经济管理数学模型案例教程总.doc

2-1-12 利益分配的合作博弈模型1、问题的提出在经济和社会活动中，若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或者集团，常能获利得比他们单独行动时更大的经济或社会效益，并且，通常这种利益是非对抗性的。合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提，那么，应该如何分配利益才算是合理？2、模型的构建若干方合作获利的效益分配问题，称为合作博弈。1953年，L.S.Shapley给出了n人合作博弈问题的一种方法。假定在n方合作博弈中，若干人的每一种组合（特别，单人也看作为一种组合）都会得到一定的效益，合作中人数的增加不会引起效益的减少，于是，全体人员的合作将带来最大效益，在这种假定下，Shapley提出了一系列的公理的唯一的分配这个最大效益的一种方案，并且严格证明了这种方案是满足这组公理的唯一的分配。设为合作博弈的n方。对于参加者的某种组合(即的一个子集)S,以记其相应的效益(它是一种有特定含义的特征函数).。用表示中第位成员从合作收益中应得到的一份收入。称为Shapley值，它由效益函数确定它的计算公式为其中是中包含的所有子集，是子集中的元素个数（组合中的参加者数量），是加权因子注意到是有第方参加的某种合作方案的获利，表示在这种合作方式中第方退出以后的获利。因此，可以看成在这种合作方案中第方的“贡献”。根据前面的假设，任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负的。而则是在各种有第方参加的合作方案中第方“贡献”的加权总和。通俗地说，就是按照贡献大小分配利益。可以证明，这种分配方案满足：i）不贡献的不得利（即如果他在各种合作方案中所有的贡献值都为零，则他的获利为零）：ii）各合作方的获利总和等于总收益。 3模型求解与应用 下面通过实例说明模型如何根据求解合作获利的效益分配，沿河有1、2、3三个城镇，地理位置及各城镇的距离如图2-9所示。城镇排放的污 需经过处理才能排入河中，三个城镇既可以单独建污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污 集中处理（污水 必须从上游城镇送往下游城镇，处理厂必须建在下游位置。）按照经验公式，建造污水处理厂的费用和铺设管道的费用分别为 其中表示污水处理量（吨/秒），表示管道长度（km）、如果三城镇的污水量分别为6，试从节约总投资的角度为三城镇制定建厂方案。如果联合建厂，费用应如何分担。三城镇建厂方案一共有以下5种 （1） 城镇分别建造，建造费用分别为总投资额为（2） 城1，2合作，在城2处建厂，城3单独建，建造费用为，总投资额为。（3） 城2，3合作，在城3处建厂，城1单独建.建造费用为，总投资额为。（4） 城1，3合作，在城3处建厂，城2单独建.建造费用为，总投资额为。（5） 三方合作建厂.建造费用为比较以上方案，费用最省的自然是第5种，三城镇自然都会考虑合作建设。那么，应该如何分担这笔合作建造费用？如果不采用Shapley的方法，人们首先会想到根据排放污水量平均分担的办法.于是，城1应该分担，同样，城2应分担，城3应分担。然而，按照这样的方案，城1可以节省23千元。城3可以节省36千元，城3 却只能节省11千元似乎并不尽合理。考虑到合作建厂的费用由建处理厂和铺设管道两部分组成，城3提出另外的方案：建处理厂费用应按排污量平均分担，而2，3段管道费用应由1，2两城分担，1，2段管道费用由城1单独承担.这种方案貌似公平，但仔细算来，城3只需承担费用而城2和城1的费用将分别达到130千元和245千元（计算略）.城1甚至超过单独建厂的费用,这显然更是不合理的。如果采用Shapley的方法，我们可以把合作方案节省的投资额看成收益，它将符合特征函数的要求，因此，可以要Shapley值计算各方节省的资金额。更方便地，可以直接用各种合作方案的建造费用作为效益函数计算 Shapley值，其结果就是各方应承担的投资费用.用上述数据计算，以第1城为例，可得下表表2-1-6230350490580016026039023019023019012231/31/61/61/3230/3190/6230/6190/3210即得。