求解线方程组的数值解法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第三章第三章 求解线性方程组数值解法求解线性方程组数值解法泰山学院信息科学技术系泰山学院信息科学技术系第1页解线性方程组两类方法:直接法:经过有限次运算后可求得方程组准确解方法(不计舍入误差!)迭代法:从解某个近似值出发,经过结构一个无穷序列去迫近准确解方法(普通有限步内得不到准确解)第2页3.1 解线性方程组直接法解线性方程组直接法 一、高斯消去法一、高斯消去法思思绪绪首先将方程组首先将方程组Ax=b 化为上三角方程组化为上三角方程组,此过程称为此过程称为消去过程消去过程,再求解上三角方程,再求解上三角方程组,此过程称为组,此过程称为回代过程回代过程.3.1.1 高斯消去法和选主元高斯消去法
2、高斯消去法和选主元高斯消去法第3页将增广矩阵将增广矩阵第第 i 行行 +li1 第第1 1行行,得到:,得到:消去过程:消去过程:第一步第一步:设设 ,计算因子,计算因子其中其中第4页第第k步:步:设设 ,计算因子,计算因子且计算且计算共进行共进行 n 1步,得到步,得到第5页定理:定理:若若A全部全部次序主子式次序主子式 均不为均不为0,则高斯消去,则高斯消去法能次序进行消元,得到唯一解。法能次序进行消元,得到唯一解。回代过程:回代过程:第6页二、二、选主元消去法选主元消去法为防止这种情况发生,可经过交换方程次序,选取绝对值大元素作主元.基于这种思想导出了主元素法在高斯消去法消去过程中可能出
3、现 情况,这时高斯消去法将无法进行;即使主原因 但很小,其作除数,也会造成其它元素数量级严重增加和舍误差扩散第7页v 列主元消去法列主元消去法在第在第k k步消元前,在系数矩阵第步消元前,在系数矩阵第k k列对角线以下元列对角线以下元素中找出绝对值最大元。素中找出绝对值最大元。若若pkpk,交换第交换第k k个与第个与第p p个方程后,再继续消去计算个方程后,再继续消去计算.这种方法称为这种方法称为列主元列主元GaussGauss消去法。消去法。列主元列主元GaussGauss消去法确保了消去法确保了l likik1 1(i=k+1,k+2,(i=k+1,k+2,,n).n).第8页v 全主元
4、消去法全主元消去法在第在第k k步消去前,步消去前,在系数矩阵右下角在系数矩阵右下角n-k+1n-k+1阶阶主子阵中,主子阵中,选绝对值最大元素作为主元素选绝对值最大元素作为主元素。(1)If p k then 交换第交换第 k 行与第行与第p行行;If q k then 交换第交换第 k 列与第列与第 q 列列;(2)消元消元注注注注:列交换改变了列交换改变了 x xi i 次序,须统计次序,须统计交换次序交换次序,解完后再换回来。解完后再换回来。第9页 运算量运算量(Amount of Computation)(1 1)用克莱姆用克莱姆(CramerCramer)法则求解法则求解n n阶线
5、性方程组阶线性方程组 每个行列式由每个行列式由n!n!项相加,而每项包含了项相加,而每项包含了n n个因子个因子相乘,乘法运算次数为相乘,乘法运算次数为(n-1)n!n-1)n!次次.仅考虑乘仅考虑乘(除除)法运算法运算,计算解向量包含计算计算解向量包含计算n+1n+1个行列式和个行列式和n n次除法运算次除法运算,乘乘(除除)法运算次数法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n.第10页(2)高斯消去法高斯消去法:在第在第1 1个消去步,个消去步,计算计算l li1i1(i=2,3(i=2,3,n)n),有有n-1n-1次次除法运算除法运算.使使a aijij(1)(1)变为变为 a aij
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