非线性方程求解省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第二章非线性非线性方程求解方程求解 第1页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章 非线性方程求解目录非线性方程求解目录 1对分法对分法2迭代法迭代法2.1迭代法基本思想迭代法基本思想2.2迭代法收敛条件迭代法收敛条件2.3 Steffensen方方 法法 简简 单单 迭迭 代代法加速法加速3Newton法与弦截法法与弦截法3.1Newton法法3.2弦截法弦截法第2页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章 非线性方程求解概述 很多科学计算问题经常很多科学计算问题经常很多科学计算问题经常很多科学计算问题经常归结为求解方程:归结为求解方程:归结为求解方程:归结
2、为求解方程:第3页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进比如,从曲线比如,从曲线比如,从曲线比如,从曲线y y=x x和和和和y y=lg xlg x简单草图可看出方程简单草图可看出方程简单草图可看出方程简单草图可看出方程lglg x x+x x=0=0有唯一正根有唯一正根有唯一正根有唯一正根x x*,不过没有求,不过没有求,不过没有求,不过没有求x x*准确值已知方法,准确值已知方法,准确值已知方法,准确值已知方法,即使是对代数方程,要求其准确解也是困难。对于二次方即使是对代数方程,要求其准确解也是困难。对于二次方即使是对代数方程,要求其准确解也是困难。对于二次方即使是对代数方程,
3、要求其准确解也是困难。对于二次方程程程程axax2 2+bx+cbx+c=0=0,我们能够用熟悉求根公式,我们能够用熟悉求根公式,我们能够用熟悉求根公式,我们能够用熟悉求根公式:对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并不实用。而对于大于等于五次代数方程,它根不能用方不实用。而对于大于等于五次代数方程,它根不能用方不实用。而对于大于等于五次代数方程,它根不能用方不实用。而对于大于等于五次代数方程,它根不能用方程系数解析式表示,至于普通超越方程,更没有求根公程系数
4、解析式表示,至于普通超越方程,更没有求根公程系数解析式表示,至于普通超越方程,更没有求根公程系数解析式表示,至于普通超越方程,更没有求根公式。所以,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种式。所以,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种式。所以,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种式。所以,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。数值方法来求其近似解。数值方法来求其近似解。数值方法来求其近似解。对于方程(对于方程(对于方程(对于方程(2-12-1)要求得其准确解普通来说是不可能。)要求得其准确解普通来说是不可能。)要求得其准确解普通来说是不可能。)要求得其准确解普通来说是不
5、可能。第4页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进求方程根近似解,普通有以下几个问题:求方程根近似解,普通有以下几个问题:求方程根近似解,普通有以下几个问题:求方程根近似解,普通有以下几个问题:3.3.3.3.根准确化:根准确化:根准确化:根准确化:已知一个根粗略近似值后,建立计算方法已知一个根粗略近似值后,建立计算方法已知一个根粗略近似值后,建立计算方法已知一个根粗略近似值后,建立计算方法快要似解逐步准确化,直到满足给定精度为止。快要似解逐步准确化,直到满足给定精度为止。快要似解逐步准确化,直到满足给定精度为止。快要似解逐步准确化,直到满足给定精度为止。设函数设函数设函数设函数f
6、f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且f f(a a)f f(b b)0)0,则在,则在,则在,则在 a a,b b 内方程内方程内方程内方程f f(x x)=0)=0有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。依据此结论,我们能够采取以下两种方法求出根隔离依据此结论,我们能够采取以下两种方法求出根隔离依据此结论,我们能够采取以下两种方法求出根隔离依据此结论,我们能够采取以下两种方法求出根隔离区间。区间。区间。区间。1.1.根存在性:根存在性:根存在性:根存在性:方程是否
7、有根?假如有根,有几个根?方程是否有根?假如有根,有几个根?方程是否有根?假如有根,有几个根?方程是否有根?假如有根,有几个根?2.2.2.2.根隔离:根隔离:根隔离:根隔离:确定根所在区间,使方程在这个小区间内有确定根所在区间,使方程在这个小区间内有确定根所在区间,使方程在这个小区间内有确定根所在区间,使方程在这个小区间内有且仅有一个根,这一过程称为根隔离,完成根隔离,就可且仅有一个根,这一过程称为根隔离,完成根隔离,就可且仅有一个根,这一过程称为根隔离,完成根隔离,就可且仅有一个根,这一过程称为根隔离,完成根隔离,就可得到方程各个根近似值。得到方程各个根近似值。得到方程各个根近似值。得到方
8、程各个根近似值。关于根存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有关于根存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有关于根存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有关于根存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。根隔离主要依据以下结论:根隔离主要依据以下结论:根隔离主要依据以下结论:根隔离主要依据以下结论:第5页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进求根隔离区间两种方法1.1.描图法:描图法:描图法:描图法:画出画出画出画出y=y=f f(x x)草图,由草图,由草图,由草图,由f f(x x)与与与与x x轴交点大约位置轴交点大约位置轴交
