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义务教育教科书（华师）九年级数学下册义务教育教科书（华师）九年级数学下册 第第27章章 圆圆第1页 经过圆心弦（如图中经过圆心弦（如图中AB）叫做）叫做直径直径COAB连接圆上任意两点线段（如图连接圆上任意两点线段（如图AC）叫）叫做做弦弦，与圆相关概念与圆相关概念弦第2页圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做条弧都叫做半圆半圆COB弧圆上任意两点间部分叫做圆上任意两点间部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A、B为为端点弧记作端点弧记作 AB，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”第3页COAB劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆弧叫做小于半圆弧叫做劣弧劣弧.大于半圆弧叫做大于半圆弧叫做优弧优弧.（如图中（如图中AC）(用三个字母表示用三个字母表示,如图中如图中ACB)第4页想一想想一想判断以下说法正误：判断以下说法正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心线段是直径；过圆心线段是直径；(4)(4)过圆心直线是直径；过圆心直线是直径；(5)(5)半圆是最长弧；半圆是最长弧；(6)(6)直径是最长弦；直径是最长弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等弧等弧就是拉直以后长度相等弧 第5页一、一、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形”若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦直径垂直于弦直径平分弦平分弦,而且平分弦而且平分弦所两条弧所两条弧.第6页2 2、垂径定理逆定理、垂径定理逆定理CDAB,n由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）直径垂直于弦）直径垂直于弦,而且平而且平 分分弦所正确两条弧弦所正确两条弧.第7页(1)直径直径(过圆心线过圆心线)；(2)垂直弦；垂直弦；(3)平分弦平分弦；(4)平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意:“直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗这句话对吗?()错错OABCDM垂径定理及其推论垂径定理及其推论第8页OABCD1.两条弦在圆心同侧两条弦在圆心同侧OABCD2.两条弦在圆心两侧两条弦在圆心两侧例例O O半径为半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间间 距离是距离是_ _ .2cm或或14cm第9页圆心角圆心角：我们把顶点在圆心角叫做：我们把顶点在圆心角叫做圆心角圆心角.圆周角圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,而且两边都与圆相交角而且两边都与圆相交角,叫做叫做圆周角圆周角.OBAOBAC二、圆心角、弧、弦、弦心距关系二、圆心角、弧、弦、弦心距关系第10页 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,假如假如两个圆心角两个圆心角,两两条弧条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相有一组量相等等,那么它们所对应其余各组量都分别相等那么它们所对应其余各组量都分别相等.OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB二、圆心角、弧、弦、弦心距关系二、圆心角、弧、弦、弦心距关系第11页总而言之总而言之,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC大小关系是大小关系是:同弧所正确同弧所正确圆周角圆周角等于它所正确等于它所正确圆心角二分之圆心角二分之一一.OABCOABCOABC即即 ABC=AOC.ABC=AOC.第12页三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 90 90圆周角所正确弦是圆周角所正确弦是 .OABCOBACDEOABC 定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧同弧或等弧所正确圆周角相等所正确圆周角相等,都等于这弧所正确都等于这弧所正确圆心角二分之一圆心角二分之一.推论:直径所对圆周角是 .直角直角直径直径判断判断:(1)相等圆心角所正确弧相等相等圆心角所正确弧相等.(2)相等圆周角所正确弧相等相等圆周角所正确弧相等.(3)等弧所正确圆周角相等等弧所正确圆周角相等.