数学公理化方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第四讲构建数学理论基本方法公理化方法第1页本讲内容v数学公理化方法历史演进过程关于几何公理体系v实质公理化与形式公理化v数学公理化方法逻辑特征第2页v所谓公理化方法,就是指从尽可能少原始概念和不加证实原始命题(即公理、公设)出发,按照逻辑规则推导出 其它命题,建立起一个演绎系统方法。第3页v数学上所谓公理,是数学需要用作自己出发点少数思想上要求 恩格斯第4页v公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学理论基础,有利于比较各个数学分支本质异同,促进新数学理论建立和发展。第5页v当代科学发展基本特点之一,就是科学理论数学化,而公理化是科学理论成熟和数学化一个主要特征。第6页v公理化方法发展,大
2、致经历了这么三个阶段:实质(或实体)实质(或实体)公理化阶段、形式形式公理化阶段和纯形式纯形式公理化阶段,用它们建构起来理论体系典范分别是几何原本、几何原本、几何基础和几何基础和ZFC公理系统公理系统。第7页v数学公理化方法历史演进 关于几何公理体系第8页欧几里德几何 历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体系是欧几里德,他工作集中表达在他几何原本中。v Quotations:The laws of nature are but the mathematical thoughts of God.There is no royal road to geometry.第9页欧几里得第10页v几何原
3、本受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德影响v毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证实演绎学科来进行研究方向。v亚里士多德首创造公理化思想,提出了逻辑学“三段论公理体系”。第11页v欧几里德首先指明了几何学研究对象,即点、线、面,在对这些对象进行“定义”(其实只是说明)以后,引进了关于这些对象一些显著事实作为不加证实而采取5个公设,进而又引进了更为普通5个断言作为公理,他经过这些公理、公设,逐步推演出465个命题。第12页v几何原本问世,在数学发展史上树立了一座不朽丰碑,对数学乃至科学发展起了巨大推进作用。v它也成为公认、历史上第一部巨大科学典籍。v它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求叙述其规律基础。第
4、13页v它基本上完善了初等几何体系,这正如黑格尔所说:“初等几何就欧几里得所遗留给我们内容而言,已经能够看作相当完备了,不可能有更多进展”。第14页v它所表达演绎美对数学美学思想发展也起到了不可低估作用,它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系奇迹,这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,推理这种可赞叹胜利,使人类理智取得了为取得以后成就所必须信心。(爱因斯坦语)。第15页v几何辉煌之处就在于只用极少公理而得到如此之多结果。v它提倡公理化方法,为数学家和物理学家树立了怎样建立科学理论体系光芒典范。第16页v牛顿采取欧几里德公理化方法,把他之前众多物理学家(如哥白尼、伽俐略、开普勒等)研究力学知识排列成逻
5、辑体系,组成一个有机整体。他名著自然哲学数学原理从力学三大运动定律出发,按照数学逻辑推理把力学定理逐一必定地引申出来。第17页About ElementsvThe Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting,in its original Greek form,then in Arabic,Latin,and then to modern languages of the present time.第18页vIt is also the worlds second most popula
6、r book,coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.第19页Greek version(888)Latin Version(1482)第20页English Version第21页第22页v“此书有四无须:无须疑、无须揣、无须试、无须改有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得。第23页v有三至三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实
