几类Wiener过程相交局部时的小偏差估计.pdf
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1、 15 玉溪师范学院学报(第39卷)2023年第6期 Journal of Yuxi Normal University Vol.39 No.6 Nov.2023几类 Wiener 过程相交局部时的小偏差估计林珑珑1,梁明杰2a(1.福建师范大学 数学与统计学院,福建 福州 350117;2.三明学院 信息工程学院,福建 三明 365004)关键词Wiener 过程;相交局部时;小偏差.摘 要探讨了几类 Wiener 过程相交局部时的小偏差估计及相关问题.特别的,首次建立了两指标 Wiener 过程相交局部时的小偏差估计,为相关单指标 Wiener 过程相交局部时研究推广至多指标情形提供了丰富
2、样例与技术参考.中图分类号 O211.62 文献标识码 A 文章编号1009-9506(2023)06-0015-06随机过程的相交局部时有着十分丰富的研究史,它起源于数学物理工作者对随机过程样本轨道交叉的关注,具体可参见文献 1.事实上,随机过程的相交局部时与量子场论的重整化群方法、自回避随机游动模型及随机聚合物理论等有着密切联系2-6.特别的,随机过程样本轨道交叉所产生的有关偏差已被应用于相关物理模型的研究,例如聚合物模型中某些临界指数的识别7、抛物型 Anderson 模型间歇性分析8等.布朗运动作为单指标随机过程的重要代表,其相交局部时及相关理论已被众多学者深入研究.相较于此,多指标随
3、机过程的相交局部时还有许多值得探究的问题.多指标 Wiener 过程作为布朗运动在多指标情形的泛义推广形式具有深刻的理论意义与应用价值.本文中,笔者主要探讨几类 Wiener 过程相交局部时的小偏差估计及相关问题.特别的,本文首次给出了两指标 Wiener 过程相交局部时的小偏差估计,为相关单指标 Wiener 过程相交局部时研究推广至多指标情形提供了丰富样例与技术参考.1 预备知识与主要结论本文约定在同一完备概率空间(),F 上讨论问题.令RN+为实值 Wiener 过程,即其具有连续样本轨道、零均值且协方差函数为RN+.特别的,当1N=时,W 即为一维标准布朗运动,当2N=时,W 则为一维
4、两指标 Wiener 过程,有些文献也称之为标准布朗单(Browniansheet).作者简介林珑珑,硕士研究生,研究方向:随机分析.通讯作者梁明杰,博士,副教授.研究方向:随机分析.E-Mail:.基金项目国家自然科学基金面上项目(项目编号:12071076);福建省自然科学基金面上项目(项目编号:2022J011177)玉溪师范学院学报 16 在下文的讨论中,我们假设1,KWW为相互独立的实值 Wiener 过程,分别对应于jW 在指标区间01N,上的占据密度(或称局部时).直观的,若指标t 表示时间,1N=,对于任意(R),可表示实值 Wiener 过程W 在单位时间段01,内占据在区域
5、 A 中的时间总和,即本文中,我们重点考察几类 Wiener 过程相交局部时,并给出其小偏差估计的如下结论:定理 1.1 设,且满足1+1KPP=,对任意N,有 (1.1)和 (1.2)注 1.1 当1K=,即11P=时,有即得关于一维标准布朗运动的经典结论()1001 201d2lim.tWt+,有从而我们可得类似定理 1.2 中(1.4)式的结论然而,对任意0,由于我们只能得到如下估计从而我们无法得到定理 1.2 中关于小偏差下界估计的相仿结论.基于此,我们对上述 Wiener 过程相交局部时的积分区间作了相应缩小调整,得到如下结论:定理 1.3 设,且满足1+1KPP=,对任意N,存在常
6、数()10 1c,有 (1.5)和玉溪师范学院学报 18 (1.6)注 1.3 特别的,根据文献 9 的论述,利用文献 9 定理 1.4 的结论,我们可将定理 1.3 中 Wiener过程相交局部时形变为的形式,关于(1.5)和(1.6)式的结论保持不变.2 定理证明定理 1.1 的证明 由于,且满足1+1KPP=,对任意N,根据广义 Hlder不等式,有从而对任意0,(2.1)进而利用文献 10 中第六章定理 2.7 的结论,有(1.1)式成立.另一方面,对任意0,(2.2)19 林珑珑,梁明杰:几类Wiener过程相交局部时的小偏差估计进而有再次利用文献 10 中第六章定理 2.7 的结论
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