复习曲顶柱体的体积市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算复习：曲顶柱体体积复习：曲顶柱体体积第1页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第2页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算求曲顶柱体体积步骤以下：求曲顶柱体体积步骤以下：分割：分割：将矩形将矩形 任意分为任意分为 n 块可求面积小块块可求面积小块其面积仍记为其面积仍记为 。对应地将曲顶柱体分割。对应地将曲顶柱体分割成成 n 个小曲顶柱体，分别记为个小曲顶柱体，分别记为 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点在每一小块上任意取一点 则小曲则小曲顶柱体体积顶柱体体积 可用直柱体体积近似代替，即可用直柱体体积近似代替，即第3页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 求和：求和：把把 n 个小曲顶柱体体积相加，便得到所求曲顶柱个小曲顶柱体体积相加，便得到所求曲顶柱体体积近似值体体积近似值取极限，假如该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体取极限，假如该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体体积。这个和式极限恰好就是上一章引进二重积分，体积。这个和式极限恰好就是上一章引进二重积分，故所求曲顶柱体体积，等于对应二重积分值：故所求曲顶柱体体积，等于对应二重积分值：取极限：取极限：记记 在和式中令在和式中令第4页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 因为此曲顶柱体底面是一矩形，所以此曲顶柱体体积还因为此曲顶柱体底面是一矩形，所以此曲顶柱体体积还能够用另一个方法来计算。能够用另一个方法来计算。先复习定积分应用中一个结果：设空间立体位于平面先复习定积分应用中一个结果：设空间立体位于平面 与平面与平面 之间，用与之间，用与 轴垂直平面截立轴垂直平面截立体，截得截面截面面积为体，截得截面截面面积为 ，则此立体体积为，则此立体体积为化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分第5页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算作与作与 轴垂直平轴垂直平面，设截得曲顶柱面，设截得曲顶柱体截面面积为体截面面积为立体位于平面立体位于平面与平面与平面 之间，之间，则曲顶柱体体积为则曲顶柱体体积为第6页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算而而 就是平面就是平面 上，上，由曲线由曲线 与直线与直线 所围成曲边梯形面积，所以所围成曲边梯形面积，所以从而从而所以所以类似地，也能够用与类似地，也能够用与 轴垂直平面来截曲顶柱体，一样可轴垂直平面来截曲顶柱体，一样可得得第7页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算从上面分析，能够得到以下结果从上面分析，能够得到以下结果：定理定理1 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则第8页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第9页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第10页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算设设 在矩形在矩形 上连续，则上连续，则我们经常使用是连续函数，对连续函数有以下结果：我们经常使用是连续函数，对连续函数有以下结果：定理定理2 设设 在矩形在矩形 上可积，上可积，含参变量积分含参变量积分 存在，则存在，则类似地能够给出先对类似地能够给出先对 后对后对 积分结果：积分结果：第11页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算前面讨论了矩形区域上二重积分计算方法，下面考虑普通前面讨论了矩形区域上二重积分计算方法，下面考虑普通区域上二重积分计算。区域上二重积分计算。第一个情形：第一个情形：积分区域积分区域 D 由两条曲线由两条曲线及两条直线及两条直线围成，即围成，即这种区域特点是：与这种区域特点是：与 轴垂直直线与区域边界至多有两个交轴垂直直线与区域边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于点，或者有部分边界是平行于 y 轴直线段。轴直线段。依据积分区域特点，依据积分区域特点，分三种情况讨论。分三种情况讨论。第12页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算作包含此积分区域矩形作包含此积分区域矩形令令于是于是这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 二次积分。二次积分。第13页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算这时二重积分可化为先对这时二重积分可化为先对 后对后对 二次积分。二次积分。这种区域特点是：与这种区域特点是：与 轴垂直直轴垂直直线与区域边界至多有两个交点，线与区域边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于或者有部分边界是平行于 x 轴直轴直线段。线段。第14页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第三种情形：普通情形，这时可用平行于第三种情形：普通情形，这时可用平行于 轴与平行于轴与平行于 轴直线将积分区域分成上述两种情形求解。轴直线将积分区域分成上述两种情形求解。第15页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 X型区域特点型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴直线与轴直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.Y型区域特点型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴直线与轴直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后三个区域上分别使在分割后三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割.第16页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图第17页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图第18页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解原式原式第19页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第20页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第21页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第22页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解曲面围成立体如图曲面围成立体如图.第23页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第24页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算 解解 设这两个直交圆柱面方程为：设这两个直交圆柱面方程为：由图形对称性由图形对称性 第25页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分第26页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图第27页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算区域特征如图区域特征如图第28页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图第29页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算极坐标系下区域面积极坐标系下区域面积二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图第30页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第31页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第32页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第33页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第34页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解第35页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第36页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算三、三、二重积分普通变量替换二重积分普通变量替换第37页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第38页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第39页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第40页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第41页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第42页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第43页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第44页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1414解解第45页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第46页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1515解解第47页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算例例1616第48页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算解解:第49页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算第50页YunnanUniversity1.二重积分的计算二重积分的计算小结小结基本要求基本要求:变换后定限简便，求积轻易变换后定限简便，求积轻易第51页