9、点大约位置轴交点大约位置来确定有根区间。也可利用导函数来确定有根区间。也可利用导函数来确定有根区间。也可利用导函数来确定有根区间。也可利用导函数f f (x x)正、负与函数正、负与函数正、负与函数正、负与函数f f(x x)单调性关系来确定根大约位置。单调性关系来确定根大约位置。单调性关系来确定根大约位置。单调性关系来确定根大约位置。例例例例1 1 求求求求f f(x x)=3)=3x x 1 1 coscosx x=0=0有根区间有根区间有根区间有根区间解:将方程变形为解:将方程变形为解:将方程变形为解:将方程变形为3 3x x 1=cos1=cosx x绘出曲线绘出曲线绘出曲线绘出曲线
10、y y=3=3x x 1 1及及及及 y y=cos=cosx x,由图由图由图由图8-18-1可知,方程只有一个可知,方程只有一个可知,方程只有一个可知,方程只有一个实根:实根:实根:实根:yxx x*图图图图8-18-1例例例例2 2紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第6页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.2.逐步搜索法:逐步搜索法:逐步搜索法:逐步搜索法:从区间从区间从区间从区间 a a,b b 左端点左端点左端点左端点a a出发,按选定步长出发,按选定步长出发,按选定步长出发,按选定步长h h一步步向右搜索,一步步向右搜索,一步步向右搜索,一步步向右搜索,若若若若:则区
11、间则区间则区间则区间 a a+jhjh,a a+(+(j j+1)+1)h h 内必有根。搜索过程也能够内必有根。搜索过程也能够内必有根。搜索过程也能够内必有根。搜索过程也能够从从从从 b b开始,这时应取步长开始,这时应取步长开始,这时应取步长开始,这时应取步长h h00,)0,f f(0)=10,(0)=10,f f(3)=(3)=260,260)0所以仅有二个实根,所以仅有二个实根,所以仅有二个实根,所以仅有二个实根,分别位于分别位于分别位于分别位于(0,3),(3,(0,3),(3,)内。又因内。又因内。又因内。又因f f(4)=10,(4)=10,所以,二个所以,二个所以,二个所以,
12、二个隔根区间确定为隔根区间确定为隔根区间确定为隔根区间确定为(0,3),(3,4)(0,3),(3,4)。第7页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进1对分法设设设设f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且上连续,严格单调,且f f(a a)f f(b b)0)0,不妨设,不妨设,不妨设,不妨设f f(a a)0,)0)0,则方程,则方程,则方程,则方程f f(x x)=0)=0在在在在 a a,b b 内存在唯一实根,对分法基本思想是:用对分区间方法,内存在唯一实根,对分法基本思想是:用对分区间方法,内存
13、在唯一实根,对分法基本思想是:用对分区间方法,内存在唯一实根,对分法基本思想是:用对分区间方法,经过判别函数经过判别函数经过判别函数经过判别函数f f(x x)在每个对分区间中点符号,逐步将有根在每个对分区间中点符号,逐步将有根在每个对分区间中点符号,逐步将有根在每个对分区间中点符号,逐步将有根区间缩小,最终求得一个含有相当准确程度近似根。详细区间缩小,最终求得一个含有相当准确程度近似根。详细区间缩小,最终求得一个含有相当准确程度近似根。详细区间缩小,最终求得一个含有相当准确程度近似根。详细步骤为步骤为步骤为步骤为:第8页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进若每次对分区间时所取区间
14、中点都不是根,则若每次对分区间时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限地进行下去,当上述过程将无限地进行下去,当n时,区间将时,区间将最终收缩为一点最终收缩为一点x*,显然,显然x*就是所求方程根就是所求方程根。第9页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进对分法误差预计作为作为作为作为x x*近似值,则误差为:近似值,则误差为:近似值,则误差为:近似值,则误差为:只要只要只要只要n n足够大(即区间对分次数足够多),足够大(即区间对分次数足够多),足够大(即区间对分次数足够多),足够大(即区间对分次数足够多),x xn n误差就可误差就可误差就可误差就可足够小,且只要足够小,且只要足
15、够小,且只要足够小,且只要f f(x x)连续,对分区间总是收敛。连续,对分区间总是收敛。连续,对分区间总是收敛。连续,对分区间总是收敛。式(式(式(式(8-28-2)不但能够预计对分区间法误差,而且能够给)不但能够预计对分区间法误差,而且能够给)不但能够预计对分区间法误差,而且能够给)不但能够预计对分区间法误差,而且能够给定误差限定误差限定误差限定误差限 预计出对分区间次数,因为由式(预计出对分区间次数,因为由式(预计出对分区间次数,因为由式(预计出对分区间次数,因为由式(2-22-2)有:)有:)有:)有:若取区间若取区间若取区间若取区间 a an n,b bn n 中点:中点:中点:中点
16、:第10页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进例例3解:解:解:解:因为因为因为因为f f(x x)连续且连续且连续且连续且f f (x x)=3)=3x x2 2+100(+100(x x (,),故故故故f f(x x)在在在在(,)上单调增加上单调增加上单调增加上单调增加而而而而f f(1)=(1)=90,90(2)=80所以所以所以所以原方程在(原方程在(原方程在(原方程在(1 1,2 2)内有唯一实根。)内有唯一实根。)内有唯一实根。)内有唯一实根。第11页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进N Na an nb bn nx xn nf f(x xn n)0
17、01 12 21.51.5-1.625-1.6251 11.51.52 21.751.752.8593752.8593752 21.51.51.751.751.6251.6250.541015630.541015633 31.51.51.6251.6251.56251.5625-0.56030273-0.560302734 41.56251.56251.6251.6251.593751.59375-0.01431274-0.014312745 51.593751.593751.6251.6251.6093751.6093750.262172700.262172706 61.593751.593
