线性代数知识点全面总结市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

矩阵矩阵 矩阵是线性代数关键，矩阵概念、运算及理论贯通线性代数一直，对矩阵了解与掌握要扎实深入。了解矩阵概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们性质。掌握矩阵线性运算、乘法、转置，以及它们运算规律，了解方阵幂与方阵乘积行列式。正确了解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质，以及矩阵可逆充分必要条件，了解伴随矩阵概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵初等变换，了解初等矩阵性质和矩阵等价概念，正确了解矩阵秩概念，熟练掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵方程。总复习总复习第1页概念特殊矩阵 mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)组成数表单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零 n 阶方阵 E对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零n阶方阵 对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图一、矩阵主要知识网络图AT=A反对称矩阵:AT=A矩阵第2页运算A+B=(aij+bij)kA=(kaij)AB=C 其中其中A与B同型第 i 行是 A 第 i 列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵 n 阶行列式|A|全部元素代数余子式组成矩阵AT:AT第3页逆矩阵概念求法证法假如AB=BA=E,则A可逆，B是A逆矩阵.用定义用伴随矩阵分块对角矩阵|A|0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆.反证法.第4页二、主要定理二、主要定理1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A|B|。2、若A是可逆矩阵，则A逆矩阵惟一。3、n阶矩阵A可逆|A|0 R(A)=n A为满秩矩阵。4、若AB=E(或BA=E),则B=A-1。5、若A为对称矩阵，则AT A。6、若A为反对称矩阵，则ATA。第5页三、主要公式、法则三、主要公式、法则。1、矩阵加法与数乘(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A;(4)A+(A)=O;(5)k(lA)=(kl)A;(6)(k+l)A=kA+lA;(7)k(A+B)=kA+kB;(8)1A=A,OA=O。2、矩阵乘法(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.第6页3、矩阵转置(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩阵逆(1)(A-1)-1=A;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴随矩阵(1)AA*=A*A=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n阶方阵行列式(1)|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A|B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.第7页四、经典例题四、经典例题1、方阵幂运算2、求逆矩阵3、解矩阵方程4、A*题第8页 方阵行列式方阵行列式 行列式是一个主要数学工具，在代数学中有较多应用。应该在正确了解n阶行列式概念，掌握行列式性质基础上，熟练地计算3阶、4阶行列式，也要会计算简单n阶行列式。还要会利用行列式求解n个方程n个未知数n元一次线性方程组。计算行列式基本方法是用按行（列）展开定理，通过降阶来实现，但在展开之前往往先利用行列式性质，对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这么可简化计算。要熟练利用计算行列式经典计算方法和计算技巧。第9页一、行列式主要知识点网络图一、行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列普通项是不一样行不一样列元素乘积代数和.D=DT交换行列式两行(列)，行列式变号。某行有公因子能够提到行列式外面。若行列式中某一行(列)全部元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式.某行(列)k倍加到另一行(列)，行列式不变。