毕业设计二级倒立摆建模.doc

四川理工学院毕业设计（论文）

二级倒立摆系统建模与仿真

学 生：
学 号：
专 业：自动化
班 级：自动化
指导教师：

四川理工学院自动化与电子信息学院
六月

摘 要
常规的PID控制从理论上可以控制二级倒立摆，但在实际中对PID控制器参数的整定为一难点。本文针对二级倒立摆系统单输入三输出的不稳定系统，通过三回路PID控制方案，来完毕对倒立摆的控制。运用状态反馈极点配置的方法来对参数进行整定，解决PID参数整定的难点。然后借助于MATLAB中的Simulink模块对所得的参数进行仿真，结果表白三回路PID控制是成功的，参数的有效性，也证实了这种参数整定方法简朴实用。并通过配置不同位置的极点，对其结果进行分析得到极点配置的最佳配置方案。
关键词：倒立摆；PID；状态反馈； MATLAB

ABSTRACT
Double Inverted Pendulum System Modeling and Simulation

Conventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the instability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configuration.

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Key words: pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB

目录

摘 要 I
ABSTRACT II
第1章 引 言 1
1.1 倒立摆研究的目的及意义 1
1.2 倒立摆的发展史和研究现状 2
1.3本文的重要工作 4
第2章 倒立摆的建模 5
2.1 二级倒立摆的简介及物理模型 5
2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构 5
2.3 二级倒立摆的数学模型 6
2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 7
第3章 控制策略的选择 12
3.1 MATLAB简介 12
3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析 15
3.2.1系统的能控性 15
3.2.2系统能观性 17
3.2.3系统的稳定性 17
3.3 拟定控制策略 18
3.4 控制器参数整定方法 18
3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数 20
第4章 计算机仿真及结果分析 23
4.1 Matlab下Simulink模块简介 23
4.2 在Simulink下的仿真 24
4.3对仿真结果的分析 31
第5章 结束语 33
致 谢 34
参考文献 35

