2023年考研数学三真题及全面解析.doc

1996年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设方程确定是函数,则___________.
(2) 设,则___________..
(3) 设是抛物线上一点,若在该点切线过原点,则系数应满足关系是___________.
(4) 设
,,,
其中.则线性方程组解是___________.
(5) 设由来自正态总体容量为9简朴随机样本,得样本均值,则未知参数置信度为0.95置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项前字母填在题后括号内.)
(1) 累次积分可以写成 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 下述各选项对的是 ( )
(A) 若和所有收敛,则收敛
(B) 收敛,则和所有收敛
(C) 若正项级数发散,则
(D) 若级数收敛,且,则级数也收敛
(3) 设阶矩阵非奇异(),是矩阵伴随矩阵,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零数 和,使,则
( )
(A) 和所有线性有关
(B) 和所有线性无关
(C) 线性无关
(D) 线性有关
(5) 已知且,则下列选项成立是( )
(A)
(B)
(C)
(D)

三、(本题满分6分)
设其中有二阶持续导数,且.
(1)求；
(2)讨论在上持续性.

四、(本题满分6分)
设函数,方程确定是函数,其中可微；,持续,且.求.

五、(本题满分6分)
计算.

六、(本题满分5分)
设在区间上可微,且满足条件.试证:存在使

七、(本题满分6分)
设某种商品单价为时,售出商品数量可以表达成,其中
均为正数,且.
(1) 求在何范围变化时,使对应销售额增长或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价应取何值?最大销售额是多少?

八、(本题满分6分)
求微分方程通解.

九、(本题满分8分)
设矩阵.
(1) 已知一种特性值为3,试求；
(2) 求矩阵,使为对角矩阵.

十、(本题满分8分)
设向量是齐次线性方程组一种基础解系,向量不是方程组
解,即.试证明:向量组线性无关.

十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无端障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?

十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程,其中分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次前后出现点数.求该方程有实根概率和有重根概率.

十三、(本题满分6分)
假设是来自总体X简朴随机样本；已知.
证明：当充足大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数.

1996年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】措施1：方程两边取对数得,再两边求微分,
.
措施2：把变形得,然后两边求微分得
,
由此可得
(2)【答案】
【解析】由,两边求导数有
,
于是有

.
(3)【答案】(或),任意
【解析】对两边求导得
因此过切线方程为即

又题设知切线过原点,把代入上式,得
即
由于系数,因此,系数应满足关系为(或),任意.
(4)【答案】
【解析】由于是范德蒙行列式,由知.根据解和系数矩阵秩关系,因此方程组有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
,
易见
因此解为,即.
【有关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组

或简记为
其系数行列式
,
则方程组有唯一解

其中是用常数项替代中第列所成行列式,即
.
(5)【答案】
【解析】可以用两种措施求解：
(1)已知方差,对正态总体数学期望进行估计,可根据
因,设有个样本,样本均值,
有,将其原则化,由公式得：

由正态分布分为点定义可确定临界值,
进而确定对应置信区间.
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值置信区间问题.
由教材上已经求出置信区间,
其中,可以直接得出答案.
措施1：由题设,,可见查原则正态分布表知分位点本题, , 因此,根据 ,有
,即 ,
故置信度为0.95置信区间是 .
措施2：由题设,,

查得
,, 代入得置信区间.

二、选择题(本题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项前字母填在题后括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】措施1：由题设知,积分区域在极坐标系中是

1

即是由和轴在第一象限所围成
平面图形,如右图.
由于最左边点横坐标是,最右点横坐标是1,
下边界方程是上边界方程是,从而
直角坐标表达是

故(D)对的.
措施2：采用逐渐淘汰法.由于(A)中二重积分积分区域极坐标表达为

而(B)中积分区域是单位圆在第一象限部分,
(C)中积分区域是正方形
因此,她们所有是不对的.故应选(D).
(2)【答案】(A)
【解析】由于级数和所有收敛,可见级数收敛.由不等式

及比较鉴别法知级数收敛,从而收敛.
又由于即级数收敛,故应选(A).
设,可知(B)不对的.
设,可知(C)不对的.
设,可知(D)不对的.
注：在本题中命题(D)“若级数收敛,且,则级数也收敛.”不对的,这表明：比较鉴别法适合用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)鉴别,但对任意项级数一般是不合用.这是任意项级数和正项级数收敛性鉴别中一种主线辨别.
(3)【答案】(C)
【解析】伴随矩阵基础关系式为,
现将视为关系式中矩阵,则有.
措施一：由及,可得

故应选(C).
措施二：由,左乘得
,即.
故应选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】本题考察对向量组线性有关、线性无关概念理解.若向量组线性无关,即若,必有.
既然和不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).
一般状况下,对于

不能保证必有及故(A)不对的.由已知条件,有
,
又和不全为零,故线性有关.
故选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】依题意

因,故有.因此应选(B).
注：有些考生错误地选择(D).她们认为(D)是全概率公式,对任何事件所有成立,不过忽视了全概率公式中规定作为条件事件应满足,且是对立事件.
【有关知识点】条件概率公式：.

