2023年全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷.doc

全国高中数学联赛A卷一试
一、填空题
1.设是定义在上函数，对任意实数有.又当时，，则值为__________.
2.若实数满足，则取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系中，椭圆方程为，为上焦点，为右顶点，是上位于第一象限内动点，则四边形面积最大值为__________.
4.若一种三位数中任意两个相邻数码差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数个数是
5.正三棱锥中，，，过平面将其体积平分，则棱与平面所成角余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为概率为__________.
7.在中，是边中点，是线段中点.若，面积为，则最小值为__________.
8.设两个严格递增正整数数列满足：，对任意正整数，有，，则所有也许值为__________.
二、解答题
9.设为实数，不等式对所有成立.证明：.

10.设是非负实数，满足，求最小值和最大值.

11.设复数满足，，且（其中体现复数实部）.
（1）求最小值；
（2）求最小值.

全国高中数学联赛A卷二试
一.如图，在中，，为内心，觉得圆心，为半径作圆，觉得圆心，为半径作圆，过点圆与,分别交于点（不一样于点）.设与交于点.证明：

二.设数列定义为，.求满足正整数个数.

三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色小方格个数相等.若相邻连个小方格颜色不一样，则称它们公共边为“分隔边”.试求分隔边条数最小值.

四.设均是不不不小于1整数，，是个不超过互不相似正整数，且互素.证明：对任意实数，均存在一种，使得，这里体现实数到与它近来整数距离.

全国高中数学联赛A卷
一试答案
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

全国高中数学联赛A卷
二试答案
一.

二.

三.

四.