调和函数与解析函数的关系研究.pdf
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1、 学 生 毕 业 论 文 课题名称 调和函数与解析函数的关系研究 姓 名 学 号 院 系 数学与计算科学学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 2017 届学生 毕 业 论 文 材 料(四)湖南城市学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名:二一五年五月二十二日 目 录 摘要.1 关键词.1
2、 ABSTRACT.1 KEY WORDS.2 1.解析函数.3 1.1 解析函数的概念.3 1.2函数解析的充要条件.3 2.调和函数.4 2.1 调和函数的定义.4 2.2 共轭调和函数.6 3.调和函数和解析函数之间的关系.6 3.1 从调和函数观点研究解析函数的性质.6 3.1.1 调和函数的性质.6 3.1.2 解析函数的性质.6 3.2 解析函数的等价刻画及应用.8 3.3 由调和函数构造相关解析函数的方法.9 3.4 调和函数与解析函数的关系.12 3.4.1 解析函数与调和函数的关系.12 3.4.2 调和函数与共轭调和函数的关系.12 3.4.3 解析函数与共轭调和函数的关系
3、.12 结论.12 参考文献.13 致谢.13 1 调和函数与解析函数的关系研究 摘 要:解析函数作为复变函数研究的主要对象,与调和函数有着深刻的内在联系.主要论述了解析函数、调和函数的定义;通过引入共轭调和函数的概念,将解析函数和调和函数联系在一起;从调和函数的观点出发,探讨了解析函数的某些性质并由具体实例做其等价刻画;在此基础上通过实际问题介绍了四种由调和函数构造解析函数的方法,分别是偏积分法、线积分法、不定积分法和变量替换法.关键词:解析函数、调和函数、共轭调和函数 Study on the relationship between the Harmonic function and t
4、he Analytic function Abstract:As the main object of the Complex Variable Function,Analytic Functions has a profound connection with the Harmonic Functions.it mainly discusses the definition of the Analytic Functions and the Harmonic Functions;by introducing the concept of the Conjugate Harmonic Func
5、tions,contact the Analytic Functions with the Harmonic Functions;from the point of view of the Harmonic Functions,discusses some properties of the Analytic Functions,and meanwhile,does its equivalent descriptions by the concrete examples;on the basis of the actual problem introduces four kinds of me
6、thod of constructing the Harmonic Function by the Analytic Functions,which are the methods of Partial Integration,Liner Integration,Indefinite Integration and Variable Replacement.Keywords:Analytic Functions,Harmonic Functions,Conjugate Harmonic Functions 2 解析函数作为复变函数的主要研究对象,有着许多性质,归纳出解析函数、调和函数及共轭调和
7、函数三者之间的推导关系.1.解析函数 1.1 解析函数的概念 解析函数是复变函数研究中最重要的基础定理,先引入复变函数的导数概念再来讨论解析函数.下面给出导数定义:定义 1.1.1 设函数)(zf在点0z的某邻域内有定义,zz0是邻域内任一点,)()(00zfzzf,如果 zzfzzfzzz)()(limlim0000 存在有限的极限值A,则称)(zf在0z处可导,A记作)(0zf或0zzdzd,即 zzfzzfzfz)()(lim)(0000,或 )()(0zzzf )0(z,也称zzfzdf)()(00或dzzf)(0为)(zf在0z处的微分,故也称)(zf在0z处可微.由定义可知,如果)
8、(zf在0z处可导(或可微),则)(zf在0z处连续.下面给出解析函数的概念:定义 1.1.2 如果)(zf在0z及0z的邻域内处处可导,则称)(zf在0z处解析;如果)(zf在区域D内每一点解析,则称)(zf在D内解析,或说)(zf是D内的解析函数;如果)(zf在0z处不解析,则称0z为)(zf的奇点.1.2 函数解析的充要条件 一般地,作为解析函数的实部和虚部都是二元函数,而研究他们的特性要 3 基于柯西-黎曼)(RiemannCauchy方程(简称RC 方程),有以下定理:定理 1.2.1 函数),(),()(yxivyxuzf在iyxz处可导的充要条件是),(yxu,),(yxv在点)
9、,(yx处可微,而且满足柯西-黎曼)(RiemannCauchy方程(简称RC 方程):yvxu,xvyu.定理 1.2.2 函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析(即在D内可导)的充要条件是),(yxu和),(yxv在D内处处可微,而且满足RC 方程.推论 函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内有定义,如果在D内),(yxu和),(yxv的四个偏导数xu,yu,xv,yv存在且连续,并且满足RC 方程,则)(zf在D内解析.由上述定义可知函数的解析与可导存在密切联系,而可导又与连续密切相关,其三者之间的关系可由下图清晰表出:)(zf在D内解析 )(zf在D内可导 )(
10、zf在点0z解析)(0Dz )(zf在点0z可导)(0Dz )(zf在点0z连续)(0Dz 2.调和函数 2.1 调和函数的定义 定义 2.1.1 如果二元实函数)(y,x在区域D内有二阶连续偏导数,且满足二维拉普拉斯)(Laplace方程 4 02222yx,则称)(y,x为区域D内的调和函数,或说函数)(y,x在区域D内调和.定理 2.1.2 设函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析,则)(zf的实部),(yxu和虚部),(yxv都是区域D内的调和函数.证明:因)(zf在区域D内解析,所以u,v在D内满足RC 方程 yvxu,xvyu.当)(zf解析时u,v有任意阶连续偏导数
11、.在上述二式中分别对y和x求偏导数,得 222yvyxu,222xvxyu.因xyuyxu22,于是 0222222xyuyxuyvxv.这就是说,),(yxv是区域D内的调和函数.同理,),(yxu也是区域D内的调和函数.另证定理 2.1.2 的逆不真.即证:若),(),()(yxivyxuzf的实部),(yxu和虚部),(yxv都是区域D内的调和函数,函数)(zf在区域D内不一定解析.反例:22),(yxyxu,22),(yxyyxv 均为调和函数,但2222)(),(),()(yxyiyxyxivyxuzf不解析.由于 xxu2,yyu2,222)(2yxxyxv,22222)(yxyx
12、yv 而 yvxu,xvyu 即)(zf不满足RC 方程.5 2.2 共轭调和函数的引入 定义 2.2.1 设函数)(y,x及)(y,x均为区域D内的调和函数,且满足RC 方程 yx,xy.则称),(yx是),(yx的共轭调和函数.定理 2.2.2 复变函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内,)(zf的虚部),(yxv是实部),(yxu的共轭调和函数.3.调和函数与解析函数之间的关系 由上知解析函数的实部和虚部都是调和函数,而给出一个调和函数,如果该函数的定义域是单连通的,则存在一个解析函数以该调和函数为其实部或虚部,所以说解析函数和调和函数有非常密切的
13、联系.3.1 从调和函数观点研究解析函数的性质 调和函数与解析函数的性质有着很多相似之处,比方说它们都有极值原理、villeLiou定理等,现从调和函数的观点来研究解析函数的这两个性质.3.1.1 调和函数的性质 定理 3.1.1.1(极值原理)非常数的调和函数区域D内不能达到极大值和极小值.定理 3.1.1.2 (villeLiou定理)2R上的有界调和函数必要为常数.3.1.2 解析函数的性质 首先给出调和函数和解析函数之间的关系:6 定理 3.1.2.1 设),(),()(yxivyxuzf是区域D内的解析函数,则),(yxu和),(yxv都是D内的调和函数.反之,有 定理 3.1.2.
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