轨迹与方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第1页第二章 轨迹与方程主要内容：1、平面曲线方程2、曲面方程3、母线平行于坐标轴柱面方程4、空间曲线方程第2页第一节 平面曲线方程一、曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，假如一个方程与一定义：当平面上取定了标架之后，假如一个方程与一条曲线有着关系：条曲线有着关系：（1）满足方程）满足方程(x,y)必是曲线上某一点坐标；必是曲线上某一点坐标；（2）曲线上任何一点坐标）曲线上任何一点坐标(x,y)满足这个方程；满足这个方程；则这个方程称为这条曲线方程，这条曲线称为则这个方程称为这条曲线方程，这条曲线称为方程图形。方程图形。曲线方程常表示为：曲线方程常表示为：F(x,y)=0 或或 y=f(x)第3页二、曲线矢量式方程例例1、求圆心在原点，半径为、求圆心在原点，半径为R圆方程。圆方程。解：矢量式方程解：矢量式方程|OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知两点、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件求满足条件|MA|-|MB|=4动点轨迹。动点轨迹。化为普通方程为化为普通方程为xy=2 (x+y 2)故曲线为故曲线为yxoxy=2解：矢量式方程解：矢量式方程|MA|-|MB|=4第4页1、矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应径矢也伴随当动点按某种规律运动时，与它对应径矢也伴随时间时间t t不一样而改变（模与方向改变），这么径矢不一样而改变（模与方向改变），这么径矢称为称为变矢变矢，记为，记为r(t)(t)。假如变数。假如变数t(at(a t t b)b)每一个值每一个值对应于变矢对应于变矢r一个完全值（模与方向）一个完全值（模与方向）r(t)(t)，则称，则称r是变数是变数t t矢性函数矢性函数，记为，记为r=r(t)(t)(a(a t t b).b).2、矢性函数分量表示 设平面上取定标架为设平面上取定标架为O;O;e1 1,e2 2,则矢性函数可则矢性函数可表示为表示为r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b).b).（1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)分量，它们分别是变数分量，它们分别是变数t t函数函数。第5页3、矢量式参数方程 若取(atb)一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).4、坐标式参数方程曲线 参数方程常能够写成以下形式：称为曲线坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上任意点，总对应着以它为终点径矢，而这径矢可由t某一值t0(at0b)经过（1）完全确定，则称表示式（1）为曲线矢量式参数方程，其中t为参数。表示径矢r(t)第6页 已知直线l经过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v=X,Y共线，求直线l方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，则点M在l上充要条件为矢量M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定实数）又因为M0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式参数方程为 r=r0+tv(t+)（2）矢量式参数方程为5、直线方程故得l第7页注1：参数t几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。实际上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线方向矢量：与直线l共线非零矢量 v 称为直线l方向矢量。（3）：直线对称式方程由直线参数方程（2）中消去参数t可得：对称式方程（4）直线普通方程和点法式方程将对称式方程改写为Ax+By+c=0 (3)第8页 其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线普通方程。反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则Ax0+By0+c=0故（3）可改写为A(x-x0)+B(y-y0)=0 （4）或可见系数A，B几何意义是：矢量q=B,-A是直线（3）一个方向矢量，而矢量p=A,B垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我们称p=A,B为直线（3）法矢量，而方程（4）称为直线点法式方程。第9页6、两条直线相关位置判定给定两条直线l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0则（4）两直线交角第10页例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P轨迹。解：取直角坐标系，设半径为 a圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点，经过一段时间滚动，圆与直线切点移到 A 点，圆心位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成有向角为POraaxCy第11页则又因为|OA|=AP=a，所以OA=ai,AC=aj从而点P矢量式参数方程为r=a(-sin)i+a(1-cos)（+）其坐标式参数方程为这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy第12页例5 已知大圆半径为a，小圆半径为大圆半径四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点P轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线方程。