数学物理方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学物理方法数学物理方法第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法1第1页第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法l概述概述l常点邻域上级数解法常点邻域上级数解法l正则奇点邻域上级数解法正则奇点邻域上级数解法l本章小结本章小结2第2页一、概述一、概述分离变量法分离变量法直角坐标系、平面极坐标直角坐标系、平面极坐标本征函数是本征函数是三角函数三角函数实际实际正交曲面坐标系正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系）球坐标系和柱坐标系）l 拉普拉斯方程分离变量拉普拉斯方程分离变量球坐标系球坐标系勒让德方程勒让德方程 m=0l 阶勒让德方程阶勒让德方程3第3页拉普拉斯方程拉普拉斯方程球坐标（球坐标（r，,）（1）代入（代入（1）(参考参考 梁梁 p226-229)4第4页柱坐标（柱坐标（，z）贝塞尔方程贝塞尔方程柱坐标系柱坐标系拉普拉斯方程拉普拉斯方程5第5页l 求解线性二阶常微分方程求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）（带初始条件）级数解法级数解法收敛问题收敛问题l 方程常点和奇点方程常点和奇点（1）方程（方程（1）系数）系数 p(x),q(x)均在某点均在某点 x0 邻域内解邻域内解析；析；称称 x0 为方程常点。为方程常点。x0是系数是系数 p(x),q(x)孤立奇点；称孤立奇点；称 x0 为方程奇点。为方程奇点。正则正则奇点奇点x0是是 p(x)不超出一阶极点不超出一阶极点,又是又是 q(x)不超出二阶孤立不超出二阶孤立奇点奇点;称称 x0 为方程正则奇点。不然为非正则奇点。为方程正则奇点。不然为非正则奇点。常点常点奇点奇点x:复变数；复变数；p(x),q(x)y(x):复变函数复变函数 6第6页二、常点邻域上级数解法二、常点邻域上级数解法l 定理定理假如方程假如方程系数系数 p(x),q(x)在点在点 x0邻域邻域 内解析，则内解析，则方程在这圆内存在唯一解析解方程在这圆内存在唯一解析解 y(x)，满足初始条件满足初始条件表示成泰勒级数形式表示成泰勒级数形式以以l 阶勒让德方程为例阶勒让德方程为例 系数确定（C0,C1为任意复常数）为任意复常数）a0,a1,ak,待定系数待定系数7第7页l 勒让德方程勒让德方程级数解级数解即即在在 x0=0 邻域上求解邻域上求解l 阶勒让德方程阶勒让德方程方程系数方程系数在在 x0=0:p(x0)=0,q(x0)=l(l+1),在在 x0=0解析解析 x0=0 是方程常点是方程常点定理定理8第8页于是于是代入代入l 阶勒让德方程阶勒让德方程合并同幂次项列表合并同幂次项列表9第9页10第10页211第11页得到得到l 阶勒让德方程解：阶勒让德方程解：12第12页退化性：退化性：实际应用实际应用勒让德方程，附有边界条件：要求勒让德方程，附有边界条件：要求解解在在 x=1 收敛收敛x=cos ,0 l 参数参数：l 为非负整数，则当为非负整数，则当k=l 时时,级数解退化为级数解退化为 l 次多项式；次多项式；l 阶勒让德阶勒让德多项式多项式 P l (x)性质：性质：奇偶性：奇偶性：y0为偶函数，为偶函数，y1为奇函数；为奇函数；收敛性：收敛性：收敛半径为收敛半径为 113第13页勒让德勒让德多项式多项式 反用系数递推公式反用系数递推公式改写为改写为(参考参考 梁梁 p274-276,徐徐 p40 )能够把其它系数一一推算出来：能够把其它系数一一推算出来：14第14页15第15页将将n记为记为k,求得求得l 阶勒让德阶勒让德多项式多项式 详细表示式为详细表示式为16第16页三、正则奇点邻域上级数解法三、正则奇点邻域上级数解法l定理定理正则奇点，则在正则奇点，则在 x0邻域邻域 内，方程内，方程两个线性独立解为：两个线性独立解为：设设 x0 是方程是方程或或 s1-s2 整数整数s1、s2：判定方程判定方程 根（根（s1 s2）A,ak,bk,常系数。常系数。s1-s2整数整数17第17页l 贝塞尔方程级数解贝塞尔方程级数解即即在在 x0=0 邻域上求解邻域上求解 阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程点点 x0=0：方程系数方程系数一阶极点一阶极点 二阶极点二阶极点 x0=0 是方程是方程正则奇点正则奇点判定方程判定方程两个根为：两个根为：s1 ，s2 s1-s2 2 18第18页判定方程两根之差取决于方程中参数判定方程两根之差取决于方程中参数 ，它将决定两个线性，它将决定两个线性独立解形式。独立解形式。先不分先不分 s1，s2 代入方程，代入方程，方程方程解解合并同幂次项列表合并同幂次项列表19第19页（1）阶阶 整数或半整数整数或半整数（贝塞尔方程级数解（贝塞尔方程级数解）20第20页通常取通常取有时取有时取21第21页（2）阶阶 整数整数时解时解在在 x0=0 邻域上求解整数邻域上求解整数n 阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程s1-s2 2 n 整数整数22第22页（3）阶阶 半整数半整数时解时解特例特例 1/2 s1-s2 2 整数整数在在 x0=0 邻域上求解整数邻域上求解整数1/2 阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程23第23页l 贝塞尔函数递推公式贝塞尔函数递推公式(教材教材 梁梁 p327-329,342，参考参考书书 徐徐 p109112)（1）（2）（3）（4）(1)、(2)求导，得：求导，得：24第24页（3）、（）、（4）相加、减，得：）相加、减，得：（5）（6）补充说明：补充说明：（7）降阶公式降阶公式25第25页本本 章章 小小 结结l 方程常点和奇点方程常点和奇点正则奇点正则奇点l常点邻域上级数解常点邻域上级数解定理定理以以l 阶勒让德方程为例阶勒让德方程为例系数确定合并同幂次项列表合并同幂次项列表26第26页l 正则奇点邻域上级数解法正则奇点邻域上级数解法 贝塞尔方程级数解贝塞尔方程级数解定理定理阶阶 整数或半整数、整数或半整数、整数、整数、半整数半整数27第27页l 贝塞尔函数递推公式贝塞尔函数递推公式合并同幂次项列表合并同幂次项列表28第28页