微积分问题的计算机求解省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章 微积分问题计算机求解微积分问题解析解微积分问题解析解函数级数展开与级数求和问题求解函数级数展开与级数求和问题求解数值微分数值微分数值积分问题数值积分问题曲线积分与曲面积分计算曲线积分与曲面积分计算第1页3.1 微积分问题解析解 3.1.1 极限问题解析解单变量函数极限格式1：L=limit(fun,x,x0)格式2：L=limit(fun,x,x0,left 或 right)第2页例:试求解极限问题 syms x a b;f=x*(1+a/x)x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)L=exp(a)*b例:求解单边极限问题 syms x;limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x),x,0,right)ans=12第3页在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线：x=-0.1:0.001:0.1;y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);Warning:Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.)plot(x,y,-,0,12,o)第4页多变量函数极限：格式：L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或 L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)假如x0 或y0不是确定值，而是另一个变量函数，如x-g(y)，则上述极限求取次序不能交换。第5页例：求出二元函数极限值 syms x y a;f=exp(-1/(y2+x2)*sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2);L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)L=exp(a2)第6页3.1.2 函数导数解析解函数导数和高阶导数格式：y=diff(fun,x)%求导数(默认为1阶)y=diff(fun,x,n)%求n阶导数例：一阶导数：syms x;f=sin(x)/(x2+4*x+3);f1=diff(f);pretty(f1)第7页 cos(x)sin(x)(2 x+4)-2 2 2 x +4 x+3 (x +4 x+3)原函数及一阶导数图：x1=0:.01:5;y=subs(f,x,x1);y1=subs(f1,x,x1);plot(x1,y,x1,y1,:)更高阶导数：tic,diff(f,x,100);tocelapsed_time=4.6860第8页原函数4阶导数 f4=diff(f,x,4);pretty(f4)2 sin(x)cos(x)(2 x+4)sin(x)(2 x+4)-[phone] x +4 x+3 (x +4 x+3)(x +4 x+3)3 sin(x)cos(x)(2 x+4)cos(x)(2 x+4)+12-24-[phone] (x +4 x+3)(x +4 x+3)(x +4 x+3)4 2 sin(x)(2 x+4)sin(x)(2 x+4)sin(x)+24-72-[phone] (x +4 x+3)(x +4 x+3)(x +4 x+3)第9页多元函数偏导：格式：f=diff(diff(f,x,m),y,n)或 f=diff(diff(f,y,n),x,m)例：求其偏导数并用图表示。syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);zx=simple(diff(z,x)zx=-exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)第10页 zy=diff(z,y)zy=(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)直接绘制三维曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);surf(x,y,z),axis(-3 3-2 2-0.7 1.5)第11页 contour(x,y,z,30),hold on%绘制等值线 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y);zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);%偏导数值解 quiver(x,y,zx,zy)%绘制引力线第12页例 syms x y z;f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2);df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z);df=simple(df);pretty(df)2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y-z)(cos(x y)-10 cos(x y)y x [phone]sin(x y)x y+4 cos(x y)x y -sin(x y)第13页多元函数Jacobi矩阵:格式：J=jacobian(Y,X)其中，X是自变量组成向量，Y是由各个函数组成向量。第14页例：试推导其 Jacobi 矩阵 syms r theta phi;x=r*sin(theta)*cos(phi);y=r*sin(theta)*sin(phi);z=r*cos(theta);J=jacobian(x;y;z,r theta phi)J=sin(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*cos(phi),-r*sin(theta)*sin(phi)sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta)*sin(phi),r*sin(theta)*cos(phi)cos(theta),-r*sin(theta),0 第15页隐函数偏导数：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)第16页例：syms x y;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y)3 2 2 -2 x+2+2 x +x y-4 x -2 x y -x(x-2)(2 y+x)第17页3.1.3 积分问题解析解不定积分推导：格式：F=int(fun,x)例：用diff()函数求其一阶导数，再积分，检验是否能够得出一致结果。syms x;y=sin(x)/(x2+4*x+3);y1=diff(y);y0=int(y1);pretty(y0)%对导数积分 sin(x)sin(x)-1/2-+1/2-x+3 x+1第18页对原函数求对原函数求4 4 阶导数，再对结果进行阶导数，再对结果进行4 4次积分次积分 y4=diff(y,4);y0=int(int(int(int(y4);pretty(simple(y0)sin(x)-2 x +4 x+3第19页例:证实 syms a x;f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f=1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4*x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+.