2023年小学奥数应用题类型归纳整理30类典型应用题分析.doc

小学数学30类经典应用题分析
小学数学中把具有数量关系实际问题用语言或文字论述出来，这样所形成题目叫做应用题。任何一道应用题都由两某些构成。第一某些是已知条件（简称条件），第二某些是所求问题（简称问题）。应用题条件和问题，构成了应用题构造。
应用题可分为一般应用题与经典应用题。没有特定解答规律两步以上运算应用题，叫做一般应用题。
题目中有特殊数量关系，可以用特定环节和措施来解答应用题，叫做经典应用题。小学数学重要有如下30类经典应用题：
1、归一问题
2、归总问题
3、和差问题
4、和倍问题
5、差倍问题
6、倍比问题
7、相遇问题
8、追及问题
9、植树问题
10、年龄问题
11、行船问题
12、列车问题
13、时钟问题
14、盈亏问题
15、工程问题
16、正反比例问题
17、按比例分派
18、百分数问题
19、“牛吃草”问题
20、鸡兔同笼问题
21、方阵问题
22、商品利润问题
23、存款利率问题
24、溶液浓度问题
25、构图布数问题
26、幻方问题
27、抽屉原则问题
28、公约公倍问题
29、最值问题
30、列方程问题

一、归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为原则，求出所规定数量。此类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思绪和措施】 先求出单一量，以单一量为原则，求出所规定数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样铅笔16支，需要多少钱？
解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
（2） 5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，假如用同样7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）
列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要运3次。

二、归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其他条件算出所求问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货品总价、几小时（几天）总工作量、几公亩地上总产量、几小时行总旅程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思绪和措施】 先求出总数量，再根据题意得出所求数量。
例1 服装厂本来做一套衣服用布3.2米，改善裁剪措施后，每套衣服用布2.8米。本来做791套衣服布，目前可以做多少套？
解 （1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）
（2）目前可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：目前可以做904套。
例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）
（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3 食堂运来一批蔬菜，原筹划每天吃50公斤，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据人们意见，每天比原筹划多吃10公斤，这批蔬菜可以吃多少天？
解 （1）这批蔬菜共有多少公斤？ 50×30＝1500（公斤）
（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：这批蔬菜可以吃25天。

三、和差问题
【含义】 已知两个数量和与差，求这两个数量各是多少，此类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
【解题思绪和措施】 简朴题目可以直接套用公式；复杂题目变通后再用公式。
例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2 长方形长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形面积。
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形面积 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：长方形面积为80平方厘米。
例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32公斤，乙丙两袋共重30公斤，甲丙两袋共重22公斤，求三袋化肥各重多少公斤。
解 甲乙两袋、乙丙两袋都具有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2公斤，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（公斤）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（公斤）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（公斤）
答：甲袋化肥重12公斤，乙袋化肥重20公斤，丙袋化肥重10公斤。
例4 甲乙两车本来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，成果甲车比乙车还多3筐，两车本来各装苹果多少筐？
解 “从甲车取下14筐放到乙车上，成果甲车比乙车还多3筐”，这阐明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙差是（14×2＋3），甲与乙和是97，因而甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车本来装苹果64筐，乙车本来装苹果33筐。

四、和倍问题
【含义】 已知两个数和及大数是小数几倍（或小数是大数几分之几），规定这两个数各是多少，此类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小数
总和 － 较小数 ＝ 较大数
较小数 ×几倍 ＝ 较大数
【解题思绪和措施】 简朴题目直接运用公式，复杂题目变通后运用公式。
例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树棵数是杏树3倍，求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数1.4倍，求两库各存粮多少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站2倍？
解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相称于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天后来甲站车辆数当作1倍量，这时乙站车辆数就是2倍量，两站车辆总数（52＋32）就相称于（2＋1）倍，
那么，几天后来甲站车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天后来乙站车辆数是甲站2倍。
例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲2倍少4，丙比甲3倍多6，求三数各是多少？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因而把甲数作为1倍量。
由于乙比甲2倍少4，因此给乙加上4，乙数就变成甲数2倍；
又由于丙比甲3倍多6，因此丙数减去6就变为甲数3倍；
这时（170＋4－6）就相称于（1＋2＋3）倍。那么，
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