7、至易,故能以其易易他物之难。易生于简,简生于明,综其妙在明而已”。徐光启几何原本杂议第24页汉字版v 16,由意大利传教士利玛窦口译,明代进士、数学家徐光启执笔,合作译完欧几里得几何原本前6卷,16在北京雕版刊行徐光启亲自写了刻几何原本序,手迹至今犹存。第25页v徐光启和利玛窦译几何原本前6卷,乃是东方最早译本(不计阿拉伯文本)。v较俄译本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麦文本(1745)、波兰文本(1817)都早。第26页v徐光启和利玛窦合译几何原本语言通俗,错误极少。v其中许多数学译名都是从无到有,边译边创造,而且都十分恰当。第27页v“几何”一词选取,其它如点、直线、平行线、角、三
8、角形、四边形、有理数,无理数等都是这个译本首先定下来。v这些名词在我国一直沿用至今,而且还影响到日本、朝鲜等邻国。第28页v只有少数名词以后有所改动。v1857年,清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作续译几何原本后9卷正式刊行。第29页非欧几何v非欧几里得几何是一门大数学分支,普非欧几里得几何是一门大数学分支,普通来讲通来讲,它有广义、狭义、通常意义这,它有广义、狭义、通常意义这三个方面不一样含义。三个方面不一样含义。v所谓广义式泛指一切和所谓广义式泛指一切和欧几里得几何欧几里得几何不不一样几何学,狭义非欧几何只是指罗氏一样几何学,狭义非欧几何只是指罗氏几何来说,至于通常意义非欧几何,就几
9、何来说,至于通常意义非欧几何,就是指是指罗氏几何罗氏几何和和黎曼几何黎曼几何这两种几何。这两种几何。第30页非欧几何v长久以来,不少数学家就对第五公设(即平行公设)持保留态度。若平面上一直线和两直线相交,当同旁两内角之和小于二直角时,则两直线在这一侧延长后一定相交。第31页因为v它在陈说和内容上显得复杂和累赘。v人们怀疑这条公设是多出,它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。第32页v而且深入认为,欧几里得之所以把它看成公设,只是因为他未能给出这一命题证实。v因而数学家们纷纷致力于证实第五公设,听说在欧几里得以后两千多年时间里,几乎难以发觉一个没有试证过第五公设大数学家。第33页vProcl
10、usDiadochus普罗克洛斯(411485),Greece John Playfair(17481819),Scotland Adrien-Marie Legendre(17521833),France第34页v不过全部试证第五公设努力均归于失败,在这些失败之中唯一引出正面结果便是一串与第五公设等价命题被发觉。v 普雷菲尔(John Playfair)公设:“在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交直线”。第35页v“三角形内角和等于两直角”。v“存在着相同三角形”等。v因为普雷菲尔公设形式最为简明,所以受到普遍采取,现在教科书中也惯用这一叙述形式来替换第五公设。第36页v其实,普雷菲
11、尔公设因为包含了平行线存在性,其与其它欧几里得公理、公设并不独立,更确切等价命题应为:“经过不在已知直线上一点,至多可引一条与该已知直线平行直线”(它被希尔伯特公理系统所采取,称为“平行公理”)。第37页v在总结前人失败教训基础上,1826年,俄国年轻数学家罗巴切夫斯基(NicolaiLobachevsky)从问题反面考虑,大胆地提出了与前人完全不一样信念:第38页v首先,他认为第五公设不能以其余几何公理作为前提来进行证实,即第五公设相对于其它公理、公设是独立。v 其次,更深入,他认为除去第五公设成立欧几里得几何之外,还能够有第五公设不成立新几何系统存在。第39页v于是,他在剔除第五公设而保留
12、欧氏几何其余公理、公设前提下,引进了一个相反于第五公设公理:“过平面上一已知直线外一点最少能够引两条直线与该已知直线不相交”。第40页v这么,罗巴切夫斯基就结构出来了一个新几何系统即罗巴切夫斯基几何系统,它与欧几里得几何系统相并列。第41页v以后,人们又证实了这两个部分地相互矛盾几何系统竟然是相对相容,亦即假定其中之一无矛盾,则另一个必定无矛盾。v这么,罗氏几何地位就得到了确立。第42页v几乎在罗巴切夫斯基创建非欧几何学同时,匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发觉了第五公设不可证实和非欧几何学存在。v鲍耶在研究非欧几何学过程中也遭到了家庭、社会冷漠对待。第43页v他父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设
13、是花费精力劳而无功蠢事,劝他放弃这种研究。v但鲍耶雅诺什坚持为发展新几何学而辛勤工作。终于在1832年,在他父亲一本著作里,以附录形式发表了研究结果。第44页v高斯也发觉第五公设不能证实,而且研究了非欧几何。v不过高斯害怕这种理论会遭到当初教会力量打击和迫害,不敢公开发表自己研究结果,只是在书信中向自己朋友表示了自己看法,也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们新理论。第45页Founders of Non-Euclidean Geometry NikolaiIvanovichLobachevsky(1793-1856)RussiaJohann Carl Friedrich Gauss(17