(3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x);simple(f-f1)%求两个结果差ans=-3/16/a4第20页定积分与无穷积分计算:格式：I=int(f,x,a,b)格式：I=int(f,x,a,inf)第21页例：syms x;I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5)无解I1=1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)vpa(I1,70)ans=1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf)I2=1/2*2(1/2)*pi(1/2)第22页多重积分问题MATLAB求解例：syms x y z;f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(cos(x2*y)-syms x y z;f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(cos(x2*y)-10*cos(x2*y)*y*x2+.10*cos(x2*y)*y*x2+.4*sin(x2*y)*x4*y2+4*cos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y);4*sin(x2*y)*x4*y2+4*cos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y);f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x);f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x);f1=simple(int(f1,x)f1=simple(int(f1,x)f1=f1=exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y)exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y)第23页 f2=int(f0,z);f2=int(f2,x);f2=int(f2,x);f2=simple(int(f2,y)f2=2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2)simple(f1-f2)ans=0 次序改变使化简结果不一样于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是因为积分次序不一样，得不出实际最简形式。第24页例：syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans=(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解：vpa(ans,60)ans=3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588第25页3.2 函数级数展开与 级数求和问题求解3.2.1 Taylor 幂级数展开3.2.2 Fourier 级数展开3.2.3 级数求和计算第26页3.2.1 Taylor 幂级数展开 3.2.1.1 单变量函数 Taylor 幂级数展开第27页第28页例:syms x;f=sin(x)/(x2+4*x+3);y1=taylor(f,x,9);pretty(y1)2 23 3 34 4 4087 5 3067 6 515273 7 386459 8 1/3 x-4/9 x +-x -x +-x -x +-x -x 54 81 9720 7290 1224720 918540第29页 taylor(f,x,9,2)ans=1/15*sin(2)+(1/15*cos(2)-8/225*sin(2)*(x-2)+(-127/6750*sin(2)-8/225*cos(2)*(x-2)2+(23/6750*cos(2)+628/50625*sin(2)*(x-2)3+(-15697/6075000*sin(2)+28/50625*cos(2)*(x-2)4+(203/6075000*cos(2)+6277/11390625*sin(2)*(x-2)5+(-585671/2733750000*sin(2)-623/11390625*cos(2)*(x-2)6+(262453/19136250000*cos(2)+397361/5125781250*sin(2)*(x-2)7+(-875225059/34445250000000*sin(2)-131623/35880468750*cos(2)*(x-2)8 syms a;taylor(f,x,5,a)%结果较冗长，显示从略ans=sin(a)/(a2+3+4*a)+(cos(a)-sin(a)/(a2+3+4*a)*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a)+(-sin(a)/(a2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a2+3*cos(a)+4*cos(a)*a-4*sin(a)-2*sin(a)*a)/(a2+3+4*a)2*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a)2+第30页例:对y=sinx进行Taylor幂级数展开,并观察不一样阶次近似效果。x0=-2*pi:0.01:2*pi;y0=sin(x0);syms x;y=sin(x);plot(x0,y0,r-.),axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5);hold on for n=8:2:16 p=taylor(y,x,n),y1=subs(p,x,x0);line(x0,y1)endp=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7p=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9p=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11p=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13 第31页p=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13-1/1307674368000*x15第32页3.2.1.2 多变量函数Taylor 幂级数展开多变量函数 在Taylor幂级数展开第33页例：？