线性代数知识点全面总结市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
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1、 矩阵矩阵 矩阵是线性代数关键,矩阵概念、运算及理论贯通线性代数一直,对矩阵了解与掌握要扎实深入。了解矩阵概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及它们性质。掌握矩阵线性运算、乘法、转置,以及它们运算规律,了解方阵幂与方阵乘积行列式。正确了解逆矩阵概念,掌握逆矩阵性质,以及矩阵可逆充分必要条件,了解伴随矩阵概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵初等变换,了解初等矩阵性质和矩阵等价概念,正确了解矩阵秩概念,熟练掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵方程。总复习总复习第1页概念特殊矩阵 mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)
2、组成数表单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零 n 阶方阵 E对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零n阶方阵 对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图一、矩阵主要知识网络图AT=A反对称矩阵:AT=A矩阵第2页运算A+B=(aij+bij)kA=(kaij)AB=C 其中其中A与B同型第 i 行是 A 第 i 列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵 n 阶行列式|A|全部元素代数余子式组成矩阵AT:AT第3页逆矩阵概念求法证法假如AB=BA=E,则A可逆,B是A逆矩阵.用定义用伴随矩阵分块对角矩阵|A|0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆.反证法.第4页二、主要定理二、主
3、要定理1、设A、B是n阶矩阵,则|AB|=|A|B|。2、若A是可逆矩阵,则A逆矩阵惟一。3、n阶矩阵A可逆|A|0 R(A)=n A为满秩矩阵。4、若AB=E(或BA=E),则B=A-1。5、若A为对称矩阵,则AT A。6、若A为反对称矩阵,则ATA。第5页三、主要公式、法则三、主要公式、法则。1、矩阵加法与数乘(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A;(4)A+(A)=O;(5)k(lA)=(kl)A;(6)(k+l)A=kA+lA;(7)k(A+B)=kA+kB;(8)1A=A,OA=O。2、矩阵乘法(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+
4、C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.第6页3、矩阵转置(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩阵逆(1)(A-1)-1=A;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴随矩阵(1)AA*=A*A=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n阶方阵行列式(1)|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|
5、AB|=|A|B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.第7页四、经典例题四、经典例题1、方阵幂运算2、求逆矩阵3、解矩阵方程4、A*题第8页 方阵行列式方阵行列式 行列式是一个主要数学工具,在代数学中有较多应用。应该在正确了解n阶行列式概念,掌握行列式性质基础上,熟练地计算3阶、4阶行列式,也要会计算简单n阶行列式。还要会利用行列式求解n个方程n个未知数n元一次线性方程组。计算行列式基本方法是用按行(列)展开定理,通过降阶来实现,但在展开之前往往先利用行列式性质,对行列式作恒等变形,以期有较多零或公因式,这么可简化计算。要熟练利用计算行列式经典计算方法和计算技巧。第9
6、页一、行列式主要知识点网络图一、行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序,奇排列,偶排列普通项是不一样行不一样列元素乘积代数和.D=DT交换行列式两行(列),行列式变号。某行有公因子能够提到行列式外面。若行列式中某一行(列)全部元素均为两元素之和,则 该行列式可拆成两个行列式.某行(列)k倍加到另一行(列),行列式不变。行列式知识点性质第10页展开计算行展开列展开定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法齐次线性方程组有非零解充要条件克拉默法则应用第11页二、主要定理二、主要定理1、行列式展开定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n)=a1jA1j+a2jA2j+
7、anjAnj2、行列式展开定理推论。ai1 Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (i j)a1jA1k+a2jA2k+anjAnk=0 (j k)第12页3、非齐次线性方程组克拉默法则。其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D 中第j 列元素用方程组常数项替换后得到n阶行列式。系数行列式D 0,原方程组有惟一解第13页4、齐次线性方程组克拉默法则。若齐次线性方程组有非零解,则它系数行列式必为零。第14页三、主要公式三、主要公式第15页第16页第17页四、经典例题四、经典例题1、34阶行列式2、简单n阶行列式3、用公式第18页 可逆矩阵与初等变换可逆矩阵与初等变换 矩阵初等变换是矩阵一个十
8、分主要运算,他在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论探讨中都起到了十分主要作用。熟练掌握矩阵初等变换,了解初等矩阵性质和等价矩阵概念,了解矩阵秩概念,熟练掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵方法。了解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解充分必要条件。深刻了解线性方程组通解概念,掌握用初等变换求解线性方程组方法。第19页一、主要知识网络图 矩阵初等变换与线性方程组 矩阵初等变换初 等 方 阵矩 阵 秩线 性 方 程 组第20页 矩 阵 初 等 变 换概 念1.对换矩阵i,j两行(列).2.用k0乘矩阵第i行(列).3.把某i行(列)k倍加到另一行(列)对应元素上去.性 质1.初等变换不
9、改变矩阵秩.2.对A经过有限次初等变换得到B,则A等价B.用 途求逆,求矩阵A秩、最简型、标准形.求线性方程组解.第21页 初 等 方 阵性 质初等方阵都是可逆矩阵,其逆依然是同种初等矩阵.对Amn矩阵实施一次行初等变换,相当于对A左乘一个对应 m 阶初等方阵;对A实施一次列初等变换,相当于对A右乘一个对应 n 阶初等方阵.任何可逆矩阵都能够表为若干个初等方阵乘积.概 念对单位矩阵实施一次初等变换而得到矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.第22页矩 阵 秩 概 念k阶子式.秩:矩阵非零子式最高阶数.性 质零矩阵秩为零.R(A)=R(AT)若B可逆,则R(AB)=R(A).R(A+B
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