类似地可以计算得到，.也就是说，如果三方合作，则各方投资应按上述比例分摊.这时，各方按排污量平均每秒吨的投资额分别为42千元、41.67千元、和40.83千元.排放距离即铺设管道长些，承担费用略大些。各方节省额的差额比按照排放污水量平均分担方案小些，这种分摊结果还是更合理些。2-4-1钢管的订购和运输模型1、问题的提出 2000年全国大学生数学建模竞赛B题钢管的订购种运输，问题是要铺设天然气输送管道，在若干钢管生产厂以及不同的运输路径、方案中，如何进行选择，确定购运计划，才能使总费用最小。2模型和构建钢管的订购和运输赛题提出的大到上是这样的问题：要铺设一条的输送天然气的主管道，如图2-24所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有.图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设管道的地方（假设沿线原有公路或建有施工公路），每段铁路和公路旁的数字表示路段长（单位：km）.为和距离有所区别，1 km 长的钢管称为1个单位。钢厂在指定期限内该种钢管的最大生产能力为单位（如下表）：表2-4-11234567800800100020002000200030001单位钢管的铁路运价如下表：表2-4-2里程（km）300301350351400401450451500运价（万元）2023262932里程（km）5016006017007018008019009011000运价（万元）3744505560注：1000km 以下每增加1100 km，运价增加5运价（万元）。 公路运价不1单位钢管每千米路程0.1运价（万元）（不足1km部分按1 km计算）.钢管可从某几家钢厂订购，由铁路、公路运往各铺设点（不足是运到而是管道的全线）。请制定订购和运输计划，我们应当分成几个层面和的子问题考虑：首先需要计算出单位长度钢管从各钢厂S，运到需要铺设点P，（以1km管道为一个点，总共有5171个点）的最小运输费用钢管可以通过铁路或公路运输。公路运费是运输里程的线性函数（稍有不同的是不足1km要进整），但是铁路运价却是一种分段的阶跃的常数函数。因此在计算时，不管对运输里程还是费用而言，都不具有可加性。图论中用以计算最短路的Dijkstra 算法和Floyd算法等都将失效，只能将铁路运价（即由运输总里程找出对应费率）和公路运价分别计算后再迭加，好在整个图形比较简单，钢厂出来都是铁路，铺设点沿线都是公路。而且通常情况下平均每千米的铁路运价要低于公路运价，所以只要在优先考虑尽量使用铁路运输的前提下，通过可能方案的枚举，就能找到费用最小的路径和费用。（根据题目提供的数据，铁路运价中601km段的运价比分解为300+301段的运价要高，从而带来计算的问题。这可能是命题者的疏忽。此外，有个别点对在运输方案的枚举计算时会出现意外，但这不具一般性。）其实，并不需要逐一求出所有点对的费用。因为从到总要经过某个枢纽站。假定位于构纽站和之间，那么只要比较从和两者的大小。也就是说，只要先求出的费用（），再在段上找出通过两侧到达铺设点费用相同的平衡点，显然如果在平衡点的左侧应该经过，在平衡点的右侧则应该经过到达。这样就可以大大减少计算量。（直接计算需要算75171个量，而计算的费用则需要714个，平衡点共713个，总共119个量。每个点的费率再需加一小段公路运费即可）。根据题意，公路路段的费用，行驶里程不足1km部分按1km计算。因此，平衡点的小数部分是不起作用的，不妨均取整数，根据铺设点在平衡点的哪一侧来确定费率。知道了从钢厂到铺设点的费率，就容易得出原问题的数学模型运输问题模型。模型一：线性规模型用表示铺设点的钢管是否从第家钢厂购运而来。如果是则取1，否则取0。那么，总的运输费用便是：根据钢厂生产能力有以下不等式：于是，原问题就可以表示成：这就是原问题的运输问题模型。用该模型求解，显然存在变量过多（共有75171个）的困难。考虑到前文所述钢厂到铺设点的运输必定要经过枢纽站，因此可以用下述方式简化。