syms x y;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);F=maple(mtaylor,f,x,y,8)F=mtaylor(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y),x,y,8)第34页 maple(readlib(mtaylor);读库，把函数调入内存 F=maple(mtaylor,f,x,y,8)F=-2*x+x2+2*x3-x4-x5+1/2*x6+1/3*x7+2*y*x2+2*y2*x-y*x3-y2*x2-2*y*x4-3*y2*x3-2*y3*x2-y4*x+y*x5+3/2*y2*x4+y3*x3+1/2*y4*x2+y*x6+2*y2*x5+7/3*y3*x4+2*y4*x3+y5*x2+1/3*y6*x syms a;F=maple(mtaylor,f,x=1,y=a,3);F=maple(mtaylor,f,x=a,3)F=(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-1+2*a2+2*a*y+1/2*y2)+exp(-a2-y2-a*y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)*(x-a)2第35页3.2.2 Fourier 级数展开第36页function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b)if nargin=3,a=-pi;b=pi;endL=(b-a)/2;if a+b,f=subs(f,x,x+L+a);end变量区域交换A=int(f,x,-L,L)/L;B=;F=A/2;for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=A,an;B=B,bn;F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endif a+b,F=subs(F,x,x-L-a);end 换回变量区域第37页例:syms x;f=x*(x-pi)*(x-2*pi);A,B,F=fseries(f,x,6,0,2*pi)A=0,0,0,0,0,0,0 B=-12,3/2,-4/9,3/16,-12/125,1/18 F=12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/125*sin(5*x)+1/18*sin(6*x)第38页例:syms x;f=abs(x)/x;%定义方波信号 xx=-pi:pi/200:pi;xx=xx(xx=0);xx=sort(xx,-eps,eps);%剔除零点 yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,r-.),hold on%绘制出理论值并保持坐标系 for n=2:20 a,b,f1=fseries(f,x,n),y1=subs(f1,x,xx);plot(xx,y1)end第39页a=0,0,0b=4/pi,0f1=4/pi*sin(x)a=0,0,0,0 b=4/pi,0,4/3/pif1=4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)第40页3.2.3 级数求和计算是在符号工具箱中提供第41页例:计算 format long;sum(2.0:63)%数值计算ans=1.844674407370955e+019 sum(sym(2).0:200)%或 syms k;symsum(2k,0,200)把2定义为符号量可使计算更准确ans=3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 syms k;symsum(2k,0,200)ans=3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751第42页例:试求解无穷级数和 syms n;s=symsum(1/(3*n-2)*(3*n+1),n,1,inf)%采取符号运算工具箱s=1/3 m=1:10000000;s1=sum(1./(3*m-2).*(3*m+1);%数值计算方法,双精度有效位16,“大数吃小数”,无法准确 format long;s1%以长型方式显示得出结果s1=0.33333332222165第43页例:求解 syms n x s1=symsum(2/(2*n+1)*(2*x+1)(2*n+1),n,0,inf);simple(s1)%对结果进行化简，MATLAB 6.5 及以前版本因本身 bug 化简很麻烦ans=log(2*x+1)2)(1/2)+1)/(2*x+1)2)(1/2)-1)%实际应为log(x+1)/x)第44页例:求 syms m n;limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf)ans=eulergamma vpa(ans,70)%显示 70 位有效数字ans=.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677 第45页3.3 数值微分 3.3.1 数值微分算法向前差商公式：向后差商公式第46页两种中心公式：第47页第48页第49页3.3.2 中心差分方法及其 MATLAB 实现 function dy,dx=diff_ctr(y,Dt,n)yx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0 y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0;yx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y;switch n case 1 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*Dt);L0=3;case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3;数值计算diff(X)表示数组X相邻两数差第50页 case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+.7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3);L0=5;case 4 dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4);L0=5;end dy=dy(L0+1:end-L0);dx=(1:length(dy)+L0-2-(n2)*Dt;调用格式：y为 等距实测数据，dy为得出导数向量，dx为对应自变量向量，dy、dx数据比y短。第51页例：求导数解析解,再用数值微分求取原函数14 阶导数，并和解析解比较精度。h=0.05;x=0:h:pi;syms x1;y=sin(x1)/(x12+4*x1+3);%求各阶导数解析解与对照数据 yy1=diff(y);f1=subs(yy1,x1,x);yy2=diff(yy1);f2=subs(yy2,x1,x);yy3=diff(yy2);f3=subs(yy3,x1,x);yy4=diff(yy3);f4=subs(yy4,x1,x);第52页 y=sin(x)./(x.2+4*x+3);%生成已知数据点 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1);subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,:);y2,dx2=diff_ctr(y,h,2);subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,:)y3,dx3=diff_ctr(y,h,3);subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,:);y4,dx4=diff_ctr(y,h,4);subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相对误差：norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans=3.5025e-004第53页3.3.3 用插值、拟合多项式求导数基本思想：当已知函数在一些离散点上函数值时，该函数可用插值或拟合多项式来近似，然后对多项式进行微分求得导数。