2.2.1经济模型与应用.doc
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1、新编经济应用数学(微分学 积分学)第五版课题2.2.1经济模型与应用(2学时)时间 年 月 日教学目的要求重点难点教学方法手段精讲多练主要内容时间分配1、 常用的几种经济模型 20分钟例题 25分钟2、 其他常用的几种应用 15分钟例题 30分钟作业备注142.2.1经济模型与应用2.2.1经济模型与应用1财贸与金融方面的应用(1)资本现值与投资问题 若现有元货币,按年利率为作连续复利计算,则年后的价值为元;反过来,若年后有货币元,则按连续复利计算,现应有元,这就称为资本现值。设在时间区间内时刻的单位时间的收入为,称此为收入率,若按年利率为 的连续复利计算,则在内的总收入为 若收入率 (为常数
2、),称此为均匀收入率,如果年利率也为常数,则总收入的现值为 若在时,一次投入的资金为,则在内的纯收入的贴现值(也称投资效益)为 即纯收入的贴现值=总收入现值-总投资 例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变,且利率为,问其现值是多少? 解 因均匀收入率元,, 所以现值为 (元)即现值为20150元。例2现对某企业给予一笔投资, 经测算,该企业在T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入,若年利率为,试求:(1)该投资的纯收入贴现值:(2)收回该笔投资的时间。解(1)投资后T年中获总收入的现值为从而投资获得的纯收入的贴现值为 ;(2)收回投资,即总收入的现值等于投资,故有 由此解得收回投资的时间
3、 如果回收期为无限时期,则纯收入的贴现值为 显然,的值越大,投资效益越好,除国家允许外,都应避免的情况出现。例3若某企业投资万元, 年利率为,设在20年内的均匀收入率200万元/年,试求:(1)该投资的纯收入贴现值:(2)收回该笔投资的时间为多少? 解 总收入的现值为 (万元),从而投资所得纯收入为 (万元), 收回投资的时间为 (年)。例4 有一个大型投资项目,投资成本为(万元),投资年利率为,每年的均匀收入率(万元),求该投资为无限时期的纯收入的贴现值。解 由已知条件收入率(万元),年利率为,故无限期的投资的总收入的贴现值为 (万元)从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为(万元)。例5某工厂
4、生产某种产品的购置设备成本费用为50万元,在10年中每年可收回20万元,如果年利率为,并且假定购置的设备在10年中完全失去价值,求其投资效益。解 由题意知,收入率(万元),年利率为,投资(万元),故投资效益为 (万元).如果购置的设备不失去价值,每年的收入率仍为20万元,则投资效益为 (万元).(2)资本形成资本形成就是增加一定资本总量的过程,若此过程视为时间的连续过程,资本总量函数为时间的连续可导函数:,则资本形成率(资本形成的速度)为资本对时间的导数,此时,资本形成率也称为在时间处的净投资,记为, 即 由导数与不定积分的关系,有 。 设初始时刻时的资本,由积分上限函数的性质知,资本函数可表
5、为 上式表明,在任意时刻,资本总量等于初始资本(或)加上从时刻起到时刻止所增加的资本数量。根据上式求出在时间间隔上资本形成的总量。 即 。例6设净投资函数(单位:万元/年),求:(1)第1年期间资本积累的总量:(2)若原始资本为100万元,问从开始到第8年末的总资本是多少? 解(1)第1年期间所积累的资本为 6(万元) (2)(万元)2会计与统计方面的应用定积分在经济上有着广泛的应用,常见的有以下几种类型。(1)由边际函数求总函数由于总函数(如总成本,总收益、总利润等)的导数就是边际函数(如边际成本,边际收益、边际利润等),当已知初始条件时,既可以用不定积分求出总函数,也可以用定积分求出总函数
6、。例如:已知边际成本 ,固定成本、边际收益,则 总成本函数 ,总收益函数 ,总利润函数 例7已知生产某种产品单位时,边际收益为(元/单位).求:(1)总收益函数和平均收益;(2)生产100个单位产品的总收益;(3)生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.解(1), (元/单位). (2)(元) (3)(元).(2)由边际函数求总量函数的极值设边际收益,边际成本 ,固定成本,已知=,即时利润最大,则最大利润为.例8 某工厂生产某种产品单位时,其边际成本函数为,固定成本(单位:百元)。求:(1) 此产品从30个单位到50个单位所需的成本;(2) 总成本函数;(3) 若此产品的销售单价
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