第1章 引 言
1.1 倒立摆研究的目的及意义
在控制理论发展的过程中, 一种理论的对的性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证, 并比较各种控制理论之间的优劣, 倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的抱负实验平台。倒立摆的典型性在于: 作为实验装置, 它自身具有成本低廉、结构简朴、便于模拟、形象直观的特点。 作为被控对象, 它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的复杂被控系统, 可以有效地反映出控制中的许多问题。作为检测模型, 该系统的特点与机器人、飞行器、起重机稳钩装置等的控制有很大的相似性。也是平常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。根据倒立摆系统的类型分，有以下下几类：平面摆、平行式倒立摆、柔性摆、球平衡式倒摆和悬挂式倒立摆系统；根据倒立摆的运动轨道可以分为水平式和倾斜式的两种；根据倒立摆的级数可以分为：一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆和多级倒立摆。平常生活中，有很多控制问题和倒立摆有很大的相似性，如卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、机器人双足行走机构、海上钻井平台的稳定控制等等诸多重心在上，支点在下的控制问题；对现代控制理论教学来说，倒立摆模型也是一个相称抱负的实验模型，由于倒立摆原理清楚、结构简朴，也易于实现，并且有现成的、成熟的产品可以直接作为控制领域研究的被控对象，其作为典型的多输入系统，可用来研究诸如系统建模、系统辨识、现代控制理论、快速控制理论等控制理论中许多方面的问题；在现代控制理论研究中，由于倒立摆的高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定特性，现代控制理论研究人员一直用它来描述非线性控制领域中的无源性控制、变结构控制、非线性模型降阶、自由行走、非线性观测器等控制思想和对线性控制领域中不稳定系统的稳定性研究，不断从中发掘出新的控制方法和控制理论，相应的研究成果也在机器人和航空航天等方面得到了广泛的应用。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。因而对倒立摆的研究具有重要的工程背景和实际意义。
1.2 倒立摆的发展史和研究现状
早在 20世纪 60年代, 人们就开始了对倒立摆系统的研究。1966年 Schaefer和 Cannon应用 Bang2 Bang控制理论, 将一个曲轴稳定于倒置位置。自从倒立摆系统成为
自动控制领域控制实验室的实验和教学工具以来，人们对倒立摆控制的研究既有理论研究又有实验研究。通过计算机仿真的方法对控制理论和控制方法的进行可行性研究；实验研究重要是解决仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不拟定性。
在 1972 年，Stugne 等人采用全维状态观测器来重构了状态，并使用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，倒立摆的线性状态反馈采用极点配置的方法获得。1978 年，K. furutat 等人成功地应用降维观测器重构了倒立摆系统的状态，使用计算机解决实现了对三级倒立摆的控制。1984 年，K.furutat 等人又实现了三级倒立摆的稳定控制。1986 年，Chung 等人对一级倒立摆系统进行了系统辨识，并设计了 PD 反馈控制器和自适应自整定反馈控制器实现了对倒立摆的稳定控制[1]。1989 年，Anderson 等人运用函数最小化和 LyaPunov 稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。1994 年，sinha等人，运用 Lyapunov—Floquet 变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型[2]。1995 年，任章等人在一种镇定倒立摆系统的新方法中应用振荡控制理论，在倒立摆支撑点的竖直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统的稳定性。1996 和 1997 年，翁正新等人运用带观测器的 Hao 状态反馈控制器对二级倒立摆系统在水平和倾斜导轨上进行了仿真控制。1998年，蒋国飞等人将 BP 神经网络和 Q 学习算法有效结合，实现了倒立摆的无模型学习控制。2023 年，单波等人使用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆进行了控制仿真。2023 年，刘妹琴等人用进化 RBF 神经网络控制二级倒立摆。2023 年，李洪兴在变论域自适应模糊控制学术报告中使用变论域自适应模糊控制的思想在国际上初次实现了四轴倒立摆的仿真。同年张葛祥等人建立了三级倒立摆的数学模型，并分析了系统的可控制性和可观测性，给出了智能控制算法的思绪。对单级倒立摆系统的实验最早出现在 Roberge 的论文中。l976 年 Mori等人设计了一个组合控制器，实现了倒立摆的自动起摆和倒立摆起摆后的稳定控制[3]。1995 年 wei 等人运用 bang-bang 非线性控制器也实现了倒立摆的自动起摆和倒立摆起摆后的稳定控制。1996 年，张乃尧等人使用双闭环模糊控制实现了对倒立摆的稳定控制。1995 年，程福雁等人运用参变量模糊控制实现了对二级倒立摆实时稳定控制。1999 年张飞舟等人采用拟人智能控制，实现了一、二、三级倒立摆的稳定控制。1999 年，李德毅等人运用云控制方法成功实现了一、二、三级倒立摆的多种不同平衡姿态的控制。1999 年，李岩等人运用基于 PD 控制的专家智能控制对二级倒立摆进行实时控制，取得了很好的效果[6]。2023 年，杨亚炜等人运用拟人智能控制成功实现了在倾斜导轨上三级倒立摆的稳定控制，并可以控制三级倒立摆沿水平或倾斜导轨自由行走。1995 年，张明廉等人应用拟人智能控制方法实现三级倒立摆的稳定控制。2023 年北京师范大学李洪兴专家采用变论域自适应模糊控制方法在国际上初次成功实现了四级倒立摆实物控制系统。目前，人们对倒立摆的研究越来越多，倒立摆的类型也由简朴的单级倒立摆发展为多种多样的形式，出现了柔性摆、球摆、旋转式倒立摆、倾斜轨道式倒立摆等。目前，对倒立摆的控制方法重要有以下几种：
（1）状态反馈控制[7]。基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。常见的运用状态反馈的方法有：1)线性二次型最优控制；2)极点配置[9]；3) 状态反馈∞H 控制[19]；4)鲁棒控制。
（2）PID 控制。基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，根据倒立摆系统的状态方程和输出方程设计出 PID 控制器，实现对倒立摆的控制。
（3）云模型控制[10]。云模型是一种拟人控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种控制不需要系统数学模型，而是根据人的经验、逻辑判断和感受，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决非线性问题和不拟定性问题。
（4）自适应控制。许多控制系统多为静态控制，自适应控制随着环境的变化而变化，属于一种动态控制系统，从而提高控制精度。
（5）非线性控制[11]。实际系统多被进行线性化解决，非线性系统更能准确反映实际系统，对提高系统控制精度具有更大意义。
（6）神经网络控制[12]。神经网络可以学习与适应严重不拟定性系统的动态特性，任意充足地逼近复杂的非线性关系，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将 Q学习算法和 BP 神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。
（7）采用遗传算法与神经网络相结合的方法[13]。基于倒立摆数学模型设计出神经网络控制器，再运用改善的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制。
（8）模糊控制[14]。重要是拟定模糊规则设计出模糊控制器，实现对倒立摆的控制。
1.3本文的重要工作
本文针对二级倒立摆系统的单输入三输出的不稳定系统，采用三回路PD控制方案。并且运用MATLAB软件来判断系统的稳定性、能观、能控，并进行仿真。重点运用状态反馈系统的极点配置来整定PD控制器参数的思绪[15]，可以通过对控制器的设立来拟定小车稳定期的位置，并通过多组极点的配置来相比较得出控制效果较好的参数。