14、77-1855)Germany第46页罗巴切夫斯基v俄罗斯数学家,非欧几何早期发觉人之一。v罗巴切夫斯基在尝试证实平行公理时发觉以前全部证实都无法逃脱循环论证错误。v于是,他作出假定:过直线外一点,能够作无数条直线与已知直线平行。v假如这假定被否定,则就证实了平行公理。第47页v 然而,他不但没有能否定这个命题,而且用它同其它欧氏几何中与平行公理无关命题一起展开推论,得到了一个逻辑合理新几何体系非欧几里得几何学,这就是以后人们所说罗氏几何。第48页v罗氏几何创建对几何学和整个数学发展起了巨大作用,但一开始并没有引发重视,直到罗巴切夫斯基逝世后才逐步被广泛认同。v罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方
15、面也有一定成就。第49页匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v以一生时间试图证实欧几里德关于平行线不相交第五公设。v在格丁根大学学习时成了著名数学家高斯密友,保持通信直到1855年高斯逝世。v他几乎与科学界完全隔绝,但依然不倦地研究平行线公理。第50页匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v18他把一个v证实寄给高斯,高v斯指出了其中缺v陷,但他还继续研v究。第51页v在罗氏几何创建28年以后,1854年黎曼(Georg Riemann,18261866)又建立了另外一个“过直线外一点不能引出与该直线不相交直线”几何新体系黎曼几何。第52页v如所知,黎曼几何在爱因斯坦19创建“广义相对论”后,已得到
16、了证实和应用。第53页黎曼v第54页v“我对于把一切与物理规律结合起来数学研究非常入迷。”黎曼第55页黎曼v德国数学家,对数学分析和微分几德国数学家,对数学分析和微分几何做出了主要贡献,其中一些为广何做出了主要贡献,其中一些为广义相对论发展铺平了道路。他名字义相对论发展铺平了道路。他名字出现在黎曼出现在黎曼函数,黎曼积分,黎曼函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼黎曼-希尔伯特问题,黎曼思绪回环希尔伯特问题,黎曼思绪回环矩阵和黎曼曲面中。矩阵和黎曼曲面中。第56页v他首次登台作了题为他首次登台作了题为“论作为几何论作为几何基础假设基础假设”演讲,开
17、创了黎曼几何,演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦广义相对论提供了数并为爱因斯坦广义相对论提供了数学基础。学基础。v他在他在1857年升为格丁根大学编外教年升为格丁根大学编外教授,并在授,并在1859年狄利克雷逝世后成年狄利克雷逝世后成为正教授。为正教授。第57页v1851年,黎曼发表博士论文,以后被称为整个19世纪最主要数学论文。v黎曼是狄利克雷(Dirichlet,1805-1859)学生,他在论文中引用了狄利克雷原理。第58页德国数学家 狄利克雷v对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论创始人之一。曾受教于物理学家欧姆、数学家傅里叶影响。1855年接任高斯在哥廷根大学教授职位。第5
18、9页v在分析学方面,他是最早提倡严格化方法数学家之一。v1837年他提出函数是x与y之间一个对应关系当代观点。v在数论方面,他是高斯思想传输者和拓广者。第60页v1863年狄利克雷撰写了数论讲义,对高斯划时代著作算术研究作了明晰解释并有创见,使高斯思想得以广泛传输。v1837年,他结构了狄利克雷级数。第61页v18381839年,他得到确定二次型 类数公式。v1846年,使用抽屉原理。说明代数数域中单位数阿贝尔群结构。第62页v魏尔斯特拉斯(weierstrass,1815-1897):“不加证实利用狄利克雷是不恰当,不过有道理,我相信我能够得到这个原理一个证实。”第63页魏尔斯特拉斯v他是把
19、严格论证引进分析学一位大师,为分析严密化作出了不可磨灭贡献,是分析算术化运动开创者之一。第64页v他证实了(1860):任何有界无穷点集,一定存在一个极限点。v早在1860年一次演讲中,他从自然数导出了有理数,然后用递增有界数列极限来定义无理数,从而得到了整个实数系。v这是一个成功地为微积分奠定理论基础理论。第65页v为了说明直觉不可靠,1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院一次讲演中,结构了一个连续函数却处处不可微例子,震惊了整个数学界。v这个例子推进了人们去结构更多函数,这么函数在一个区间上连续或处处连续,但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推进了函数论发展。第66页v早在184
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