist under weak competition.Keywords:Nonlocal diffusion;Nonlocal reaction;Free boundaries（责任编辑金朝阳）(上接第 7 2 页）Stochastic dynamics of an SIS epidemic model with resource constraintsLI Zhengyi,FENG Tao*(College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract:To investigate the influence of environmental stochasticity on the dynamics of epidemicspread,a stochastic susceptible-infectious-susceptible(SIS)epidemiological model with resourceconstraints is constructed by using stochastic differential equations.Firstly,the existence anduniqueness of the global positive solutions of the stochastic epidemic model are proven by construc-ting Lyapunov function.Utilizing numerical simulation methods,the probability and duration ofepidemic extinction are analyzed under various scenarios.The results show that the intensity ofenvironmental stochasticity is positively correlated with the extinction probability of epidemic,andnegatively correlated with the extinction time of epidemic.Specifically,when the scale of infectivesapproaches the boundary of an attractor basin,epidemic extinction is more likely to occur.Thetheoretical framework proposed in this study can be extended to the study of other epidemic models.Keywords:epidemic model;extinction;environmental stochasticity;resource constraints（责任编辑金朝阳）