()()()第13页1、如图、如图1，AB是是 O直径，直径，C为圆上一点，弧为圆上一点，弧AC度数为度数为60，ODBC，D为垂足，且为垂足，且OD=10，则，则AB=_，BC=_；2、已知、是同圆两段弧，且弧、已知、是同圆两段弧，且弧AB等于等于2倍弧倍弧AC，则弦，则弦AB与与CD之间关系为（之间关系为（）；）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定不能确定图图1第14页3、如图如图2，O中弧中弧AB度数为度数为60，AC是是 O直径，那直径，那么么BOC等于等于()；A150 B130 C120 D604、在、在ABC中，中，A70，若，若O为为ABC外心，外心，BOC=；若；若O为为ABC内心，内心，BOC=图图2第15页 5、两个同心圆直径分别为、两个同心圆直径分别为5 cm和和3 cm，则圆环部分宽度为，则圆环部分宽度为_ cm；6、如图、如图1,已知已知 O，AB为直径，为直径，ABCD，垂足为，垂足为E，由图，由图你还能知道哪些正确结论你还能知道哪些正确结论?请把它们一一写出来请把它们一一写出来 ；7、为改进市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆、为改进市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管直径为柱型水管直径为100 cm，截面如图，截面如图2，若管内污水面宽，若管内污水面宽AB=60 cm，则污水最大深度为，则污水最大深度为 cm；图图1图图2第16页.p.or.o.p.o.p四、点和圆位置关系四、点和圆位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外第17页不不在在同一直线上三个点同一直线上三个点确确定一个圆定一个圆（这个三角形叫做圆这个三角形叫做圆内接内接三角形，这个圆叫做三角形三角形，这个圆叫做三角形外接外接圆，圆心叫做三角形圆，圆心叫做三角形外心外心）圆内接四边形性质：圆内接四边形性质：（1）对角互补；对角互补；（2）任意一个外角都等于它内对任意一个外角都等于它内对角角反证法三个步骤：反证法三个步骤：1、提出假设、提出假设2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，必定结论正确、由矛盾判定假设不成立，必定结论正确第18页经过三角形三个顶点能够画一个圆，而且只能画一个一个三角形外接圆有几个？一个三角形外接圆有几个？一个圆内接三角形有几个？一个圆内接三角形有几个？经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆。三角形外心就是三角形三角形外心就是三角形三条边垂直平分线交三条边垂直平分线交点点，它到三角形三个顶点距离相等。，它到三角形三个顶点距离相等。这个三角形叫做这个圆这个三角形叫做这个圆内内接三角形接三角形。三角形外接圆圆心叫做这个三角形外心。OABC 相关概念相关概念第19页 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们外接圆，观察并叙述各三角形与它外心位置关系.做一做锐角三角形外心位于三角形内,直角三角形外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形外心位于三角形外.ABCOABCCABOO第20页1、O半径为半径为R，圆心到点，圆心到点A距离为距离为d，且，且R、d分别是方程分别是方程x26x80两根，则点两根，则点A与与 O位置关位置关系是（系是（）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M O最长弦为最长弦为10 cm，最短弦长为，最短弦长为8 cm，则，则OM=_ cm.第21页3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，ABCD能够是（能够是（）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3第22页 练习：有两个同心圆，半径分别为练习：有两个同心圆，半径分别为和和r，是圆环内一点，则是圆环内一点，则取值取值范围是范围是.rOPR第23页1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.五五.直线与圆位置关系直线与圆位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd第24页切线判定定理切线判定定理定理定理 经过半径外端经过半径外端,而且垂直于这条半径直线而且垂直于这条半径直线是圆切线是圆切线.CDOA如图如图OAOA是是O O半径半径,且且CDOACDOA,CDCD是是O O切线切线.第25页（）定义（）定义（）圆心到直线距离（）圆心到直线距离d圆半径圆半径r（）（）切线判定定理：切线判定定理：经过半径外端经过半径外端,而且而且垂直于这条半径直线是圆切线垂直于这条半径直线是圆切线.切线判定方法切线判定方法第26页切线切线判判定定理两定定理两种应用种应用1、假如已知直线与圆有交点，往往、假如已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点半径作出过这一点半径，再证实直线垂直于再证实直线垂直于这条半径即可；这条半径即可；2、假如不明确直线与圆交点，往往、假如不明确直线与圆交点，往往要作要作出圆心到直线垂线段出圆心到直线垂线段，再证实这条垂线再证实这条垂线段等于半径即可段等于半径即可第27页切线性质定理切线性质定理圆切线垂直于圆切线垂直于过切点半径过切点半径.CDCD切切O O于于,OA,OA是是O O半径半径CDOA CD OA.第28页切线切线性质性质定理出可定理出可了解为了解为假如一条直线满足以下三个性质中假如一条直线满足以下三个性质中任意两个任意两个，那么，那么第三个也成立。第三个也成立。经过切点、经过切点、垂直于切线、垂直于切线、经过圆心。经过圆心。