18、751.60937501.60937501.60156251.60156250.123636720.123636727 71.593751.593751.60156251.60156251.59765621.59765620.054588850.054588858 81.593751.593751.59765621.59765621.59570311.59570310.09790.09799 91.593751.593751.59570311.59570311.59472661.59472660.002898960.0028989610101.593751.593751.59472661.59
19、472661.59423831.5942383-0.00570803-0.0057080311111.59423831.59423831.59472661.59472661.59448241.5944824-0.00140482-0.0014048212121.59448241.59448241.59472661.59472661.59460451.59460450.000747000.0007470013131.59448241.59448241.59460451.59460451.59454351.5945435-0.00032893-0.0003289314141.59454361.59
20、454361.59460461.59460461.59457411.5945741 第12页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进n f=x3+10*x-20nf=nx3+10*x-20n double(solve(f)nans=n 1.5946 n -0.7973+3.4506in -0.7973-3.4506i第13页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进对分法优缺点对分法优点是计算简单,对分法优点是计算简单,方法可靠,轻易预计误差。方法可靠,轻易预计误差。但它收敛较慢,不能求偶次但它收敛较慢,不能求偶次重根,也不能求复根。重根,也不能求复根。所以,普通在求方程近似根所
21、以,普通在求方程近似根时,极少单独使用,惯用于为其时,极少单独使用,惯用于为其他高速收敛算法(如牛顿法)提他高速收敛算法(如牛顿法)提供初值。供初值。第14页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2 简单迭代法 迭代法迭代法是求解方程是求解方程f(x)=0根一个主要方法。它是利根一个主要方法。它是利用同一个迭代公式,逐次迫近用同一个迭代公式,逐次迫近方程根,使其得到满足预先方程根,使其得到满足预先给定精度要求近似值。给定精度要求近似值。第15页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.1迭代法基本思想迭代法是一个主要逐次迫近法,迭代法是一个主要逐次迫近法,迭代法是一个主要逐
22、次迫近法,迭代法是一个主要逐次迫近法,其基本思想是其基本思想是其基本思想是其基本思想是:设方程设方程设方程设方程f f(x x)=0)=0在区间在区间在区间在区间 a a,b b 内有一根内有一根内有一根内有一根x x*,将方程化为等,将方程化为等,将方程化为等,将方程化为等价方程价方程价方程价方程x x=(x x),并在,并在,并在,并在 a a,b b 内任取一点内任取一点内任取一点内任取一点x x0 0作为初始近似作为初始近似作为初始近似作为初始近似值,然后按迭代公式计第二章值,然后按迭代公式计第二章值,然后按迭代公式计第二章值,然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算:非线性方程求解算
23、:非线性方程求解算:非线性方程求解算:产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列x x0 0,x x1 1,x xn n,显然,若显然,若显然,若显然,若 x xn n 收敛于收敛于收敛于收敛于x x*,(x x)在在在在x x*处连续,就有处连续,就有处连续,就有处连续,就有:这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为迭代法迭代法迭代法迭代法,式(,式(,式(,式(2-32-3)称为)称为)称为)称为迭代格式迭代格式迭代格式迭代格式,(x x)称为称为称为称为迭代函数迭代函数迭代函数迭代函数,x x0 0称为称为称为称为迭代初值迭代初值迭代初值迭代初值,x xn
24、n 称为称为称为称为迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列假如迭代序列收敛,则称迭代格式(假如迭代序列收敛,则称迭代格式(假如迭代序列收敛,则称迭代格式(假如迭代序列收敛,则称迭代格式(2-32-3)收敛,不)收敛,不)收敛,不)收敛,不然称为发散。然称为发散。然称为发散。然称为发散。即:即:即:即:x x*是方程是方程是方程是方程f f(x x)=0)=0解。解。解。解。故:当故:当故:当故:当n n充分大时,可取充分大时,可取充分大时,可取充分大时,可取x xn n作为方程近似解。作为方程近似解。作为方程近似解。作为方程近似解。满足x=(x)点点x也称为不动点也称为不动点第16页第二章第二章非线
25、性方程求解非线性方程求解返回前进例例4解:轻易验证,解:轻易验证,解:轻易验证,解:轻易验证,方程在方程在方程在方程在1,21,2内内内内有根,取有根,取有根,取有根,取x x0 0=1.5=1.5第17页第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进n nx xn nn nx xn n0 01.51.58 81.59449341.59449341 11.63265311.63265319 91.59459001.59459002 21.57908581.579085810101.59455081.59455083 31.60083091.600830911111.59456671.5945
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