模型二：二次规划模型用表示从钢厂运到枢纽站、分别表示从枢纽站向右边（即段）及左边（即段）的钢管总量，（这里假设、都是整数）。注意到将总量为的钢管运到每单位铺设点，其运费应为第一公里、第二公里直到第公里的运费之和，即为。往左也一样。又因为从枢纽站运往两边的量受路段长度制约，故有综上所述，原问题的模型为：用该模型，变量个数从75171=36197减少到714+213=114个。上述模型，其目标函数是一个二次函数，而约束条件则是线性方程和线性不等式组。这种形式的数学规划问题称为二次规划。它的一般形式为：对于二次规划的讨论，可参阅有关文献。3、模型的求解对于所构建的线性规划运输问题模型，一般数学软件包都有相关的软件可以采用。由于约束条件的系数矩阵的全幺模性，用普通的线性规划方法直接可以得到整数解，不用作特别处理，只是由于变量较多，可能有的计算机容纳不了。至于模型二的二次规划模型，同样有软件可以。2-4-12大型超市购物者付款排队系统优化模型1问题的提出大型超市收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致的成本增加又困扰着商场经营者。前者影响到公司在消费者心中的形象，后者影响到商场的经营效益。窗口开得多好还是开得少好？采取什么优化措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？2模型的构建购物者到达的时候是随机的，购物者交费的时刻也是随机的。若开放的窗口过少，购物者等待时间会很长，很可能会选择临近的商场；若开放的窗口过多，虽然减少了购物者的等待时间，但将导致收银员空闲，增加商场的经营成本。显而易见，商场经营者解决这一问题的基本思路是：构建数学模型，在消费者能够忍受的等待时间条件下，求解使经营成本最小的窗口设置数目。很多文献均把购物者由于等待所产生的费用假设为一个已知量，将等待费用和服务成本的总费用作为目标函数得到最优的控制策略，但在实际应用中购物者的等待费用往往很难确定。例如，一个70岁的退休老人与一个30岁的年轻人同样等待1个小时所产生的损失费用显然是不同的，同一个人在不同时间的等待损失费用也是不同的。另一方面，由于这类企业竞争激烈，应提高服务质量，把令购物者满意放在首位。因此，上述方法在实际中往往是不可行的。基于此，通过调查获得购物者能接受的平均等待时间，提出了以为约束条件的优化模型，在此约束条件下求得使服务成本最小的收费台数。（1）系统描述大型超市购物者交费排队系统是一个随机服务系统，有如下特征：（i）购物者达到收费系统是相互独立的，购物者相继到达的时间间隔是随机的；（ii）服务规则遵从先到先服务原则，且为等待制，即购物者接受服务需要等待；（iii）购物者交费时间是相互独立的。系统运行较长时间达到稳态，进入系统的购物者可随时改变其队列，假设购物者的到达服从泊松分布，其交费时间服从负指数分布，因此这个收费系统是M/M/C/的一个排队系统。变量设置：为购物者平均到达率，为服务员的服务率，为系统的服务强度，为开放台收银机时在统计平衡状态下系统中有个购物者的概率，为时段使服务成本最小的收费台数，为白天或晚上购物者能够接受的平均等待时间。当到达率为，服务率为的生灭过程达到稳态时，可得由定义可得，在M/M/C/系统中，对于时段，当系统达到统计平衡状态时，每个购物者在系统中的等待时间W的均值为其中本文的模型是，当系统达到统计平衡状态时，一个购物者在收费系统中的平均等待时间不超过购物者能够接受的平均等待时间的条件下，求最小的收费台开放数。设表示在时段，当收费台开放数为时，个收费台中正在工作的台数，则的分布为所以，因此，收费台的有效工作率为（2）实际数据的收集与整理对成都某大型超市进行调查，数据如下：（i）共设有40台收银机，这些收银机各时段的开放情况见表2-4-18.表2-4-18 各时段样本均值 单位:人/小时时段/时9:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:00平均到达率775.6834.6754.3560.8541.9589.3888.8时段/时16:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:0022:00-23:00平均到达率1014958.8756802.7803.5699.4286.2（ii）在收费系统现场连续记录了150名购物者各自进入系统的时刻，利用文献中定数检验法得到一天时段内进入收费系统的购物者流是一个符合泊松分布的购物者流，其平均到达率记为（数据见表2-4-18）。