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基于二阶分圆类的高能量效率完备高斯整数序列设计赵 伟 黄 雷 贾彦国*沈秀敏(燕山大学信息科学与工程学院河北省计算机虚拟技术与系统集成重点实验室 秦皇岛 066004)摘 要：完备高斯整数序列(PGIS)因其良好的抗干扰性、高传输率和频谱利用率，如今已被广泛应用于码分复用(CDM)系统和正交频分复用(OFDM)系统。该文将高斯整数序列(GIS)分解成实部序列和虚部序列，再通过对实部序列和虚部序列2阶分圆构造出2阶和3阶的PGIS，并提出一种新的将奇数长PGIS扩展成偶数长PGIS的方法，该文构造出的多数PGIS能量效率高于95%，扩大了扩频通信系统的地址选择空间，对于工程实践具有重要意义。关键词：完备高斯整数序列；分圆类；自相关函数；互相关函数；能量效率中图分类号：TN911.23文献标识码：A文章编号：1009-5896(2023)06-1952-07DOI:10.11999/JEIT220591High Energy Efficient Perfect Gaussian Integer Sequence DesignBased on Second Order Cyclotomic ClassesZHAO Wei HUANG Lei JIA Yanguo SHEN Xiumin(School of Information Science and Engineering,The Key Laboratory for Computer Virtual Technology andSystem Integration of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)Abstract:Perfect Gaussian Integer Sequence(PGIS)has been widely used in Code Division Multiplexing(CDM)systems and Orthogonal Frequency Division Multiplexing(OFDM)systems because of its good anti-interference,high transmission rate and high frequency spectrum utilization.In this paper,Gaussian IntegerSequence(GIS)is decomposed into real part sequence and imaginary part sequence,and then second-order andthird-order PGIS are constructed by second-order cyclotomy of real part sequence and imaginary part sequence.A new method of extending odd length PGIS to even length PGIS is proposed.The energy efficiency of mostPGIS constructed in this paper is higher than 95%,and expands the address selection space of spread spectrumcommunication system,which is of great significance to engineering practice.Key words:Perfect Gaussian Integer Sequence(PGIS);Cyclotomic classes;Autocorrelation function;Crosscorrelation function;Energy efficiency 1 引言a+jba b高斯整数序列(Gaussian Integer Sequence,GIS)是一类元素为复数，且,均为整数的序列，当GIS的主峰值不为0，副峰值都为0时，称为完备高斯整数序列(Perfect Gaussian IntegerSequence,PGIS)。如今，PGIS作为一种特殊的离散信号在码分复用(Code Division Multiplexing,CDM)系统1,2和正交频分复用(Orthogonal Fre-quency Division Multiplexing,OFDM)系统35中已被广泛应用，最近的研究表明，基于PGIS的CDM系统有更好的性能表现6，完备高斯整数序列的构造已然成为重要的研究主题7。fpmp完备高斯整数序列的构造方法大致可以分为直接构造法和间接构造法，直接构造法基于代数理论8，例如本文使用的经典分圆就属于代数理论。