解（略）参数方程为第13页七七 曲线参数方程曲线参数方程例6 把椭圆普通方程式 化为参数方程。法一法二设y=tx+b,代入原方程得解得 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取从而第14页在法二中，若令u=-t，则得椭圆另一个表示式为注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心直线束，而这时椭圆参数方程恰为直线束中直线与椭圆交点普通表达式。因为这时过点(0,b)y轴斜率不存在，所以需补上点(0,-b)，或把它看成当t时交点。第15页例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0)为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y初等函数来表示，如注2：在曲线普通方程与参数方程互化时，必须注意两种形式方程等价性，即考虑参数取值范围。第16页一、.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有以下关系:(1)S上任一点坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo第17页例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)线段垂直平分面方程。解：垂直平分面能够看成到两定点A和B等距离动点M(x,y,z)轨迹，故点M特征为|AM|=|BM|用两点间距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角平分面方程。解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离点轨迹，所以M(x,y,z)在平分面上充要条件是|y|=|x|即X+y=0 与 x-y=0第18页(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 (1)称方程(1)为球面标准方程.尤其:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 例3、求球心为M0(x0,y0,z0),半径为R球面方程.解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.即 M0 M R第19页解解依据题意有依据题意有所求方程为所求方程为第20页解:原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2+z2 =5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 球面.例5:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样曲面?第21页例例6 6 方程方程 图形是怎样？图形是怎样？依据题意有依据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解第22页二、曲面参数方程二、曲面参数方程1 1、双参数矢函数、双参数矢函数在两个变数u,v变动区域内定义函数r=r(u,v)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢r(u,v)分量，它们都是变数u，v函数。当u,v取遍变动区域一切值时，径矢OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画轨迹普通为一张曲面。Mozxy S第23页2 2、曲面矢量式参数方程、曲面矢量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)一切可能值，由（2）表示径矢r(u,v)终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上任意点M总对应着以它为终点径矢，而这径矢可由u,v值(aub,cvd)经过（2）完全决定，则称（2）式为曲面矢量式参数方程矢量式参数方程，其中u,v为参数。3 3、曲面坐标式参数方程、曲面坐标式参数方程因为径矢r(u,v)分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面参数方程也常写成表示式（3）称为曲面坐标式参数方程坐标式参数方程。第24页例5 求中心在原点，半径为r球面参数方程。M RxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上射影为P，而P在x轴上射影为Q，又设在坐标面上有向角(i,OP)=,Oz轴与OM交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos)i+(rsinsin )j+(rcos)k (4)此即为中心在原点，半径为r球面矢量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsincos)i第25页中心在原点，半径为r球面坐标式参数方程为（4），（5）中，为参数，其取值范围分别是0与-。第26页例7 求以z轴为对称轴，半径为R圆柱面参数方程。解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以 r=(Rcos)i+(Rsin)j+uk （6）此即为圆柱面矢量式参数方程。其坐标式参数方程为（6）（7）式中，u为参数，其取值范围是-，-u+第27页第三节第三节 母线平行于坐标轴柱面母线平行于坐标轴柱面xyzo1、引例:考虑方程x2+y2=R2所表示曲面.在xoy面上,x2+y2=R2 表示以原点O为圆心,半径为R圆.xoy面上圆 x2+y2=R2 叫做柱面准线.平行于 z 轴直线 L 叫做柱面母线.曲面能够看作是由平行于 z 轴直线L沿xoy面上圆x2+y2=R2 移动而形成,称该曲面为圆柱面.olM(x,y,0)第28页2、定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面准线.动直线 L 叫做柱面母线.第29页例例1:方程方程 y2=2x 表示表示.