选取x=0附近少许点进行多项式拟合或插值g(x)在x=0处k阶导数为第54页经过坐标变换用上述方法计算任意x点处导数值令将g(x)写成z表示式导数为可直接用 拟合节点 得到系数 d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1)第55页例：数据集合以下：xd:0 0.0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd:0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053计算x=a=0.3处各阶导数。xd=0 0.0.4000 0.6000 0.8000 1.000;yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053;a=0.3;L=length(xd);d=polyfit(xd-a,yd,L-1);fact=1;for k=1:L-1;fact=factorial(k),fact;end deriv=d.*factderiv=1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376第56页建立用拟合（插值）多项式计算各阶导数poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c=d(m:-1:1);去掉常数项fact(1)=1;for i=2:m;fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact;例：xd=0 0.0.4000 0.6000 0.8000 1.000;yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053;a=0.3;der=poly_drv(xd,yd,a)der=0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.8750第57页3.3.4 二元函数梯度计算格式：若z矩阵是建立在等间距形式生成网格基础上，则实际梯度为第58页例：计算梯度，绘制引力线图：x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);fx,fy=gradient(z);fx=fx/0.2;fy=fy/0.2;contour(x,y,z,30);hold on;quiver(x,y,fx,fy)%绘制等高线与引力线图第59页绘制误差曲面:zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y);zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);surf(x,y,abs(fx-zx);axis(-3 3-2 2 0,0.08)figure;surf(x,y,abs(fy-zy);axis(-3 3-2 2 0,0.11)建立一个新图形窗口第60页为降低误差，对网格加密一倍：x,y=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);fx,fy=gradient(z);fx=fx/0.1;fy=fy/0.1;zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y);zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);surf(x,y,abs(fx-zx);axis(-3 3-2 2 0,0.02)figure;surf(x,y,abs(fy-zy);axis(-3 3-2 2 0,0.06)第61页3.4 数值积分问题 4.3.1 由给定数据进行梯形求积Sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2第62页格式：S=trapz(x,y)例：x1=0:pi/30:pi;y=sin(x1)cos(x1)sin(x1/2);x=x1 x1 x1;S=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2S=1.9982 0.0000 1.9995 S1=trapz(x1,y)%得出和上述完全一致结果S1=1.9982 0.0000 1.9995第63页例：画图 x=0:0.01:3*pi/2,3*pi/2;%这么赋值能确保 3*pi/2点被包含在内 y=cos(15*x);plot(x,y)%求取理论值 syms x,A=int(cos(15*x),0,3*pi/2)A=1/15第64页伴随步距h减小，计算精度逐步增加：h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001;v=;for h=h0,x=0:h:3*pi/2,3*pi/2;y=cos(15*x);I=trapz(x,y);v=v;h,I,1/15-I;end vv=0.1000 0.0539 0.0128 0.0100 0.0665 0.0001 0.0010 0.0667 0.0000 0.0001 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 format long，v第65页3.4.2 单变量数值积分问题求解 梯形公式格式：(变步长）y=quad(Fun,a,b)y=quadl(Fun,a,b)%求定积分 y=quad(Fun,a,b,)y=quadl(Fun,a,b,)%限定精度定积分求解，默认精度为106。后面函数算法更精，精度更高。第66页例：第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)第二种：inline 函数第一个，普通函数方法第67页函数定义被积函数：y=quad(c3ffun,0,1.5)y=0.9661用 inline 函数定义被积函数：f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x);y=quad(f,0,1.5)y=0.9661利用符号工具箱：syms x,y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x2),0,1.5),60)y0=.966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 y=quad(f,0,1.5,1e-20)%设置高精度，但该方法失效第68页例：提升求解精度：y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y=0.9661 abs(y-y0)ans=.6402522848913892e-16 format long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y=0.96610514647531第69页例：求解绘制函数:x=0:0.01:2,2+eps:0.01:4,4;y=exp(x.2).