行列式知识点性质第10页展开计算行展开列展开定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法齐次线性方程组有非零解充要条件克拉默法则应用第11页二、主要定理二、主要定理1、行列式展开定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n)=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj2、行列式展开定理推论。ai1 Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (i j)a1jA1k+a2jA2k+anjAnk=0 (j k)第12页3、非齐次线性方程组克拉默法则。其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D 中第j 列元素用方程组常数项替换后得到n阶行列式。系数行列式D 0，原方程组有惟一解第13页4、齐次线性方程组克拉默法则。若齐次线性方程组有非零解，则它系数行列式必为零。第14页三、主要公式三、主要公式第15页第16页第17页四、经典例题四、经典例题1、34阶行列式2、简单n阶行列式3、用公式第18页 可逆矩阵与初等变换可逆矩阵与初等变换 矩阵初等变换是矩阵一个十分主要运算，他在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论探讨中都起到了十分主要作用。熟练掌握矩阵初等变换，了解初等矩阵性质和等价矩阵概念，了解矩阵秩概念，熟练掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵方法。了解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解充分必要条件。深刻了解线性方程组通解概念，掌握用初等变换求解线性方程组方法。第19页一、主要知识网络图 矩阵初等变换与线性方程组 矩阵初等变换初 等 方 阵矩 阵 秩线 性 方 程 组第20页 矩 阵 初 等 变 换概 念1.对换矩阵i,j两行（列）.2.用k0乘矩阵第i行（列）.3.把某i行（列）k倍加到另一行（列）对应元素上去.性 质1.初等变换不改变矩阵秩.2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.用 途求逆，求矩阵A秩、最简型、标准形.求线性方程组解.第21页 初 等 方 阵性 质初等方阵都是可逆矩阵，其逆依然是同种初等矩阵.对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个对应 m 阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个对应 n 阶初等方阵.任何可逆矩阵都能够表为若干个初等方阵乘积.概 念对单位矩阵实施一次初等变换而得到矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.第22页矩 阵 秩 概 念k阶子式.秩：矩阵非零子式最高阶数.性 质零矩阵秩为零.R(A)=R(AT)若B可逆，则R(AB)=R(A).R(A+B)R(A)+R(B)R(AB)minR(A),R(B)R(AB)R(A)+R(B)n若AB=0,则R(A)+R(B)n第23页线 性 方 程 组 有非零解 R(A)n.求 解1.化系数矩阵为最简形.2.找等价方程组.3.写通解.有解 R(A)=R(B).求 解1.把增广矩阵B化为最简形.2.找等价方程组.3.写通解.第24页二、主要定理二、主要定理1、若A 与B等价，则R(A)=R(B).2、初等矩阵左（右）乘矩阵A，其结果就相当于对A作对应初等行（列）变换。3、初等方阵均可逆，且其逆仍是同种初等方阵。4、若A 与B等价，则存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B.5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,Pl,使 A P1P2Pl。6、n 元齐次线性方程组Amnx=0 有非零解充分必要条件是系数矩阵秩R(A)n。7、n 元非齐次线性方程组Amnx=b 有解充分必要条件是系数矩阵秩R(A)等于增广矩阵R(A，b)秩。第25页三、主要公式三、主要公式1、矩阵秩(1)R(A)=R(AT);(2)R(A+B)R(A)+R(B)(3)R(AB)min R(A)R(B)(4)若P、Q可逆，则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)R(A),k 0,(5)R(kA)=0 ,k=0;A 0(6)R =R(A)+R(B)。0 B第26页2、用初等变换求逆3、用初等行变换求A-1B第27页四、经典例题四、经典例题1、用初等变换求逆和求秩。2、用初等变换求解线性方程组。3、用初等变换求A-1B。