2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案3.doc
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1、初中数学竞赛试题一、选用题1设ab0,a2b24ab,则值为【 】A、 B、 C、2 D、32已知a1999x,b1999x,c1999x,则多项式a2b2c2abbcca值为【 】A、0 B、1 C、2 D、33如图,点E、F分别是矩形ABCD边AB、BC中点,连AF、CE交于点G,则等于【 】A、 B、 C、 D、4设a、b、c为实数,xa22b,yb22c,zc22a,则x、y、z中至少有一种值【 】A、不不不小于0 B、等于0 C、不不不不小于0 D、不不小于05设有关x方程ax2(a2)x9a0,有两个不等实数根x1、x2,且x11x2,那么a取值范围是【 】A、a B、a C、a
2、D、a06A1A2A3A9是一种正九边形,A1A2a,A1A3b,则A1A5等于【 】A、 B、 C、 D、ab二、填空题7设x1、x2是有关x一元二次方程x2axa2两个实数根,则(x12x2)(x22x1)最大值为 。8已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点横坐标,ab,则值为 。9如图,在ABC中,ABC600,点P是ABC内一点,使得APBBPCCPA,且PA8,PC6,则PB 。10如图,大圆O直径ABacm,分别以OA、OB为直径作O1、O2,并在O与O1和O2空隙间作两个等圆O3和O4,这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4面积为 cm2。11满足(n2n1)
3、n21整数n有 个。12某商品标价比成本高p%,当该商品降价发售时,为了不赔本,售价折扣(即降价百分数)不得超过d%,则d可以用p体现为 。三、解答题13某项工程,假如由甲、乙两队承包,天完毕,需付180000元;由乙、丙两队承包,天完毕,需付150000元;由甲、丙两队承包,天完毕,需付160000元。目前工程由一种队单独承包,在保证一周完毕前提下,哪个队承包费用至少?14如图,圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设AD与CE交点为P。(1)求证:(2)求证:16假如对一切x整数值,x二次三项式ax2bxc值都是平方数(即整数平方)。证明:(1)2a
4、、2b、c都是整数;(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,假如(2)成立,与否对一切x整数值,x 二次三项式ax2bxc值都是平方数?初中数学竞赛试题一、 选用题(每题5分,共30分)1. 设ab0,a2b24ab,则值为( )。A、 B、 C、2 D、3答案:A.由题意:0,且= = =3。2. 已知a1999x,b1999x,c1999x,则多项式a2b2c2abbcca值为( )。A、0 B、1 C、2 D、3答案:原式= (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= 1+1+4=3。3. 如图,点E、F分别是矩形ABCD边AB、BC中点,连AF、CE交于点G,则等于( )。A
5、、 B、 C、 D、答案:设S矩形ABCD=1。由于E、F是矩形ABCD中边AB、BC中点,因此SGCF=SGBF,设为x;SGAE=SGBE,设为y。则 ,得2x+2y= .因此S四边形AGCD= .从而S四边形AGCDS矩形ABCD=23.4. 设a、b、c为实数,xa22b,yb22c,zc22a,则x、y、z中至少有一种值( )。A、不不不小于0 B、等于0 C、不不不不小于0 D、不不小于0答案:由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-30,因此x、y、z中至少有一 个不不不小于0.5. 设有关x方程ax2(a2)x9a0
6、,有两个不等实数根x1、x2,且x11x2,那么a取值范围是( )。A、a B、a C、a D、a0答案:由题知:(x1-1)(x2-1)0,即x1x2-(x1+x2)+10,代入韦达定理并整顿得0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18- .8. 已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点横坐标,ab,则值为 。答案:由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0,(b-c)(b-c-d)-2=0.因此a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)两实根.因此(a-c)(b-c)= -20.而ab,即a-cb-c.因此a-
7、c0.因此原式=b-a.9. 如图,在ABC中,ABC600,点P是ABC内一点,使得APBBPCCPA,且PA8,PC6,则PB 。答案:易证:PABBCP,因此= ,得PB=410. 如图,大圆O直径ABacm,分别以OA、OB为直径作O1、O2,并在O与O1和O2空隙间作两个等圆O3和O4,这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4面积为 cm2。答案:设O3半径为x,则O1O3= +x,O1O= ,O3O= - x. 因此( +x)2=( )2+( - x)2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4面积为 a2.11. 满足(n2n1)n21整数n有 个。答案:由题设得n2-n-1=
8、1,有5个根:0,1,-1,2.和-212. 某商品标价比成本高p%,当该商品降价发售时,为了不赔本,售价折扣(即降价百分数)不得超过d%,则d可以用p体现为 。答案:设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.三、 解答题(每题20分,共60分)13. 某项工程,假如由甲、乙两队承包,天完毕,需付180000元;由乙、丙两队承包,天完毕,需付150000元;由甲、丙两队承包,天完毕,需付160000元。目前工程由一种队单独承包,在保证一周完毕前提下,哪个队承包费用至少?答案:设单独完毕,甲、乙、丙各需a、b、c天.则 解得a=4,b=6,c=10(c7,舍去).又设每天付给甲、乙、
9、丙费用分别为x、y、z(元),则 解得x=45500,y=29500,因此甲4天完毕总费用为18元,乙6天完毕总费用为177000元,因此由乙承包.14. 如图,圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设AD与CE交点为P。(1)求证:(2)求证:答案:(1)易证3=4,因此AEC=DEQ,而ACE=2,因此ACEQDE.可得结论成立.(2)分析:易证6=4,因此FCED,因此 = 因此只需证 = ,由(1)有 = 。因此只需证= ,即QD2=CQEQ. 这只需证CQDEQD.而由题设有7=3+5=4+5,由(1)有9=EAC,而EAC=8=QCD,因此可
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