在经典分圆理论的基础上，文献9分别利用2阶分圆和4阶分圆构造PGIS，首次提出了PGIS中各不同元素值与 应满足的条件，文献10用2阶分圆结合傅里叶变换分别构造了2阶和3阶PGIS，然后对长为奇素数 的2阶和3阶PGIS通过采样分别构造出长的3阶和4阶PGIS。文献11将GIS分离成实部 收稿日期：2022-05-10；改回日期：2022-06-22；网络出版：2022-06-25*通信作者：贾彦国基金项目：国家自然科学基金(61601401)，河北省自然科学基金(F2018203057,F2020203043)，河北省高等学校科学技术研究项目(QN2021144)，河北省创新能力提升计划项目(22567626H)Foundation Items:The National Natural Science Foundation ofChina(61601401),The Natural Science Foundation of HebeiProvince(F2018203057,F2020203043),The Research Project forScience and Technology in Higher Education of Hebei(QN2021144),The Innovation Capability Improvement PlanProject of Hebei Province(22567626H)第45卷第6期电 子 与 信 息 学 报Vol.45No.62023年6月Journal of Electronics&Information TechnologyJun.2023aba bv2v序列 和虚部序列，基于PGIS的实部序列和虚部序列应满足的充分必要条件，对,序列2阶分圆构造出实部序列为恒值(1值)，虚部序列最多为3值的2阶和3阶PGIS，然后提出一种方法，将长度为奇素数 的PGIS扩展成长度为偶数的PGIS，其构造方法参数设置简单方便，能够很好的借助计算机得到大量完备高斯整数序列。v2vv文献11定理1约束条件尚不完整，因此本文在文献11的基础上进一步研究，并提出了实部序列和虚部序列都可为3值的构造方法，将此方法实部序列设为非0元1值可以得到文献11中约束完整的结论；还提出一种新的扩展方法，将 长PGIS扩展成长PGIS，其中 为奇素数，该扩展方法可以获得跟基序列能量效率相同的PGIS。工程实践中，利用本文定理1参数设置简单灵活的特性，可以很方便地通过计算机搜索的方式获得大量能量效率高于95%的PGIS，再结合本文定理2对其扩展补充，对工程实践具有重要意义。2 基础知识v=ef+1a bva=a(t)|0 t v 1b=b(t)|0 t v 1svs=s(t)=a(t)+jb(t)|0 t v 1 j=1a定义111设为奇素数，序列,为长整数序列，,，序列 为 长高斯整数序列(GIS)，,，则序列 的自相关函数为Ra()=v1t=0a(t)a(t+)(1)a b序列,的互相关函数为Rab()=v1t=0a(t)b(t+)(2)s那么，序列 的自相关函数可以表示为Rs()=v1t=0s(t)s(t+)=v1t=0a(t)+jb(t)a(t+)+jb(t+)=Ra()+Rb()jRab()Rba()(3)s(t+)s(t+)0 v 1其中，符号表示的共轭复数，。若满足Rs()=R,=00,其他(4)sR则序列 是完备高斯序列(PGIS)，其中 为正整数。v=ef+1vGF(v)H(e,v)i=i+et,t=0,1,.,定义212设为奇素数，是 阶有限域的本原元，令f 1,0 i e 1H(e,v)iGF(v)eHei，则称这些为上的阶分圆类，可简记为。v=ef+10 m,n e 1定义312设为奇素数，对于，则称(m,n)e=|(x,y)|x Hem,y Hen,x+1=y|=|(Hem+1)Hen|(5)e Hekx+=y(m k,n k)e为 阶分圆数，且当时，的解的个数为。s=s(t)|0 t v 1s定义413设序列，则的能量效率 为 1vv1t=0|s(t)|2max0tv1|s(t)|2(6)在工程实践中，通常期望序列具有较高的能量效率。nn定义514完备高斯整数序列中，若不同非零元的个数为，则称 为该PGIS的电平数(degree)或阶数。v=2f+1引理115设为奇素数，则f(1)若 为偶数，则2阶分圆数满足(0,0)2=f 22,(0,1)2=(1,1)2=(1,0)2=f2(7)f(2)若 为奇数，则2阶分圆数满足(0,1)2=f+12,(0,0)2=(1,1)2=(1,0)2=f 12(8)v=2f+1H2i0 i 1引理29设为奇素数，2次分圆类为，则fg H2iv g H2i(1)若 为偶数，则；fg H2iv g H2i+1(2)若 为奇数，则。a bva=a(t)|0 t v 1b=b(t)|0 t v 1s=s(t)=a(t)+jb(t)|0 t v 1Ra()+Rb()=R,=00,其他Rab=Rba()0 v 1R引理311设,为 长整数序列，,，则 序 列是PGIS的充要条件为且,，为正整数。