第28页 向量组线性相关性向量组线性相关性 向量组线性相关性是代数学中一个十分主要概念，对讨论线性方程组解存在性和解结构起到了至关主要作用。本章要求了解向量线性组合和线性表示概念，深刻了解向量组线性相关、线性无关定义，会用向量组线性相关、线性无关相关性质及判别法。了解向量组极大无关组和向量组秩概念，会求向量组极大无关组和秩。了解向量组等价概念，以及向量组秩与矩阵秩关系。了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念。掌握线性方程组解性质和结构，正确了解非齐次线性方程组和它所对应齐次线性方程组解之间关系，深刻了解齐次线性方程组基础解系、通解、解空间概念，熟练求解线性方程组通解。第29页一、向量组线性相关性主要知识网络图一、向量组线性相关性主要知识网络图向量组线性相关性n维向量运算线性表示概念判定线性相关概念判定线性无关概念判定充要条件充分条件充要条件充分条件极大无关组概念求法向量空间概念向量空间基第30页线性方程组Ax=0初 等行变换阶梯形有解判定总 有 解R(A)R(B)无解 R(A)=R(B)有解R(A)=n仅有零解R(A)0 （2）用次序主子式全大于零；（3）用n个特征值全大于零；（4）用正惯性指数p=n；（5）存在可逆矩阵C，使A=CTC。第51页三、经典例题三、经典例题1、求方阵特征值、特征向量。2、方阵对角化。3、化二次型为标准形。4、二次型及矩阵正定性判定。第52页 线性空间线性空间 线性空间是线性代数中比较抽象部分。概念抽象性、理论概括性当然增加了学习难度，不过，只要掌握了抽象思维与论证规律，我们就能够在更高视点上观察并处理一些理论与实际方面问题。它研究内容包含数及其运算、多项式及其运算、矩阵（向量）及其运算等。研究方法是针对每一个详细对象探索它们运算所满足各种性质，并用以处理本系统内对应问题。第53页线性空间线性空间基本性质基本性质子空间子空间一、主要知识网络图一、主要知识网络图集合、数域、运算律集合、数域、运算律惯用结论惯用结论基底基底维数维数基向量个数基向量个数基不惟一基不惟一n维空间维空间中任意中任意n个线性无个线性无关向量。关向量。L(1 1，2 2，,s)=定义定义第54页坐标与坐标变换坐标与坐标变换坐标定义坐标定义向量与其坐标向量与其坐标过渡矩阵过渡矩阵坐标变换公式坐标变换公式保持加法数乘关系保持加法数乘关系保持线性相关保持线性相关（或无关）一致性（或无关）一致性第55页 设V是一个非空集合,F是一个数域.假如能定义一个V元素间运算,叫做加法加法:对于V中任意两个元素,都有V中惟一元素 之对应;称为 与 和和,记为=+.另外,还能定义一个数域F数与集合V元素间运算,叫做数乘数乘:对于数域F中任一数k及集合V中任一元素,都有V中惟一元素与之对应;称为k与数积数积,记为=k.而且,集合V在以上两种运算下含有以下性质:对于任意,V 及 k,l F,1)+=+;2)(+)+=+(+);3)V中存在零元素零元素,通常记为0,对于任何,恒有+0=;4)对于V,都有负元素负元素V,使+=0;5)l=;6)k(l)=(kl)(式中是通常数乘法);7)(k+l)=k +l (式中是通常数乘法);8)k(+)=k +k;则称V为数域F上一个线性空间线性空间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第56页线性空间基本性质线性空间基本性质性质性质1 线性空间零元素惟一。性质性质2 线性空间中任一元素负元素惟一。性质性质3 设V是数域F上线性空间，则对任何 V及k F，总有：（i）0 =0；（ii）k0=0；(iii)当k0且 0时，定有k 0.性质性质4 设V 数域F上线性空间，则对任何kF及V，总有第57页 1一组向量 1，2，,s(s2)线性相关充分必要条件是有某个向量i能够被组中其余s-1个向量线性表示.2若向量可被一组线性无关向量1,2，,r线性表示,则表示方法惟一.3若1，2，,r线性无关，而1,2,r,线性相关，则必可由1,2,r（惟一地）线性表示.4线性相关向量组任意增加一些向量所成向量组依然线性相关.5线性无关向量组任一部分向量组仍是线性无关组.6若向量组1,2,s可由向量组1,2,t t线性表示,且st，那么1,2,s必为线性相关向量组.7向量组1,2,r秩为r充分必要条件是1,2,r线性无关.8向量组与它任意一个极大无关组等价.9等价向量组含有相同秩.第58页 设V是数域F上线性空间，假如V中存在n个向量 1，2，n满足:1)1，2 ，n线性无关;2)V中任何向量均可由1，2，n线性表示,则称1，2，n为V一个基基(或基底基底).基向量个数n称为线性空间V维数维数,记为dimV。零空间是不存在基线性空间，其维数为零。维数为n线性空间称为 n 维线性空间。维线性空间。第59页 设V是数域F上n维线性空间,1,2,n是V一个基.对于V中任一向量，则有数域 F 中唯一一组数a1，a2,an，使得称有序数组a1,a2,an为向量在基1,2,n下坐标，记为第60页二、经典例题二、经典例题2、用坐标变换公式求一个向量在线性空间某一个基 底下坐标。1、求由线性空间一个基底到另一个基底过渡矩阵。第61页