值得注意的是，进入收费系统的购物者流在一个时段内是一平稳泊松流，但在整个一天内却不是一个平稳泊松流。（iii）利用计算机收费记录数据，随机选取了400名购物者交费时所需的时间数据，通过统计检验得到购物者交费时所需的时间，是服从负指数分布且其均值为（iv）通过对100名随机选择的购物者的调查，获得了购物者在交费时能够接受的等待时间数据。对这些数据的分析发现，9：0019：00购物者能够接受的等待时间均值为小时，19：0023：00的均值为小时。这说明，晚上购物者的时间没白天那么紧迫，所以晚上能够接受的等待时间大于白天能够接受的等待时间。3模型求解根据上述模型，借助MATLAB软件，代入以上的商场数据即可研究该排队系统中服务台数的优化设计问题。编写含有5个子程序（关于和的MATLAB源程序来实现如下功能：给定购物者在各时段的平均到达率、平均服务率，以及服务台数起始变化值及终止值（需要注意最小开放服务台数应保证系统服务率，才能使系统达到统计平衡）的情况下，算出各时段购物者等待时间不超过的值，再算出值及的值，计算结构见表2-4-19。时段/时优化后的收费台数实际开放的收费台数9:0010:00223021.07610.95810:0011:00233022.67930.98611:0012:00211220.48980.97612:0013:00161215.23910.95213:0014:00151214.72550.98214:0015:00171216.01360.94215:0016:00251224.15380.96616:0017:00281227.55430.98417:0018:00273026.05430.96518:0019:00213020.54350.97819:0020:00233022.75990.98920:0021:00233022.78560.9921:0022:00201219.00540.9522:0023:00847.77720.972从表2-4-19可见，在时段9:0011:00及17:0021:00优化的台数小于实际开放的的台数，可见这些时段实际开放的台数过多，而11:0017:00和21:0023:00期间实际开放的收费台数又太少，尤其是22:0023:00时段，这样购物者等待的时间将会超过他们能接受的等待时间，从而使得购物者不满意。从表2-4-19还可看到，优化后各时段收费系统的有效工作率均在95%以上，说明收银员的工作量比较饱和，避免了由于收银台开放数过多造成的人员浪费。大型超市的排队系统还可设置少许辅助人员，在客流量大时作收银员，客流量小时可将购物者准备购买但排队时又放弃购买的货物整理放回货架，这样既可进一步优化排队系统，也是降低成本的一种途径。4模型的应用本文通过都市一大型超市的调查数据，利用上述排队模型理论，对收银台开放数目进行优化，所得结果比该商场原开放方式更能满足购物者的要求，同时还节约了成本。在满足购物者需求的情况下，对其开放的收费台数进行优化，实施动态管理，将有效提高工作效率，为企业节约成本。在实际运营中，由于工作日、又休日及节假日客流量会有较大差异，各企业可根据历史数据对其进行个别分析，使之更具针对性，为实际决策提供依据。因此本文的研究成果对于大型商场、医院等具有收费系统的服务企业具有普遍借鉴意义。参考文献1 郑欢，古福文，大型超市顾客交费排队系统优化分析，管理学报，2005，2（2）：171-173。3-4-3风险投资模型1问题的提出某投资人考虑一个两年投资计划。第一年他有3种决策可以选择：用所有资金购买股票，或用一半资金购买股票，或用所有资金购买债券。如果第一年他选择用一半资金购买股票，第二年他又有两种决策可以选择：用剩余的一半资金购买股票或者不买，假设投资人所购买的股票均为A公司的股票，那么，投资人应当如何作出决策，使得收益达到最大？