线性方程组解题归纳(课堂PPT).ppt
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1、线性方程组解题方法技巧与题型归纳 1题型一 线性方程组解的基本概念v1.如果1、2是下面方程组的两个不同的解向量,则a的取值如何?2v解:因为1、2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,r(A)=r(Ab)3,对增广矩阵进行初等行变换v易见仅当a=-2时,r(A)=r(Ab)=23,v故知a=-2。3v2.设A是秩为3的54矩阵,1、2、3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若1+2+23=(2,0,0,0)T,31+2=(2,4,6,8)T,求方程组Ax=b的通解。4v解:因为r(A)=3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成,v又因为(1+2+2
2、3)-(31+2)=2(3-1)=(0,-4,-6,-8)T,是Ax=0的解,即其基础解系可以是(0,2,3,4)T,v由A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b知1/4(1+2+23)是Ax=b的一个解,故Ax=b的通解是5v3.已知1=(-9,1,2,11)T,2=(1,-5,13,0)T,3=(-7,-9,24,11)T是方程组的三个解,求此方程组的通解。6v分析:求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。v解:A是34矩阵,r(A)3,由于A中第2,3两行不成比例,故r(A)2,又因为1=1-2=(-10,6,-11,11)T,2=2-3=(8,4,-11,-1
3、1)T是Ax=0的两个线性无关的解向量,于是4-r(A)2,因此r(A)=2,所以1+k11+k22是通解。7v总结:v不要花时间去求方程组,太繁琐,由于1-2,1-3或3-1,3-2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,1,2,3都是特解,此类题答案不唯一。8题型2 线性方程组求解4.矩阵B 的各行向量都是方程组的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系?若不能,这4个行向量是多了还是少了?若多了如何去掉,少了如何补充?9v解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵vr(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量1=(1,-2,1,0,0)T,2=(1,-2,0,1,0)T,B 3
4、=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2,r4=3r1-2r2,B中线性无关的行向量只有1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补3。10v1.参数取哪些值时使r(A)r(Ab),方程组无解;v2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab),方程组有解,继续讨论v参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)n,方程组有无穷多解;v(2)参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n,方程组有唯一解。题型3 含参数的线性方程组解的讨论11v一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组,只能用初等行变换求解;v二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组,用下面两种方法求解:v1.初等行变换法v2.
5、系数行列式法,系数行列式不等于0时有唯一解,可用克莱姆法则求之;系数行列式为0时,用初等行变换进行讨论。12v5.设线性方程组v(1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则线性方程组无解;v(2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k0),且已知1=(-1,1,1)T,2=(1,1,-1)T是该方程组的两个解,写出该方程组的通解。13v解(1)(Ab)对应的行列式是范德蒙行列式,故r(Ab)=4,r(A)=3,所以方程组无解。v(2)当a1=a3=k,a2=a4=-k时,原方程组化为v系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,2-1=(-2,0,2)T,是对应导出组的非零解,即为其基础解系,故非齐次
6、组的通解为vX=c(2-1)+1。(c为任意常数。)14v6.设n维向量组1,2,3(n3)线性无关,讨论:当向量组a2-1,b3-2,a1-b3线性相关时,方程组的解,且当有无穷多解时,用其导出组的基础解系表示其通解。15v解:(a2-1,b3-2,a1-b3)=因为1,2,3线性无关,所以向量组 a2-1,b3-2,a1-b3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=116v方程组的增广矩阵(Ab)=(1)当a=1,b 0时,方程组无解;(2)当a=-1,b 0时,方程组唯一解;(3)当b=0,a 1时,方程组唯一解;(4)当a=1,b=0时,方程组有无穷多解。17v此时:取
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