五、差倍问题
【含义】 已知两个数差及大数是小数几倍（或小数是大数几分之几），规定这两个数各是多少，此类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】 两个数差÷（几倍－1）＝较小数
较小数×几倍＝较大数
【解题思绪和措施】 简朴题目直接运用公式，复杂题目变通后运用公式。
例1 果园里桃树棵数是杏树3倍，并且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2 父亲比儿子大27岁，今年，父亲年龄是儿子年龄4倍，求父子二人今年各是多少岁？
解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）父亲年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二人今年年龄分别是36岁和9岁。
例3 商场改革经营管理措施后，本月盈利比上月盈利2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
解 假如把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相称于上月盈利（2－1）倍，因而
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，假如每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩余玉米是小麦3倍？
解 由于每天运出小麦和玉米数量相等，因此剩余数量差等于本来数量差（138－94）。把几天后剩余小麦看作1倍量，则几天后剩余玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相称于（3－1）倍，因而
剩余小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮天数＝72÷9＝8（天）
答：8天后来剩余玉米是小麦3倍。

六、倍比问题
【含义】 有两个已知同类量，其中一种量是另一种量若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比措施算出规定数，此类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一种数量＝倍数
另一种数量×倍数＝另一总量
【解题思绪和措施】 先求出倍数，再用倍比关系求出规定数。
例1 100公斤油菜籽可以榨油40公斤，目前有油菜籽3700公斤，可以榨油多少？
解 （1）3700公斤是100公斤多少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少公斤？ 40×37＝1480（公斤）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（公斤）
答：可以榨油1480公斤。
例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
解 （1）48000名是300名多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？
解 （1）800亩是4亩几倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩几倍？ 16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园共收入2222200元，
全县16000亩果园共收入44444000元。

七、相遇问题
【含义】 两个运动物体同步由两地出发相向而行，在途中相遇。此类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间＝总旅程÷（甲速＋乙速）
总旅程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思绪和措施】 简朴题目可直接运用公式，复杂题目变通后再运用公式。
例1 南京到上海水路长392千米，同步从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出船每小时行28千米，从上海开出船每小时行21千米，通过几小时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小时）
答：通过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，她们从同一地点同步出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因而总旅程为400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同步从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是对旳理解本题题意关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走旅程是（3×2）千米，因而，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两地距离是84千米。

八、追及问题
【含义】 两个运动物体在不一样地点同步出发（或者在同一地点而不是同步出发，或者在不一样地点又不是同步出发）作同向运动，在背面，行进速度要快些，在前面，行进速度较慢些，在一定期间之内，背面追上前面物体。此类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及旅程÷（迅速－慢速）
追及旅程＝（迅速－慢速）×追及时间
【解题思绪和措施】 简朴题目直接运用公式，复杂题目变通后运用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，她们从同一地点同步出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮速度，须知追及时间，即小明跑500米所用时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，因此小亮速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］
＝300÷100＝3（米）
答：小亮速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几种小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间与解放军追击时间时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑旅程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同步从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来处理。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车时间就是前面所说相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
因此两站间距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］
＝88×4
＝352（千米）
答：甲乙两站距离是352千米。
例5 兄妹二人同步由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘掉带书本，及时沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问她们家离学校有多远？
解 规定距离，速度已知，因此关键是求出相遇时间。从题中可知，在相似时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是由于哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，她以每小时4千米速度从家步行去学校，当她走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因而及时跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，假如孙亮从家一开始就跑步，可比本来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步速度。
解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，假如按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段旅程跑步恰准时到学校，阐明后段旅程跑比走少用了（10－5）分钟。假如从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
因此
步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］
＝0.25（小时）
＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）
答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。

九、 植树问题
【含义】 按相等距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中两个量，规定第三个量，此类应用题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思绪和措施】 先弄清晰植树问题类型，然后可以运用公式。
例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2 一种圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白杨树。
例3 一种正方形运动场，每边长220米，每隔8米安装一种照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装106个照明灯。
例4 给一种面积为96平方米住宅铺设地板砖，所用地板砖长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
答：至少需要400块地板砖。
例5 一座大桥长500米，给桥两边电杆上安装路灯，若每隔50米有一种电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
解 （1）桥一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）
（2）桥两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