母线平行于母线平行于 z 轴柱面轴柱面,oxzyy2=2x它准线是它准线是xoy面上抛物线面上抛物线y2=2x,该柱面叫做该柱面叫做抛物柱面抛物柱面.第30页例例2:方程 xy=0表示.母线平行于 z 轴柱面,xxy=0zyo它准线是xoy面上直线xy=0,所以它是过z轴平面.第31页3 3、母线平行于坐标轴柱面方程母线平行于坐标轴柱面方程.1 方程方程F(x,y)=0 表表示示:2 方程方程F(x,z)=0 表表示示:3 方程方程F(y,z)=0 表表示示:母线平行于母线平行于 z 轴柱面轴柱面,准线为准线为xoy面上曲线面上曲线 C:F(x,y)=0.母线平行于母线平行于 y 轴柱面轴柱面,准线为准线为xoz面上曲线面上曲线 C:F(x,z)=0.母线平行于母线平行于 x 轴柱面轴柱面,准线为准线为yoz面上曲线面上曲线 C:F(y,z)=0.第32页例3、以下方程各表示什么曲面？（母线平行于z轴椭圆柱面）（母线平行于x轴双曲柱面）（母线平行于y轴抛物柱面）注：上述柱面方程都是二次，都称为二次柱面二次柱面。第33页第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程v空间曲线普通方程v空间曲线参数方程（1）矢量式参数方程（2）坐标式参数方程第34页空间曲线普通方程空间曲线普通方程 曲线上点都满足方曲线上点都满足方程，满足方程点都在曲线程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点不能同上，不在曲线上点不能同时满足两个方程时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面交线可看作空间两曲面交线.特点特点：一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程第35页例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点圆方程。解：例1、写出Oz轴方程。解：Oz轴可看成两个平面交线，如或可见，空间曲线普通方程表示不是唯一。第36页例3:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2交线是x 2+y 2+z 2=32 z=2一个圆,它普通方程是第37页例4:方程组表示怎样曲线?解:方程方程.它准线xOy面上圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面交线.（维维安尼曲线（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O,半径为a上半球面.表示母线平行于z 轴圆柱面第38页二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程将曲线C上动点坐标x,y,z都表示成一个参数t函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),伴随 t变动便可得曲线C上全部点.方程组(2)叫做空间曲线参数方程.第39页例例5:假假如如空空间间一一点点 M 在在圆圆柱柱面面 x2+y2=a2 上上以以角角速速度度 绕绕 z 轴轴旋旋转转,同同时时又又以以线线速速度度v 沿沿平平行行于于z 轴轴正正方方向向上上升升(其其中中,v都都是是常常数数),那那末末点点M 组组成成图图形形叫叫做做圆圆柱柱螺螺旋旋线线,试试建建立立其参数方程其参数方程.解解:取取时时间间t为为参参数数,设设当当t=0时时,动动点点位位于于x轴轴上上一一点点 A(a,0,0)处。处。经过时间经过时间t,由由A运动到运动到M(x,y,z),M在在xOy面上投影为面上投影为M (x,y,0).第40页(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还能够用其它变量作参数.xyzAOMtM第41页yxzAOMtM比如:令=t.为参数;螺旋线参数方程为:x=acos y=asin z=b 当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升高度与OM 转过角度成正比.尤其,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.第42页例例6 6 维维安尼曲线维维安尼曲线 二分之一径为二分之一径为a a球面与一个直径等于球面与一个直径等于球半径圆柱面，假如圆柱面经过球心，则球面与球半径圆柱面，假如圆柱面经过球心，则球面与圆柱面交线称为圆柱面交线称为维维安尼曲线维维安尼曲线，试写出其普通方程试写出其普通方程和参数方程。和参数方程。解：普通方程普通方程参数方程参数方程Oxyz第43页三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C普通方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程组(3)消去z后得方程H(x,y)=0 (4)方程(4)表示一个母线平行于z 轴柱面,曲线C 一定在曲面上.第44页以曲线C为准线,母线平行于z 轴(即垂直xOy面)柱面叫做曲线C关于xOy面投影柱面,投影柱面与xOy面交线叫做空间曲线在xOy面上投影曲线,或简称投影.所以方程所表示曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上投影曲线方程.第45页例1:已知两个球面方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1求它们交线C在xOy面上投影曲线方程.解:联立两个方程消去 z,得这是母线平行于z 轴椭圆柱面,两球面交线C在xOy面上投影曲线方程为第46页例2:设一个立体由上半球面 和锥面所围成,求它在xoy面上投影.解:半球面与锥面交线为由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于z 轴圆柱面.于是交线C 在xoy面上投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上一个圆.所以,所求立体在xoy面上投影为:x2+y2 1第47页补充补充:空间立体或曲面在坐标面上投影空间立体或曲面在坐标面上投影.空间立体空间立体曲面曲面第48页本章学习结束本章学习结束谢谢大家第49页