第2章 倒立摆的建模
2.1 二级倒立摆的简介及物理模型
二级倒立摆系统重要由如图1所示的机电装置和控制装置两部分组成。机电装置由上下两摆杆和小车组成。此系统为一个不稳定的系统，控制目的使双摆直立而不倒，重要有3个参考量即上下两摆杆的角度要保持小几乎为0，小车要位于滑竿中间。在实际操作中，小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

图2-1 二级倒立摆实物图
2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构
如图2-2 二级倒立摆的结构简图.它是由机械部分、 电气部分和计算机控制 3大部件组成.机械部分涉及:轨道、 传动皮带和皮带轮、 倒立摆本体 (涉及小车 ,上、 下摆 ,以及一些轴连接部件 )等.电气部分重要由伺服驱动器、 伺服电机、 直流功率放大器、 光电码盘 ,以及保护电路等几部分组成. 计算机控制部分由 A /D, D /A,运动控制卡和 PC计算机组成. 这几个部分组成一个闭环系统。
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
光电码盘1
光电码盘2
光电码盘3
摆杆1
摆杆2

图2-2为直线二级倒立摆计算机控制系统结构示意
图 2-2中的光电码盘 1由伺服电机自带 ,可以通过该码盘的反馈换算出小车的位移、 速度信号 ,并反馈给伺服驱动器和运动控制卡;通过光电码盘 2和光电码盘 3的反馈 ,可以分别换算出摆杆1和摆杆 2的角度、 角速度信号 ,并反馈给运动控制卡;计算机从运动控制卡中读取实时数据 ,拟定控制决策 (小车向哪个方向移动、 移动的速度、 加速度等 ) ,并由运动控制卡来实现该控制决策 ,产生相应的控制量 ,使电机转动 ,带动小车运动 ,保持摆杆 1和摆杆 2的平衡.
2.3 二级倒立摆的数学模型
二级倒立摆数学模型的建立基于以下假设：
1）上下两摆杆都是刚体。
2)在实验过程中同步带长度保持不变。
3)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小,在建模过程中可忽略不计。
二级倒立摆的模型如图2-3，图中接触小车的为摆杆1，其偏角为，摆杆2的偏角为，电机对小车的力为F。
b

F
a

图2-3 二级倒立摆结构简图
2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型
由运动合成原理：绝对运动=牵连运动+相对运动，为了便于理解将动坐标建立于小车、摆杆1、摆杆2的质心处，应用运动学对系统进行分析。通过牛顿力学对系统进行动力学分析，由此得出二级倒立摆的数学模型。运用力学中的隔离法,将二级倒立摆系统分为小车、摆杆 l、摆杆 2 三部分.一方面,对小车进行分析.如图2 所示,将摆杆 1 对小车的作用力分解为竖直方向的分力和水平方向的分力。水平方向方程为:
（2-1）