三、(本题满分6分)
【解析】(1) 由于有二阶持续导数,故当时,也具有二阶持续导数,此时,可直接计算,且持续；当时,需用导数定义求.
当时,
当时,由导数定义及洛必达法则,有
.
因此
(2) 在点持续性要用定义来鉴定.由于在处,有

.
而在处是持续函数,因此在上为持续函数.

四、(本题满分6分)
【解析】由可得.
在方程两边分别对求偏导数,得

因此 .
于是 .

五、(本题满分6分)
【分析】题被积函数是幂函数和指数函数两类不同样函数相乘,应当用分部积分法.
【解析】措施1:由于

因此
而

,
故原式.
措施2:

六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令,则.因此,只需证明在内某一区间上满足罗尔定理条件.
【解析】令,由积分中值定理可知,存在,使
,
由已知条件,有于是

且在上可导,故由罗尔定理可知,存在使得
即
【有关知识点】1.积分中值定理：假如函数在积分区间上持续,则在上至少存在一种点,使下式成立：
.
这个公式叫做积分中值公式.
2.罗尔定理：假如函数满足
(1)在闭区间上持续；
(2)在开区间内可导；
(3)在区间端点处函数值相等,即,
那么在内至少有一点(),使得.

七、(本题满分6分)
【分析】运用函数单调性鉴定,假如在某个区间上导函数,则函数单调递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品销售额为,则

令得 .
当时,,因此随单价增长,对应销售额也将增长.
当时,有,因此随单价增长,对应销售额将减少.
(2)由(1)可知,当时,销售额获得最大值,最大销售额为
.

八、(本题满分6分)
【解析】令,则.
当时,原方程化为,即,其通解为
或 .
代回原变量,得通解.
当时,原方程解和时相似,理由如下:
令,于是,并且
.
从而有通解,即.
综合得,方程通解为.
注：由于未给定自变量取值范围,因此在本题求解过程中,引入新未知函数后得
,
从而,应当分别对和求解,在类似问题中,这一点应当牢记.

九、(本题满分8分)
【分析】本题(1)是考察特性值基础概念,而(2)是把实对称矩阵协议于对角矩阵问题转化成二次型求原则形问题,用二次型理论和措施来处理矩阵中问题.
【解析】(1)由于是特性值,故

因此.
(2)由于,要,而

是对称矩阵,故可构造二次型,将其化为原则形.即有和协议.亦即.
措施一：配措施.
由于

那么,令即经坐标变换

有 .
因此,取 ,有 .
措施二：正交变换法.
二次型对应矩阵为
,
其特性多项式
.
特性值.由,即
,
和,即
,
分别求得对应线性无关特性向量
,
和特性向量.
对用施密特正交化措施得,再将单位化为,其中：
.
取正交矩阵
,
则 ,
即 .

十、(本题满分8分)
【解析】证法1： (定义法)若有一组数使得
(1)
则因是解,知,用左乘上式两边,有
. (2)
由于,故. 对(1)重新分组为. (3) 把(2)代入(3)得 .
由于是基础解系,它们线性无关,故必有.
代入(2)式得:.
因此向量组线性无关.
证法2： (用秩)经初等变换向量组秩不变.把第一列-1倍分别加至其他各列,有

因此
由于是基础解系,它们是线性无关,秩,又必不能由线性表出(否则),故.
因此
即向量组线性无关.

十一、(本题满分7分)
【解析】设一周5个工作日内发生故障天数为,则服从二项分布即.
由二项分布概率计算公式,有

设一周内所获利润(万元),则是函数,且

由离散型随机变量数学期望计算公式,
(万元).
【有关知识点】1.二项分布概率计算公式：
若,则, .
2.离散型随机变量数学期望计算公式：.

十二、(本题满分6分)
【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.
设事件“方程有实根”,“方程有重根”,则.
用列举法求有助于样本点个数(),详细做法见下表:
有助于意思就是使不等式尽量成立,则需要越大越好,越小越好.
当取遍1,2,3,4,5,6时,记录也许出现点数有多少种.
B
1 2 3 4 5 6
有助于样本点数
0 1 2 4 6 6
有助于样本点数
0 1 0 1 0 0
由古经典概率计算公式得到

【有关知识点】古经典概率计算公式：

十三、(本题满分6分)
【解析】依题意,独立同分布,可见也独立同分布.由
及方差计算公式,有

因此,根据中心极限定理

极限分布是原则正态分布,即当充足大时,近似服从参数为正态分布.
【有关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布中心极限定理：
设随机变量独立同分布,方差存在,记和分别是它们相似期望和方差,则对任意实数,恒有

其中是原则正态分布函数.
2.方差计算公式：.