3 PGIS构造方法 v3.1 长度为奇素数 的PGIS构造v=2f+1sva bsH2i0 i 1s=s(t)=a(t)+jb(t)|0 t v 1 a=a(t)|0 t v 1b=b(t)|0 t v 1设为奇素数，序列 是长度为 的GIS，序列,分别为高斯整数序列 的实部序列和虚部序列，2阶分圆类为，其中,，令a(t)=A,t=0B,t H20C,t H21,b(t)=D,t=0E,t H20F,t H21(9)第6期赵 伟等：基于二阶分圆类的高能量效率完备高斯整数序列设计1953A BCD E F,不同时为0，,不同时为0，且全为整数。s定理1上述高斯整数序列 为PGIS的充分必要条件是f(1)为奇数时，满足A(E F)+D(C B)+BF CE=0(B2+C2+E2+F2)f 12+(BC+EF)f+A(B+C)+D(E+F)=0(10)f(2)为偶数时，满足2(AB+DE)+(B+C)2+(E+F)2f2(B2+E2)=02(AC+DF)+(B+C)2+(E+F)2f2(C2+F2)=0(11)s证明由引理3可知，按上述方法设计的高斯整数序列 是完备高斯整数序列需要同时满足以下两种情况。Ra()+Rb()=R,=00,其他R情况1，其中为正整数。=0R=Ra()+Rb()=A2+fB2+fC2+D2+fE2+fF2A,B,C0D,E,F0R当时，而不同时为，不同时为，所以 为正整数恒成立。=0当时，由定义1和定义2有Ra()=Aa()+Aa(v )+B2|(H0+)H0|+BC|(H0+)H1|+BC|(H1+)H0|+C2|(H1+)H1|(12)Rb()=Db()+Db(v )+E2|(H0+)H0|+EF|(H0+)H1|+EF|(H1+)H0|+F2|(H1+)H1|(13)f由引理1、引理2可知，式(12)和式(13)的取值与 的奇偶和 所属分圆类有关，所以分别讨论：f H0(1)若 为奇数，当时，由定义3、引理1有Ra()=A(B+C)+B2(0,0)+BC(0,1)+BC(1,0)+C2(1,1)=A(B+C)+BCf+12+(B2+C2+BC)f 12(14)Rb()=D(E+F)+EFf+12+(E2+F2+EF)f 12(15)Ra()+Rb()=0令得(B2+C2+E2+F2)f 12+(BC+EF)f+A(B+C)+D(E+F)=0(16)H1当时，同理有(B2+C2+E2+F2)f 12+(BC+EF)f+A(B+C)+D(E+F)=0(17)fRa()+Rb()=0即当 为奇数时，成立的充分必要条件为式(16)成立。f H0(2)若 为偶数，当时，由定义3、引理1有Ra()=2AB+B2f 22+(2BC+C2)f2Rb()=2DE+E2f 22+(2EF+F2)f2(18)Ra()+Rb()=0令得2(AB+DE)+(B+C)2+(E+F)2f2(B2+E2)=0(19)H1当时，同理有2(AC+DF)+(B+C)2+(E+F)2f2(C2+F2)=0(20)fRa()+Rb()=0即当 为偶数时，成立的充要条件为式(19)、式(20)同时成立。Rab()=Rba()0 v 1R情况2，为正整数。由定义1、定义2有Rab()=Ab()+Da(v )+BE|(H0+)H0|+BF|(H0+)H1|+CE|(H1+)H0|+CF|(H1+)H1|Rba()=Ab(v )+Da()+BE|(H0+)H0|+CE|(H0+)H1|+BF|(H1+)H0|+CF|(H1+)H1|(21)f由引理1、引理2可知，上式的取值与 的奇偶有关，所以分别讨论：f H0Rab=Rba()(1)若 为奇数，当时，令，由定义3、引理1有A(E F)+D(C B)+BF CE=0(22)H1Rab=Rba()当时，令，同理有A(E F)+D(C B)+BF CE=0(23)fRab()=Rba()即当 为奇数时，成立的充分必要条件为满足式(22)。f H0Rab()Rba()H1Rab()Rba()Rab()=Rba()(2)若 为偶数，当时，有恒等于，当时，亦有恒等于。即的充要条件为满足式(22)。1954电 子 与 信 息 学 报第 45 卷s综上所述，按上述条件构造的高斯整数序列是PGIS的充要条件是f(1)为奇数时，满足A(E F)+D(C B)+BF CE=0(B2+C2+E2+F2)f 12+(BC+EF)f+A(B+C)+D(E+F)=0(24)f(2)为偶数时，满足2(AB+DE)+(B+C)2+(E+F)2f2(B2+E2)=02(AC+DF)+(B+C)2+(E+F)2f2(C2+F2)=0(25)证明 v2v3.2 长度为奇素数 的PGIS扩展成的PGIS构造方法s=s(t)=a(t)+jb(t)|0tv1ababss推论1设序列为PGIS，则对 取反，或仅对 取反，或同时对,取反，或对序列 移位，得到的序列 为PGIS。a证明以下仅对 取反的情况做出证明，其他情况同理。sasa bRa()=Ra()R(a)b()=Rab()Rb(a)()=Rba()Ra()Rb()Rab()Rba()Ra()Rb()R(a)b()Rb(a)()s设序列 为PGIS，对其实部序列 取反后得到序列，其实部序列和虚部序列分别为,。