如如任意两个任意两个第29页做一做：做一做：1、两个同心圆半径分别为、两个同心圆半径分别为3 cm和和4 cm，大圆弦，大圆弦BC与小圆相切，则与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图、如图2，在以，在以O为圆心两个同心圆为圆心两个同心圆中，大圆弦中，大圆弦AB是小圆切线，是小圆切线，P为切点，为切点，设设AB=12，则两圆组成圆环面积为，则两圆组成圆环面积为_；3、以下四个命题中正确是（、以下四个命题中正确是（）与圆有公共点直线是该圆切线与圆有公共点直线是该圆切线；垂直于圆半径直垂直于圆半径直线是该圆切线线是该圆切线；到圆心距离等于半径直线是该圆切到圆心距离等于半径直线是该圆切线线 ；过圆直径端点，垂直于此直径直线是该圆切线过圆直径端点，垂直于此直径直线是该圆切线A.B.C.D.第30页一一一一、判断。、判断。1、三角形外心到三角形各边距离相等；、三角形外心到三角形各边距离相等；（）2、直角三角形外心是斜边中点、直角三角形外心是斜边中点 （）二、填空：二、填空：1、直角三角形两条直角边分别是、直角三角形两条直角边分别是5cm和和12cm，则，则它外接圆它外接圆 半径半径，内切圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比比 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1第31页三、选择题：三、选择题：以下命题正确是（以下命题正确是（）A、三角形外心到三边距离相等、三角形外心到三边距离相等B、三角形内心不一定在三角形内部、三角形内心不一定在三角形内部C、等边三角形内心、外心重合、等边三角形内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆、三角形一定有一个外切圆C C四、一个三角形四、一个三角形,它周长为它周长为30cm,它内切它内切圆半径为圆半径为2cm,则这个三角形面积为则这个三角形面积为_30cm第32页交点个数交点个数 名称名称0外离外离1外切外切2相交相交1内切内切0内含内含同心圆是内含特殊情况同心圆是内含特殊情况d,R,r 关系关系dR rd R+rd=R+rR-r d R+rd=R-rd R-r六六.圆与圆位置关系圆与圆位置关系第33页A AB BC CO O七七七七.三角形外接圆和内切圆：三角形外接圆和内切圆：三角形外接圆和内切圆：三角形外接圆和内切圆：A AB BC CI I三角三角三角三角形内切形内切形内切形内切圆圆心圆圆心圆圆心圆圆心叫叫叫叫三角三角三角三角形形形形内心内心内心内心。三角形外接圆圆心叫三角形三角形外接圆圆心叫三角形三角形外接圆圆心叫三角形三角形外接圆圆心叫三角形外心外心外心外心实质实质性质性质三角形外心三角形内心三角形三边垂直平分线交点三角形三边垂直平分线交点三角形三内角角平分线交点三角形三内角角平分线交点到三角形各边距到三角形各边距离相等离相等到三角形各顶点到三角形各顶点距离相等距离相等第34页锐角三角形外心位于三角形锐角三角形外心位于三角形内内,直角三角形外心位于直角三角形直角三角形外心位于直角三角形斜边中点斜边中点,钝角三角形外心位于三角形钝角三角形外心位于三角形外外.ABCOABCCABOO三角形外心三角形外心是否一定在三角形内部？是否一定在三角形内部？第35页n从圆外一点向圆所引两条切线长相从圆外一点向圆所引两条切线长相等等;而且这一点和圆心连线平分两条而且这一点和圆心连线平分两条切线夹角切线夹角.ABPO12ABCODEFABCOODEF切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形内切圆半直角三角形内切圆半径与三边关系径与三边关系.n三角形内切圆半径与圆面积三角形内切圆半径与圆面积.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2第36页1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对圆心角是,圆周角是.60度度30或或150度度第37页2：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，假如假如 AOC=140，求，求 B度数度数3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点距离最长为上一点距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O半径为半径为_.D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或或4cm第38页4.4.怎样要将一个如图所表示怎样要将一个如图所表示破镜破镜重圆重圆？第39页ABCP5、如图，如图，AB是是 O任意一条弦，任意一条弦，OCAB，垂足，垂足为为P，若，若 CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面你能帮老师求出这面镜子半径吗？镜子半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径第40页6.如图：如图：AB是圆是圆O直径，直径，BD是圆是圆O弦，弦，BD到到C，AC=AB，BD与与CD大小有什么关系？大小有什么关系？为何？为何？补充：补充：若B=70,则DOE=E40 第41页7、如图、如图,AB是圆是圆O直径直径,圆圆O过过AC中点中点D,DEBC于于E证实证实:DE是圆是圆O切线切线.ABCDEO.第42页