2模型的构建经过分析，投资人发现不同的投资方案所得到的收益与A公司经营状况的好坏有密切关系，并获得以下信息，A公司经营状况好坏的概率如下：第一年“好”的概率为0.6，“坏”的概率为0.4，在第一年“好”的情况下，第二年“好”的概率为0.7，“坏”的概率为0.3；在第一年“坏”的情况下，第二年“好”的概率为0.4，“坏”的概率为0.6。具体信息如表3-4-4所示。表3-4-4 不同决策方案及A公司不同经营状况下的收益决策方案A公司的经营状况收益（千元）第一年第二年第一年用全部资金购买股票好好800好坏-500坏好600坏坏-700仅第一年用一半资金购买股票好好300好坏0坏好100坏坏-100两年各用一半资金购买股票好好600好坏-600好好500好坏-400买债券50这样，风险投资问题可归结为一个多阶段决策问题。为了比较直观地反映决策者选择不同方案，在各种不同情况下的可能收益，可以采用决策树来表示。在决策树中，决策点通常用方框表示，用于表示对不同的决策方案作出选择。由决策点出发分别引出若干条直线，表示可供选择的决策方案。直线的另一端是机会点，通常用圆圈表示，在圆圈下面记录选择这种决策方案所得到的期望收益，从机会点出发，再分别引出若干条直线，表示可能出现的不同情况。在这些直线上，标出出现这些情况的概率。而在直线的另一端，标出出现这些情况时的收益，或者也可以是另一个决策点，表示下一阶段可供选择的决策方案。上述风险投资问题的决策树由图3-7给出。图3-7 风险投资问题的决策树3模型的求解和应用画出决策树后，就可以着手计算不同决策的期望收益。具体计计算从右向左进行，对于第一个方案第二阶段的机会点，其期望收益为8000.7+(-500)0.3=410，将这个值写在机会点的下面。同样地，第一个方案第二阶段的机会点，其期望收益为6000.4+(-700)0.6=-180，将这个值写在机会点的下面。这样，机会点的期望收益值为4100.6+(-180)0.4=-174，这就是第一个方案最终的期望收益。将这个值写在机会点的下同。同理可以计算出其他机会点的期望收益。再来看决策点的选择。对于决策点，有两种选择和的期望收益为240。的期望收益为210，因此决策点应，期望收益为240。将240写在的下面，表示这个决策所得到的期望收益。类似地，对于决策点，应选择，期望收益为-20。而对于决策点，有三种选择，和，其期望收益分别为174，136，50，故应选择第一种方案，期望收益值为174。实践与思考1在阅读某类外文著作时，如何合理地使用大小两种字典，以加快阅读进工？试从定量化的角度分析以下3种方式。方式A：总使用大字典查找生字。方式B：先使用小字典查找生字，如查不到，则在大字典中查找。方式C：先对所要查找的生辽是否在小字典中作出判断，如判断为“不是”，则采用方式A，如判断为“是的”，则采用方式B。为作出此种分析，你当然需要对查找生字的速度、判断本身的正确程度作出定量化的假设。4-3-5飞机起飞的排队模型1问题的提出机场通常都采用“先到先服务”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。控制中心根据电告的先后次序安排各飞机的起飞时间。如何利用数据库系统，综合考虑肮空公司和乘客的利益，合理安排飞机的起飞次序，这就是我们要考虑的问题。2模型的构建假设共有架飞机要求起飞，对所有这些飞机进行编号，记为控制中心可以从在线数据库中快速得到每架飞机的如下信息：（1）预定离开登机口的时间；（2）实际离开登机口的时间；（3）机上乘客人数；（4）预定在下一站转机的人数和转机的时间；（5）到达下一站的预定时间。我们先做一些必要的简化假设。（1）设机场上所有要起飞的飞机都使用同一条跑道，并且任何一架飞机在起飞时都完全占有整条跑道，每架飞机占用跑道的时间是相同的。这样，我们可以把整个时间分割成离散的等长的小时间段，记为，在每个时间段中可容纳一架飞机完成起飞操作。（2）第架飞机在第个时间段起飞时，所需费用仅与该飞机和时间位置有关，而与前面的飞机无关。（3）高是第架飞机能够按时到达目的的地所必须起飞的最晚时限，如果飞机在时限以后才起飞，则只能以最大安全速度飞完全全程，且所有需要转机的乘客都无法赶上下班飞机。假设给每位乘客的赔偿费是相同的，记为。