F
N

图2-4 小车受力分析
图2-5摆杆2对摆杆1的水平方向分力和竖值方向的分力为和，运用牛顿第二定律和动量矩定理得摆杆1的运动学和动力学方程:

X
Y

图2-5 摆杆1的受力分析
（2-2）
（2-3）

（2-4）

X
Y
根据牛顿第二定律和动量矩定理得到二摆的运动学和动力学方程：

图2-6 摆杆2的受力分析
（2-5）
(2-6)
(2-7)
由拉格朗日方程可得：
=

(2-8)
拉格朗日方程表达为：
j=1，2 （2-9）
对二级倒立摆系统有
S=3，即：x，
由于在实验中和 的值很小,所以在建模化简过程中用到以下近似：

经线性化后方程为：
(2-10)
(2-11)
(2-12)
上式中小车质量，小车位移x，下摆刚质量，转动惯量，下摆杆质心到a的长度，上摆杆质量，转动惯量，上摆杆质心到b的长度，小车与轨道的摩擦力系数f，摆杆ab的距离为L，重力加速度g。
表2-1各参数及参数值
参数
参数值

1.328kg

0.22kg

0.187kg

0.00496 kg/

0.00482kg/
L
0.49m

0.304m

0.226m
g
9.8m/

则系统方程为：
（2-13）
（2-14）
可得如下的状态方程：
（2-15）
（2-16）

第3章 控制策略的选择
3.1 MATLAB简介
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，重要涉及MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是由美国mathworks公司发布的重要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大限度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，重要应用于工程计算、控制设计、信号解决与通讯、图像解决、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完毕相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸取了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。
MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：
1） 数值分析
　2） 数值和符号计算
　3） 工程与科学绘图
　4） 控制系统的设计与仿真
　5） 数字图像解决技术
　6) 数字信号解决 技术
　7) 通讯系统设计与仿真
　8) 财务与金融工程
MATLAB 的应用范围非常广，涉及信号和图像解决、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。
MATLAB的特点：
（1）和谐的工作平台和编程环境。MATLAB由一系列工具组成，这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文献，其中许多工具采用的是图形用户界面。涉及MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、途径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文献的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件自身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简朴。并且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简朴的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必通过编译就可以直接运营，并且可以及时地报告出现的错误及进行犯错因素分析。
（2）简朴易用的程序语言。Matlab一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文献）后再一起运营。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C＋＋语言基础上的，因此语法特性与C＋＋语言极为相似，并且更加简朴，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。并且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB可以进一步到科学研究及工程计算各个领域的重要因素。
（3）强大的科学计算机数据解决能力。MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前通过了各种优化和容错解决。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ 。在计算规定相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集涉及从最简朴最基本的函数到诸如矩阵，特性向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大体涉及矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的记录分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。
（4）杰出的图形解决功能MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图涉及二维和三维的可视化、图象解决、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的MATLAB对整个图形解决功能作了很大的改善和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和解决等）方面更加完善，并且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照解决、色度解决以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了杰出的解决能力。同时对一些特殊的可视化规定，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的规定。此外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊规定的用户也可以得到满足。
（5）应用广泛的模块集合工具箱。MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。目前，MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域，诸如数据采集、数据库接口、概率记录、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号解决、图像解决、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。
（6）实用的程序接口和发布平台。新版本的MATLAB可以运用MATLAB编译器和C/C++数学库和图形库，将自己的MATLAB程序自动转换为独立于MATLAB运营的C和C++代码。允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C++语言程序。此外，MATLAB网页服务程序还允许在Web应用中使用自己的MATLAB数学和图形程序。MATLAB的一个重要特色就是具有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。工具箱是MATLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，重要涉及信号解决、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。
（7）应用软件开发（涉及用户界面）。在开发环境中，使用户更方便地控制多个文献和图形窗口；在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；在图形化方面，有了更强大的图形标注和解决功能，涉及对性对起连接注释等；在输入输出方面，可以直接向Excel和HDF5进行连接。
3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析
现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统内部变量，这就存在着系统内部的所有状态是否受输入影响和输出来反映问题，这就是可控性和可观性问题。假如系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达成原点，则称系统是完全可控的，简称为系统可控；否则为不可控。相应的，假如系统所有的状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统状态时完全可观测的，反正为系统是不完全可观测的，简称不可观测。
3.2.1系统的能控性
能控性判据：对n维连续时间线性定常系统:
（3-1）
构造能控性矩阵：
（3-2）
则系统完全能控的充足必要条件为:
（3-3）
由可知二级倒立摆的状态空间表达式为：
（3-4）
由可得：
（3-5）
（3-6）
（3-7）
（3-8）
应用Matlab的Qc=ctrb（A，B），rank（Qc）得如下结果：
rank(Qc) = 6
由上可得能控性矩阵的秩rank（Qc）=6，由能控性判据可得二级倒立摆完全能控。
3.2.2系统能观性
系统能观性判据：对n维连续时间线性定常系统:
（3-9）
能观性矩阵：
由式3-5和3-7通过Matlab计算得：
>> Qo=obsv(A,C)
>> rank(Qo)
ans =
6
能观性矩阵的秩rank（Qo）=6，由能观性判据得二级倒立摆系统为完全能观的。
3.2.3系统的稳定性
稳定性判据：对n维连续时间线性时不变系统 x = Ax+Bu，系统渐近稳定的充足必要条件为：系统矩阵 A的所有特性值均具有负实部。由式3-5得A矩阵，在Matlab中运用命令E=eig（A）得：
>> E=eig(A)
E =
-10.0425
-5.0257
10.0425
5.0257
0
0
从中可看出系统矩阵A的特性值有2个正实部，2个负实部及2个零特性值，所以二级倒立摆系统为不稳定系统。
3.3 拟定控制策略
二级倒立摆为单输入三输出系统。要保持倒立摆直立就要对小车的位移、摆杆1、摆杆2进行闭环控制。由文献可知“积分不合用于倒立摆”所以采用PD控制器。由于一个PD控制器只能控制一个被调量，所以采用三回路PD控制。如图3-1输出分别表达表达小车位移，摆杆1的偏角，摆杆2的偏角。
摆杆2
摆杆1
小车
-
-
-
PD控制器1
PD控制器1
PD控制器1
直线二级倒立摆

