两个计数原理的排列、组合(含答案).doc
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1、学习目标1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题类型一两个计数原理的应用例1电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有_种不同的结果答案28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计算:(1)幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30292017 400(种)结果;(2)幸运之星在乙箱中抽
2、,同理有20193011 400(种)结果因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果反思与感悟用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:具体意义如下:从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步,每步的方法数如图所示所以,完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5,“类”与“步”可进一步地理解为:“类”用“”号连接,“步”用“”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可跟踪训练1现有4种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A24种 B
3、30种 C36种 D48种答案D解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色,1与4可以同色,因此,要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为432432148.故选D.例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有_种(用数字作答)答案264解析上午总测试方法有432124(种);我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测
4、试D,则上午测试A的同学下午只能测试B、C,确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种;若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一,则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D,安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了,故共有339(种)测试方法,即下午的测试方法共有11种,根据分步乘法计数原理,总的测试方法共有2411264(种)反思与感悟用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为AD.完成AD这件事,需要经历三步,即AB,BC,CD.其中BC这步又分为三类,这就是步中有类其中mi(i1,2,3,4,5)表
5、示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有()A11 B12 C20 D21答案D解析根据题意,设5个开关依次为1、2、3、4、5,若电路接通,则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通,对于开关1、2,共有224(种)情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有413(种)情况,对于开关3、4、5,共有2228(种)情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有817(种)情况,则电路接通的情况有3721(种)故选D.类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男
6、生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法?解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同5个男生合在一起共有6个元素,排成一排有A种不同排法对于其中的每一种排法,3个女生之间又有A种不同的排法,因此共有AA4 320(种)不同的排法(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把5个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空,加上两边两
7、个男生外侧的两个位置,共有6个位置,再把3个女生插入这6个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A种不同的排法,对于其中任意一种排法,从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法,因此共有AA14 400(种)不同的排法(3)方法一(特殊位置优先法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有A种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有A种排法,所以共有AA14 400(种)不同的排法方法二(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法,从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法,但这样两端都
8、是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由于两端都是女生有AA种不同的排法,所以共有A2AAAA14 400(种)不同的排法方法三(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入,有A种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又都有A种不同的排法,所以共有AA14 400(种)不同的排法(4)方法一因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有AA种不同的排法;如果首位排女生,有A种排法,这时末位就只能排男生,这样可有AAA种不同的排法因此共有AAAAA36 000(种)不同的排法方法
9、二3个女生和5个男生排成一排有A种排法,从中扣去两端都是女生的排法有AA种,就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有AAA36 000(种)不同的排法(5)(顺序固定问题)因为8人排队,其中两人顺序固定,共有20 160(种)不同的排法反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相
10、邻问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练3用0到9这10个数字:(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中,奇数有多少个?(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数?解(1)可以组成9A4 536个四位数适合题意的四位奇数共有AAA2 240(个)(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个,分为三类:第1类:三位数字全相同,如111,222,999,共9个;第2类:三位数字全不同,共有998648(个),第3类:由间接法可求出,只含有2个相同数字的三
11、位数,共有9009648243(个)类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种?解分三类:第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有CCCCA种第二类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时,不同的排法有CCA种第三类,当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时,不同的排法有CCA种故满足题意的所有不同的排法种数为CCCCA2CCA432.反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选
12、后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?解(1)五位数中不含数字0.第1步,选出5个数字,共有CC种选法第2步,排成偶数先排末位数,有A种排法,再排其他四位数字,有A种排法所以N1CCAA.(2)五位数中含有数
13、字0.第1步,选出5个数字,共有CC种选法第2步,排顺序又可分为两小类:末位排0,有AA种排列方法;末位不排0.这时末位数有C种选法,而因为零不能排在首位,所以首位有A种排法,其余3个数字则有A种排法所以N2CC(AAAA)所以符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例5将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中,若各班名额数不小于班级序号数,则共有_种不同的分配方案答案15解析先拿3个优秀名额分配给二班1个,三班2个,这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中,每个班级中至少分配到1个利用“隔板法”可知,共有C15(种)不同的分配方案反思与感悟凡“相同小
14、球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用“隔板法”求解:(1)当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有NC种,即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”(2)任意分组,可出现某些组含元素为0个的情况,其不同分组方式有NC种,即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序,在nm1个位置中选m1个安排“隔板”跟踪训练5用2,3,4,5,6,7六个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案96解析用间接法:六个数字能构成的三位数共666216(个),而无重复数字的三位数共有A654120(个)故所求的三位数的个数为21612096.1李芳有
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