为了描述飞机与起飞时间段的关系，引入决策变量，表示第架飞机是否被指定在第个时间段起飞：记为第架飞机在第个时间段起飞时所需要的一切费用，从而构物费用矩阵C：因此，对某一种飞机安排，其总费用为我们的目标就是求，使得总费用z达到最小。显然每架飞机都将占用某一个时间段，因此而每个时间段也恰好能容纳一架飞机起飞，即于是问题化为如下的01规划模型：求，满足 （4.3.28）3费用矩阵C的生成上述01规划模型中的费用系数通常与飞机的型号、运行费用、运输区划客情况及乘客的满意程度有关。为简化计算，我们不考虑基本运行费用，而只考虑由于飞机延迟起飞而引起的额外费用。这一费用包括由于晚点而不再以最经济的速度而是以较快或最快速度飞行带来的燃料损失（称为燃料附加费），因耽误乘客转机而产生的赔偿费（称为乘客误机费），以及乘客因飞机误点而产生的不愉快情绪转化为航空公司的间接损失（称为乘客的不满意度）。（1）燃料附加费由于晚点，飞机必须以尽可能快的速度飞行，故燃料的消耗随晚点的时间长短而变化。然而即使晚点，一旦超过了最大时限，飞机也只能以最大的安全速度飞行，此时燃料的消耗是恒定的。因此可设第架飞机的燃料附加费为其中为飞机的晚点时间，为第架飞机每晚点单位时间由加速引起的增加油耗的价格。（2）乘客误机费记为第架飞机上需转机的人数，当飞机晚点超过时限时，这些乘客都将赶不上下班飞机。由假设（3），航空公司给每位乘客赔偿费用，故乘客误机费为其中为Heaviside函数 （4.3.29）（3）乘客的不满意度显然，飞机晚点时间越长，乘客越不满意。如果仅晚点一两分钟，顾客也许不会太不满意；而如果晚点时间延长，乘客不满意程度将会呈非线性地增长，这里我们用指数函数来描述乘客对飞机晚点的不满意度 （4.3.30）其中表示第架飞机上的乘客数，表示乘客等待时不满意程度上升快慢的因子，表示将不满意度转化为相应费用的比例系数。如果飞机晚点超过最大时限，需转机的乘客将耽误下班飞机，这部分乘客会变得焦躁不安并且非常愤怒，这部分乘客的不满意度可表示为 （4.3.31）其中仍表示第架飞机上要转机的乘客数，为由（4.3.29）式定义的Heaviside函数，b表示将不满意度转化为相应费用的比例系数。（4）总费用系数综合以上三个部分的费用，最终得到费用系数其中为飞机的晚点时间，它与飞机及其起飞时间段有关。4模型的求解和应用0-1规划模型（4.3.28）是一个指派模型，可以用匈牙利算法进行计算，也可使用数学软件或专门的优化软件包进行计算，如LINDO。作为一个例子，假设早晨6:00，有三架飞机同时要求起飞，设它们的型号相同，且相同的飞行距离，预定到达终点的时间均为7:20。三架飞机上的乘客数分别为0，每架飞机上都有100名乘客要求转机。设起飞时间段的长度为。为了简化计算，不妨将参数和均取为1，由此得到费用矩阵于是最优解为即三架飞机按3,1,2的次序起飞，最低费用，这与常识相符，由于其他条伯设定都一样，故最优的次序是让乘客多的飞机先起飞。当第三架飞机刚起飞，第四架飞机要求紧急起飞。第四架飞机已经晚点18分钟，它若想按时在7:06到达终点，就必须在1分钟内起飞，其上有200名乘客，150人要求转机，计算结果见表4-3-3。由表4-3-3可知，最优起飞顺序为4,1,2，最低费用。这表明晚点时间很长的飞机应优先起飞，否则航空公司就需要支付高额的误机费了。表4-3-3 各飞机的数据信息及计算结果飞机乘客数转机数晚点费用矩阵C最优解13501001min5.898911.896617.994901021001001min1.69733.42285.1771001421015018min70.2718374.8257379.458100实践与思考1已知有6个人可以做6项工作，每个人做每项工作的效率如表4-3-4所示，如何安排每个人的工作，使得总的工作效率最大？表4-3-4 各人做每项工作的效率3510026432541422121233312132423254664-4-7码头卸货效率分析的随机模拟模型1问题的提出有一个只有一个舶位的小型卸货专用码头，船舶运送某些特定的货物（如矿砂，原油等）在此码头卸货。若相邻两艘船到达的时间间隔在15分钟分到145分钟之间变化，每艘船的卸货时间由船的大小、类型所决定，在45分钟到90分钟的范围内变化。