图3-1 三回路PD控制系统结构图
3.4 控制器参数整定方法
PID参数的整定一般有以下几种：
1）实验凑试法：
实验凑试法是通过闭环运营或模拟，观测系统的响应曲线，然后根据各参数对系统的影响，反复凑试参数，直至出现满意的响应，从而拟定PID控制参数。
整定环节：
实验凑试法的整定环节为"先比例，再积分，最后微分"。
（1）整定比例控制
将比例控制作用由小变到大，观测各次响应，直至得到反映快、超调小的响应曲线。
（2）整定积分环节
若在比例控制下稳态误差不能满足规定，需加入积分控制。
先将环节（1）中选择的比例系数减小为本来的50～80％，再将积分时间置一个较大值，观测响应曲线。然后减小积分时间，加大积分作用，并相应调整比例系数，反复试凑至得到较满意的响应，拟定比例和积分的参数。
（3）整定微分环节
若通过环节（2），PI控制只能消除稳态误差，而动态过程不能令人满意，则应加入微分控制，构成PID控制。
先置微分时间TD=0，逐渐加大TD，同时相应地改变比例系数和积分时间，反复试凑至获得满意的控制效果和PID控制参数。
2）实验经验法
扩充临界比例度法
实验经验法调整PID参数的方法中较常用的是扩充临界比例度法,其最大的优点是，参数的整定不依赖受控对象的数学模型，直接在现场整定、简朴易行。
扩充比例度法合用于有自平衡特性的受控对象，是对连续-时间PID控制器参数整定的临界比例度法的扩充。
扩充比例度法整定数字PID控制器参数的环节是：
（1）预选择一个足够短的采样周期TS。一般说TS应小于受控对象纯延迟时间的十分之一。
（2）用选定的TS使系统工作。这时去掉积分作用和微分作用，将控制选择为纯比例控制器，构成闭环运营。逐渐减小比例度，即加大比例放大系数KP，直至系统对输入的阶跃信号的响应出现临界振荡（稳定边沿），将这时的比例放大系数记为Kr,临界振荡周期记为Tr。
（3）选择控制度。控制度，就是以连续-时间PID控制器为基准，将数字PID控制效果与之相比较。通常采用误差平方积分作为控制效果的评价函数。采样周期TS的长短会影响采样-数据控制系统 的品质，同样是最佳整定，采样-数据控制系统的控制品质要低于连续-时间控制系统。因而，控制度总是大于1的，并且控制度越大，相应的采样-数据控制系统的品质越差。控制度的选择要从所设计的系统的控制品质规定出发。
（4） 查表拟定参数。根据所选择的控制度，得出数字PID中相应的参数TS,KP,TI和TD。
（5）运营与修正。将求得的各参数值加入PID控制器,闭环运营,观测控制效果,并作适当的调整以获得比较满意的效果。
以上方法都是要通过不断的实验来得到参数本文通过状态反馈极点配置来整定参数。
3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数
1、极点配置定理
对单输入n维连续时间线性定常系统，系统所有n个极点即特性值可任意配置的充足必要条件为( A, B)完全能控。
2、极点配置算法
给定n维单输入连续时间线性定常受控系统，( A, B)和一组任意的盼望闭环特性值，要来拟定 1 ×n状态反馈矩阵 K。
算法环节如下：
第1步：判断 ( A, b)能控性。若完全能控，进入下一步。
第2步：计算由盼望闭环特性值决定的特性多项式。
第3步：拟定反馈阵K 。