根据定义1，显然有,；又由引理3可知，,满足充分必要条件关系式，结合定义1 可知，,亦满足这两个充要条件关系式，即 亦为PGIS。证毕svsss设序列 是长度为奇素数 的PGIS，对序列 进行推论1中的任意组合种变换得到，然后对 依次移位得到矩阵Mvv=s(0)s(1).s(v 2)s(v 1)s(1)s(2).s(v 1)s(0).s(v 1)s(0).s(v 3)s(v 2)(26)spsqMvvpqT=|p q|0 p,q v 1令序列,分别为矩阵中第 行、第 行构成的序列，其中。构造交织序列u=I(sp,sq)=s(p),s(p+T)mod v,s(p+1)mod v,s(p+1+T)mod v,.,s(p+v 2)mod v,s(p+v 2+T)mod v,s(p+v 1)mod v,s(p+v 1+T)mod v(27)Ik=(k0,k1)表示交织操作。设系数序列是长度为2的PGIS，构造系数矩阵K=(a jaa jaa jba jbb jbb jbb jab ja)T(28)a bkK2vu=u(t)=u(t)ktmod2|0 t 2v 1其中，,是不全为0的整数。令系数序列 为系数矩阵任意一行，定义长度为偶数的序列。T=|p q|=v+12u2v定理2当时，上述序列是长度为偶数的PGIS。sask证明设推论1中的变换为对 的实部序列 取反，得到序列。由定义1可知系数序列 的自相关函数为Rk()=2(a2+b2),=00,其他(29)=21+20 1 v 1 0 2 1Rs()=R,=00,其他令,，分以下3种情况讨论=0(1)当时Ru(0)=2v1i=0u(i)u(i)=2v1i=0u(i)k(i mod 2)u(i)k(i mod 2)=v1i=0s(p+i)(mod v)k0s(p+i)(mod v)k0+v1i=0s(p+i+T)(mod v)k1 s(p+i+T)(mod v)k1=Rk(0)Rs(0)=2(a2+b2)Rs(0)(30)=02=01=0(2)当，且时，必有，此时Ru()=v1i=0s(p+i)(mod v)k0 s(p+i+1)(mod v)k0+v1i=0s(p+i+T)(mod v)k1 s(p+i+T+1)(mod v)k1=Rk(0)Rs(1)=0(31)=02=1T=v+12(3)当，且时，由有第6期赵 伟等：基于二阶分圆类的高能量效率完备高斯整数序列设计1955Ru()=2v1i=0u(i)u(i+)=2v1i=0u(i)kimod2 u(i+21+1)k(i+21+1)mod2=v1i=0s(p+i)modv k0 s(p+i+T+1)modv k1+v1i=0s(p+i+T)modv k1 s(p+i+1+1)modv k0=k0k1 Rs(T+1)+v1i=0s(p+i+T+v+12)modv k1 s(p+i+1+1+v+12)modv k0=Rk(1)Rs(T+1)=0(32)综上所述，定理2成立。证毕sK|a|=|b|u推论2设序列 为PGIS，当上述扩展方法的系数矩阵中时，扩展后得到的序列 能量效率不发生改变。(m+jn)(a+jb)=(ma nb)+j(mb+na)a=ba=ba(m n)2+a(m+n)2=a(m+n)2+a(m n)2=2a2(m2+n2)证明根据复数的乘法公式可知，与的实部虚部平方和相等：。u=u(t)=u(t)ktmod2|0 扩 展 后 的 序 列t 2v 1=I(sp k0,sq k1)spsqss，,为序列 的移位序列，根据定义4可知序列 的能量效率s=sp=sq=A2+D2+(B2+E2)f+(C2+F2)fv maxA2+D2,B2+E2,C2+F2(33)u根据定义4及上述复数乘法公式可知序列 的能量效率为u=22a2(A2+D2)+2a2(B2+E2)f+2a2(C2+F2)f2a22vmaxA2+D2,B2+E2,C2+F2=A2+D2+(B2+E2)f+(C2+F2)fv maxA2+D2,B2+E2,C2+F2(34)K|a|=|b|即当系数矩阵中时扩展前后能量效率不发生变化。证毕 4 能量效率分析根据定义4，可知定理1构造出的PGIS能量效率为=A2+D2+(B2+E2)f+(C2+F2)fv maxA2+D2,B2+E2,C2+F2(35)本文基于定理1，同时结合计算机搜索的方法，得到大量高能量效率PGIS。利用本文定理1所构造的PGIS与其他基于2阶分圆类构造的PGIS进行能量效率比较，结果如表1所示，本文所构造的PGIS能量效率显著提高。基于定理2和推论2的扩展方法，可以将定理1构造的高能量效率PGIS扩展成多条相同能量效率的PGIS，结果如表2所示，扩展后的PGIS能量效率不变。