十、 年龄问题
【含义】 此类问题是根据题目内容而得名，它重要特点是两人年龄差不变，不过，两人年龄之间倍数关系伴随年龄增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着亲密联络，尤其与差倍问题解题思绪是一致，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思绪和措施】 可以运用“差倍问题”解题思绪和措施。
例1 父亲今年35岁，亮亮今年5岁，今年父亲年龄是亮亮几倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年父亲年龄是亮亮7倍，
明年父亲年龄是亮亮6倍。
例2 妈妈今年37岁，女儿今年7岁，几年后妈妈年龄是女儿4倍？
解 （1）妈妈比女儿年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）几年后妈妈年龄是女儿4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后妈妈年龄是女儿4倍。
例3 3年前父子年龄和是49岁，今年父亲年龄是儿子年龄4倍，父子今年各多少岁？
解 今年父子年龄和应当比3年前增长（3×2）岁，
今年二人年龄和为 49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相称于（4＋1）倍，因而，今年儿子年龄为 55÷（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为 11×4＝44（岁）
答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
例4 甲对乙说：“当我岁数曾经是你目前岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我岁数未来是你目前岁数时，你将61岁”。求甲乙目前岁数各是多少？
解
这里波及到三个年份：过去某一年、今年、未来某一年。列表分析：

过去某一年
今 年
未来某一年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
□岁
△岁
表中两个“□”体现同一种数，两个“△”体现同一种数。
由于两个人年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，因此，61应当比4大3个年龄差，
因而二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）
甲今年岁数为 △＝61－19＝42（岁）
乙今年岁数为 □＝42－19＝23（岁）
答：甲今年岁数是42岁，乙今年岁数是23岁。
十一、行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关问题。解答此类问题要弄清船速与水速，船速是船只自身航行速度，也就是船只在静水中航行速度；水速是水流速度，船只顺水航行速度是船速与水速之和；船只逆水航行速度是船速与水速之差。
【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思绪和措施】 大多数状况可以直接运用数量关系公式。
例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段旅程需用几小时？
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，因此，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米）
船逆水速为 25－15＝10（千米）
船逆水行这段旅程时间为 320÷10＝32（小时）
答：这只船逆水行这段旅程需用32小时。
例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可见 （36－20）相称于水速2倍，
因此， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）
又由于， 乙船速－水速＝360÷15，
因此， 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）
乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）
因此， 乙船顺水航行360千米需要
360÷40＝9（小时）
答：乙船返回原地需要9小时。
例3 一架飞机飞行在两个都市之间，飞机速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时抵达，顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米？
（576－24）×3＝1656（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时？
1656÷（576＋24）＝2.76（小时）
列成综合算式
［（576－24）×3］÷（576＋24）
＝2.76（小时）
答：飞机顺风飞回需要2.76小时。

十二、 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关某些问题，解答时要注意列车车身长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速＋乙车速）
【解题思绪和措施】 大多数状况可以直接运用数量关系公式。
例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
解 火车3分钟所行旅程，就是桥长与火车车身长度和。
（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长300米。
例2 一列长200米火车以每秒8米速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥长度是多少米？
解 火车过桥所用时间是2分5秒＝125秒，所走旅程是（8×125）米，这段旅程就是（200米＋桥长），因此，桥长为
8×125－200＝800（米）
答：大桥长度是800米。
例3 一列长225米慢车以每秒17米速度行驶，一列长140米快车以每秒22米速度在背面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因而，所求时间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4 一列长150米列车以每秒22米速度行驶，有一种扳道工人以每秒3米速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
解 假如把人看作一列长度为零火车，原题就相称于火车相遇问题。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
例5 一列火车穿越一条长米隧道用了88秒，以同样速度通过一条长1250米大桥用了58秒。求这列火车车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用时间不一样，是由于隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒时间内行驶了（－1250）米旅程，因而，火车车速为每秒
（－1250）÷（88－58）＝25（米）
进而可知，车长和桥长和为（25×58）米，
因而，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车车速是每秒25米，车身长200米。

十三、时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系问题，如两针重叠、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针速度是时针12倍，
两者速度差为11/12。
一般按追及问题来看待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思绪和措施】 变通为“追及问题”后可以直接运用公式。
例1 从时针指向4点开始，再通过多少分钟时针恰好与分针重叠？
解 钟面一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。因此
分针追上时针时间为 20÷（1－1/12）≈ 22（分）
答：再通过22分钟时针恰好与分针重叠。
例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60格，它1/4是15格，因而两针成直角时候相差15格（波及分针在时针前或后15格两种状况）。四点整时候，分针在时针后（5×4）格，假如分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5×4－15）格，假如分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角时间。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重叠？
解 六点整时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重叠，就得追上时针。这实际上是一种追及问题。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6点33分时候分针与时针重叠。