图3-2 三回路PD控制结构图
图 3所示的倒立摆 P D控制系统结构图中 ,ri是设定信号, n(仿真时用step代替)是干扰信号.由于倒立摆控制的的是希望小车保持在导轨的中心 (定义导轨中心的位移为零 )附近,摆杆 1摆杆 2都能在竖直平面内保持倒立.所以设定信号 r i可取为零，这样 ,表达倒立摆控制系统可进一步简化.图 4是倒立摆 P I D控制系统的具体结构.图中有 3个虚线框 ,每个虚线框表达的是一个 PD控制器 ,分别对小车的位移、 摆杆 1的偏角、 摆杆2的偏角一相应. 将图 4所示的 PD-PD-PD控制结构与状态反馈控制系统的结构相比较 ,发现它们的结构是同样的.因此 ,可运用状态反馈控制系统的极点配置方法来拟定 P I D控制器的 6个参数值.
运用Matlab提供的工具箱函数K=place（A,B,P）来求得相应的 （3-10）
任意取一组使系统稳定的闭环极点P，在matlab软件中用命令：
K=place(A,B,P) （3-11）
求得反馈矩阵K=[]，结果如表4-1。

第4章 计算机仿真及结果分析
4.1 Matlab下Simulink模块简介
Simunlink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简朴直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清楚及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号解决的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被规定应用于Simulink。
Simulink是基于Matlab的框图设计环境，可以用来对各种动态系统进行建模、分析和仿真，它的建模范围广泛，可以针对任何能用数学来描述的系统进行建模，例如航空航天动力学系统、卫星控制制导系统、通信系统、船舶及汽车等，其中涉及了连续、离散，条件执行，事件驱动，单速率、多速率和混杂系统等。Simulink提供了运用鼠标拖放的方法来建立系统框图模型的图形界面，并且还提供了丰富的功能块以及不同的专业模块集合，运用Simulink几乎可以做到不书写一行代码即完毕整个动态系统的建模工作。除此之外，Simulink还支持Stateflow，用来仿真事件驱动过程。
Simulink是从底层开发的一个完整的仿真环境和图形界面，是模块化了的编程工具，它把Matlab的许多功能都设计成一个个直观的功能模块，把需要的功能模块用连线连起来就可以实现需要的仿真功能了。也可以根据自己的需要设计自己的功能模块，Simulink功能强大，界面和谐，是一种很不错的仿真工具。
Simulink仿真具有以下的特