*(x2);y(end)=0;x=eps,x;y=0,y;fill(x,y,g)为降低视觉上误差，对端点与间断点（有跳跃）进行处理。第70页调用quad():f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x);I1=quad(f,0,4)I1=57.76435412500863调用quadl():I2=quadl(f,0,4)I2=57.76445016946768 syms x;I=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4)I=57.764450125053010333315235385182第71页3.4.3 Gauss求积公式为使求积公式得到较高代数精度对求积区间a,b，经过变换有第72页以n=2高斯公式为例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x)y=cos(x);gauss2(gaussf,0,1)ans=0.8415第73页3.4.4 基于样条插值数值微积分运算基于样条插值数值微分运算格式：Sd=fnder(S,k)该函数能够求取Sk阶导数。格式：Sd=fnder(S,k1,kn)能够求取多变量函数偏导数第74页例：syms x;f=(x2-3*x+5)*exp(-5*x)*sin(x);ezplot(diff(f),0,1),hold on x=0:.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);sp1=csapi(x,y);建立三次样条函数 dsp1=fnder(sp1,1);fnplt(dsp1,-)绘制样条图 sp2=spapi(5,x,y);5阶次B样条 dsp2=fnder(sp2,1);fnplt(dsp2,:);axis(0,1,-0.8,5)第75页例：拟合曲面 x0=-3:.3:3;y0=-2:.2:2;x,y=ndgrid(x0,y0);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);sp=spapi(5,5,x0,y0,z);B样条dspxy=fnder(sp,1,1);fnplt(dspxy)第76页理论方法：syms x y;z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);ezsurf(diff(diff(z,x),y),-3 3,-2 2)对符号变量表示式做三维表面图第77页基于样条插值数值积分运算格式：f=fnint(S)其中S为样条函数。例：考虑 中较稀疏样本点,用样条积分方式求出定积分及积分函数。x=0,0.4,1 2,pi;y=sin(x);sp1=csapi(x,y);a=fnint(sp1,1);建立三次样条函数 xx=fnval(a,0,pi);xx(2)-xx(1)ans=2.0191第78页 sp2=spapi(5,x,y);b=fnint(sp2,1);xx=fnval(b,0,pi);xx(2)-xx(1)ans=1.9999绘制曲线 ezplot(-cos(t)+2,0,pi);hold on不定积分可上下平移 fnplt(a,-);fnplt(b,:)第79页3.4.5 双重积分问题数值解矩形区域上二重积分数值计算格式：矩形区域双重积分：y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)限定精度双重积分：y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM，)第80页例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y);y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y=1.57449318974494第81页任意区域上二元函数数值积分(调用工具箱NIT），该函数指定次序先x后y.第82页例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x);%内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x);%内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x);%交换次序被积函数 y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y=0.41192954617630第83页解析解方法：syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y),y,-sqrt(1-x2/2),sqrt(1-x2/2);int(i1,x,-1/2,1)Warning:Explicit integral could not be found.In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans=int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2),x=-1/2.1)vpa(ans)ans=.41192954617629511965175994017601第84页例：计算单位圆域上积分：先把二重积分转化：syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y),x,-sqrt(1-y.2),sqrt(1-y.2);Warning:Explicit integral could not be found.In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58第85页对x是不可积，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。fh=inline(sqrt(1-y.2),y);%内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y);%内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y);%交换次序被积函数 I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI=0.53686038269795第86页3.4.6 三重定积分数值求解格式:I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM,zm,zM，,quadl)其中quadl为详细求解一元积分数值函数,也可选取quad或自编积分函数,但调用格式要与quadl一致。第87页例：triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z),x,y,z),0,1,0,pi,0,pi,1e-7,quadl)ans=1.7328第88页3.5 曲线积分与曲面积分计算3.5.1 曲线积分及MATLAB求解第一类曲线积分 起源于对不均匀分布空间曲线总质量求取.设空间曲线L密度函数为f(x,y,z),则其总质量 其中s为曲线上某点弧长,又称这类曲线积分为对弧长曲线积分.第89页数学表示 若弧长表示为第90页例：syms t;syms a positive;x=a*cos(t);y=a*sin(t);z=a*t;I=int(z2/(x2+y2)*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2+diff(z,t)2),