表 1 PGIS的能量效率比较文献定理长度电平数能量效率(%)构造实例文献6定理113350.3例2定理119370.8例1文献7定理419370.8例1定理519268.4例3文献11定理119291.3表1(行6)19380.4表1(行7)19390.0表1(行8)本文定理113398.3(19,8 j20,8+j20,8 j20,8 j20,8+j20,8+j20,8+j20,8+j20,8 j20,8 j20,8+j20,8 j20)19299.2(9+j11,9+j11,13 j6,13 j6,9+j11,9+j11,9+j11,9+j11,13 j6,9+j11,13 j6,9+j11,13 j6,13 j6,13 j6,13 j6,9+j11,9+j11,13 j6)19299.2(20 j2,19 j7,20 j2,20 j2,19 j7,19 j7,19 j7,19 j7,20 j2,19 j7,20 j2,19 j7,20 j2,20 j2,20 j2,20 j2,19 j7,19 j7,20 j2)19299.6(18 j2,18 j2,17 j6,17 j6,18 j2,18 j2,18 j2,18 j2,17 j6,18 j2,17 j6,18 j2,17 j6,17 j6,17 j6,17 j6,18 j2,18 j2,17 j6)1956电 子 与 信 息 学 报第 45 卷5 结束语本文定理1参数设置简单方便可以很好结合计算机搜索PGIS，利用该特点，将序列长度设为区间3,50内的奇素数，元素取值为区间20,20内的整数，通过计算机搜索的方法，获得9 656条能量效率高于90%的PGIS，其中3 400条能量效率高于95%。K|a|=|b|此外，本文还提出了一种新的扩展方法，将奇数长PGIS扩展成偶数长PGIS，在PGIS的数量和长度上为工程应用提供了更多的优质信号选择空间。当限定系数矩阵中时，扩展后序列的能量效率不变，将定理1中构造出的高能量效率PGIS通过该方法扩展，还可以另外得到大量偶数长的高能量效率PGIS，能很好地应用于工程实践。参 考 文 献PEI S C and CHANG Kuowei.Arbitrary length reducibleand irreducible perfect Gaussian integer sequences with apre-given Gaussian integerC.2020 28th European SignalProcessing Conference,Amsterdam,Netherlands,2020:22742278.doi:10.23919/Eusipco47968.2020.9287751.1LIU Kai and NI Jia.Construction of Gaussian integerperiodic complementary sequence set with zero correlationzoneJ.Journal of Physics:Conference 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PGIS扩展前后的能量效率比较长度能量效率(%)实例原序列399.9(4 j15,11+j11,11+j11)a=1,b=1699.9(19 j11,22,j22,11+j19,j22,22)a=2,b=2699.9(38+j22,44,j44j,22+j38,j44,44)第6期赵 伟等：基于二阶分圆类的高能量效率完备高斯整数序列设计1957沈灏.组合设计理论M.上海:上海交通大学出版社,1996:127159.SHEN Hao.Theory of Combination DesignsM.Shanghai:Shanghai Jiao Tong University Press,1996:127159.12HU Weiwen,WANG S H,and LI C P.Gaussian integersequences with ideal periodic autocorrelation functionsJ.IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(11):60746079.doi:10.1109/TSP.2012.2210550.13ZENG Fanxin,HE Xiping,XUAN Guixin,et al.PerfectGaussian integer sequences embedding pre-given GaussianintegersJ.IEEE Signal Processing Letters,2019,26(8):1411221126.doi:10.1109/LSP.2019.2921228.STORER T.Cyclotomy and Difference SetsM.Chicago:Markham Publishes Company,1967:2583.15 赵伟：男，博士生，研究方向为差集偶、二进制序列偶.黄雷：男，硕士生，研究方向为编码理论、密码学.贾彦国：男，教授，博士生导师，研究方向为编码理论、智能补货、量子计算.沈秀敏：女，讲师，硕士生导师，研究方向为编码理论、序列设计.责任编辑：余蓉1958电 子 与 信 息 学 报第 45 卷