现在需对该码头的卸货效率进行分析，即设法计算每艘船在港口停留的平均时间和最长时间；每艘船等待卸货的时间；卸货设备的闲置时间的百分比等。2模型的构建为简单的计算，假设前一艘船卸货结束后马上离开码头，后一艘船立即可以开始卸货。引进如下记号：第艘船的到达时间；第1艘船与第艘船到达之间的时间间隔；第艘船的卸货时间；第艘船的离开时间；第艘船的等待时间；第艘船的在港口的停留时间；卸完第1艘船到开始卸第艘船之间的设备闲置时间；船只最长等待时间；船只平均停留时间；船只最长停留时间；船只平均等待时间；设备闲置总时间；设备闲置百分比。为了分析码头的效率，我们考虑共有条船到达码头卸货的情形，原则上讲，越大越好。由于条船到达码头的时间和卸货时间都是不确定的，因此，我们要用随机模拟（又称为蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟）的方法来建立数学模型。首先，我人假设两船到达之间的时间间隔是一个随机变量，服从15分钟到145分钟之间的均匀分布；各船卸货时间也是一个服从45分钟到90分钟间均匀分布的随机变量。然后我们可以用发生均匀分布的随机数的方法，分别产生个15，145和45，90之间的随机数和模拟艘船两两之间到达的时间间隔和各艘船的卸货时间。设初始时刻为0，利用船舶到达的时间间隔，我们可以计算出各船的到达时间有了这些数据后，我们就可以计算各艘船在码头等待卸货的时间，离开的时间，以及两艘船之间卸货设备的闲置时间。第一艘船到港就可以卸货，卸完货即可离开，因而有而在该船到达之前设备闲置，即以后各艘船到达码头时，若前一艘船已经离港 ，则马上可以卸货，否则必须等待，等待时间为上一艘船的离港时间与本船到达时间之差，从而第艘船的等待时间为或由此可得若第艘船需等待卸货，设备不会闲置，但若第艘船的到达时间迟于第-1艘船的离开时间，那么这段时间差就是设备的闲置时间，即或进一步可以用下式计算船只停留时间以及船只最大和平均停留时间以及最大和平均等待时间也可以计算设备闲置总时间和闲置时间百分比如下由于和是随机产生的，重复进行计算，结果是会有差异的，所以仅用一次计算结果作为分析的依据是不合理的。较好的做法是重复进行多次模拟，取各项数据的平均值作为分析的依据。3模型的求解与应用各种计算机高级语言和数学软件都有产生随机数的子程序或命令语句，随机模拟是不难用一个简单的程序实现的。我们以不例，列出6次模拟的结果如表4-4-8所示，其中所有时间均以分钟为单位。表4-4-8船在港口的平均停留时间1068510111611294船在港口的最长停留时间287180233280234264船的平均等待时间392035504427船的最长等待时间213118172203167184设备闲置时间的百分比0.180.170.150.20.140.21若为了提高码头的卸化能力，增加了部分劳力和改善了设备从卸货时间减少至35至75分钟之间，两艘船到达的间隔仍为15145分钟，六次模拟的结果如表4-4-9表示。表4-4-9船在港口的平均停留时间746264676773船在港口的最长停留时间161116167178173190船的平均等待时间19610121216船的最长等待时间10258102110104131设备闲置时间的百分比0.250.330.320.30.310.27从表4-4-9可见，每艘船的卸货时间缩短了15-20分钟，等待时间明显缩短，但设备闲置时间的百分比增加了一倍。为了提高提高效率，可以接纳更多的船只来港卸货，于是将两艘船到达的时间间隔缩短为10-120分钟。在装载时间仍为35-75分钟的情况下，再进行6次模拟，其结果如表4-4-10所示。此时等待时间有增加了，但设备闲置时间减少了。表4-4-10船在港口的平均停留时间114799688126115船在港口的最长停留时间248224205171371223船的平均等待时间572441357161船的最长等待时间175152155122309173设备闲置时间的百分比0.150.190.120.140.170.06实践与思考1编写计算机程序，模拟到达时间为15-145分钟，卸货时间为35-75分钟的情形。2若该港口有两个装卸能力相同的码头，如何修改随机模拟的数学模型？