十四、 盈亏问题
【含义】 根据一定人数，分派一定物品，在两次分派中，一次有余（盈），一次局限性（亏），或两次均有余，或两次都局限性，求人数或物品数，此类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分派中，假如一次盈，一次亏，则有：
参与分派总人数＝（盈＋亏）÷分派差
假如两次都盈或都亏，则有：
参与分派总人数＝（大盈－小盈）÷分派差
参与分派总人数＝（大亏－小亏）÷分派差
【解题思绪和措施】 大多数状况可以直接运用数量关系公式。
例1 给幼稚园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
解 按照“参与分派总人数＝（盈＋亏）÷分派差”数量关系：
（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2 修一条公路，假如每天修260米，修完全长就得延长8天；假如每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？
解 题中原定完毕任务天数，就相称于“参与分派总人数”，按照“参与分派总人数＝（大亏－小亏）÷分派差”数量关系，可以得知
原定完毕任务天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长7800米。
例3 学校组织春游，假如每辆车坐40人，就余下30人；假如每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
解 本题中车辆数就相称于“参与分派总人数”，于是就有
（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有6 辆车，有270人。

十五、工程问题
【含义】 工程问题重要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系。此类问题在已知条件中，常常不给出工作量详细数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”体现工作总量。
【数量关系】 解答工程问题关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间倒数（它体现单位时间内完毕工作总量几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思绪和措施】 变通后可以运用上述数量关系公式。
例1 一项工程，甲队单独做需要10天完毕，乙队单独做需要15天完毕，目前两队合作，需要几天完毕？
解 题中“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程详细数量，因而，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完毕，那么每天完毕这项工程1/10；乙队单独做需15天完毕，每天完毕这项工程1/15；两队合做，每天可以完毕这项工程（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：两队合做需要6天完毕。
例2 一批零件，甲独做6小时完毕，乙独做8小时完毕。目前两人合做，完毕任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
解 设总工作量为1，则甲每小时完毕1/6，乙每小时完毕1/8，甲比乙每小时多完毕（1/6－1/8），二人合做时每小时完毕（1/6＋1/8）。由于二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，因此
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种措施计算：
两人合做，完毕任务时甲乙工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完毕总工作量 4－3 / 4＋3 ＝1/7
因此，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）
例3 一件工作，甲独做12小时完毕，乙独做10小时完毕，丙独做15小时完毕。目前甲先做2小时，余下由乙丙二人合做，还需几小时才能完毕？
解 必要先求出各人每小时工作效率。假如能把效率用整数体现，就会给计算带来以便，因而，咱们设总工作量为12、10、和15某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人工作效率分别是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因而余下工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完毕。
例4 一种水池，底部装有一种常开排水管，上部装有若干个同样粗细进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；目前要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊工程问题。往水池注水或从水池排水相称于一项工程，水流量就是工作量，单位时间内水流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要懂得进水管、排水管工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一种量为单位1，别旳两个量便可由条件推出。
咱们设每个同样进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一种排水管与每个进水管工作效率相似。由此可知
一池水总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又由于在2小时内，每个进水管注水量为 1×2，
因此，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。

十六、正反比例问题
【含义】 两种有关联量，一种量变化，另一种量也伴随变化，假如这两种量中相对应两个数比比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例量，它们关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识综合运用。
两种有关联量，一种量变化，另一种量也伴随变化，假如这两种量中相对应两个数积一定，这两种量就叫做成反比例量，它们关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例意义和解比例等知识综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解此类应用题关键。许多经典应用题都可以转化为正反比例问题去处理，并且比较简捷。
【解题思绪和措施】 处理此类问题重要措施是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过倍比问题基本类似。
例1 修一条公路，已修是未修1/3，再修300米后，已修变成未修1/2，求这条公路总长是多少米？
解 由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相称于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 这条公路总长3600米。
例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3 孙亮看《十万个为何》这本书，每天看24页，15天看完，假如每天看36页，几天就可以看完？
解 书页数一定，每天看页数与需要天数成反比例关系
设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
例4 一种大矩形被提成六个小矩形，其中四个小矩形面积如图所示，求大矩形面积。  
A
25
20
36
B
16
解 由面积÷宽＝长可知，当长一定期，面积与宽成正比，因此每一上下两个小矩形面积之比就等于它们宽正比。又由于第一行三个小矩形