数学物理方程FirstSecond公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

7.2 节 定解条件第1页第1页什么是边界？什么是边界？由连接研究对象和环境所有点构成物理区域由连接研究对象和环境所有点构成物理区域对于一维系统，它是两个端点对于一维系统，它是两个端点对于二维系统，它是闭合曲线对于二维系统，它是闭合曲线对于三维系统，它是封闭曲面对于三维系统，它是封闭曲面要拟定一个由数理方程描述物理问题解，必须要拟定一个由数理方程描述物理问题解，必须给定所有边界上信息：确切阐明边界上物理情给定所有边界上信息：确切阐明边界上物理情况况第2页第2页边界条件边界条件常见线性边界条件，数学上分为三类：常见线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接要求了所研究物理量在第一类边界条件，直接要求了所研究物理量在边界上数值。边界上数值。第二类边界条件，要求了所研究物理量在边界第二类边界条件，要求了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值。外法线方向上方向导数数值。第三类边界条件，要求了所研究物理量及其外第三类边界条件，要求了所研究物理量及其外法向导数线性组合在边界上数值。法向导数线性组合在边界上数值。第3页第3页边界条件边界条件第一类第一类第二类第二类第三类第三类第4页第4页课堂作业（5 分钟）弦横振动问题，一端固定，另一端与一竖直弹簧相连，弹簧另一端固定，求这个定解问题边界条件。板书画图。笔记 P66 页。第5页第5页详细例子（第一类边界条件）详细例子（第一类边界条件）弦两端固定而振动，边界条件为弦两端固定而振动，边界条件为第6页第6页详细例子（第一类边界条件）详细例子（第一类边界条件）热传导问题，杆两端恒温，边界条件为热传导问题，杆两端恒温，边界条件为第7页第7页详细例子（第二类边界条件）详细例子（第二类边界条件）第8页第8页详细例子（第二类边界条件）详细例子（第二类边界条件）板书推导板书推导笔记笔记 P1 P2 页页第9页第9页详细例子（第二类边界条件）详细例子（第二类边界条件）纵振动杆一端受沿外法向方向外力，依据胡克纵振动杆一端受沿外法向方向外力，依据胡克定律，边界条件为定律，边界条件为第10页第10页详细例子（第二类边界条件）详细例子（第二类边界条件）一端有已知热流流入热传导问题，依据热传导一端有已知热流流入热传导问题，依据热传导定律，边界条件为定律，边界条件为板书推导板书推导第11页第11页详细例子（第三类边界条件）详细例子（第三类边界条件）第12页第12页详细例子（第三类边界条件）详细例子（第三类边界条件）板书推导板书推导笔记笔记 P2 页页第13页第13页详细例子（第三类边界条件）详细例子（第三类边界条件）杆一端通过弹簧与固定点连接，通过受力分析，杆一端通过弹簧与固定点连接，通过受力分析，边界条件为边界条件为第14页第14页一个完整定解问题边界条件能够是三类边界条一个完整定解问题边界条件能够是三类边界条件组合，比如：件组合，比如：第15页第15页一端固定另一端受力杆纵振动问题完整边界一端固定另一端受力杆纵振动问题完整边界条件为（第一类和第二类边界条件组合）条件为（第一类和第二类边界条件组合）第16页第16页一端恒温，另一端有已知热流热传导问题完一端恒温，另一端有已知热流热传导问题完整边界条件为（第一类和第二类边界条件组整边界条件为（第一类和第二类边界条件组合）合）第17页第17页尚有其它类型边界条件尚有其它类型边界条件边界条件只要确切阐明边界上物理情边界条件只要确切阐明边界上物理情况就行。况就行。详细问题详细分析：把物理定律应用详细问题详细分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要边界条件。到边界上，就能得到需要边界条件。第18页第18页没有边界条件问题没有边界条件问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例,假如弦很长假如弦很长,着重研究着重研究靠近一端那段弦。在不太长时间里靠近一端那段弦。在不太长时间里,另一端影另一端影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端边界条件。这样，有限长真实弦抽象成端边界条件。这样，有限长真实弦抽象成半无半无界界弦。弦。假如着重研究不靠近两端那段弦，不妨认为假如着重研究不靠近两端那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长真实弦就无需提出边界条件了。这样，有限长真实弦抽象成抽象成无界无界弦。弦。看书看书第19页第19页衔接条件衔接条件针对研究区域里针对研究区域里跃变点跃变点，泛定方程在跃变点失，泛定方程在跃变点失去意义去意义板书推导板书推导笔记笔记 P 23 页页第20页第20页衔接条件衔接条件针对研究区域里针对研究区域里跃变点跃变点，泛定方程在跃变点失，泛定方程在跃变点失去意义去意义板书推导板书推导第21页第21页第22页第22页数学物理方程分类偏微分方程分类观看动画观看动画偏微分方程：关于含有多个独立变量未知函数及其偏导数方程。不同物理现象能够由相同偏微分方程描述，因而含有相同动力学规律。（举例说明）第23页第23页线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程线性线性二次二次指数指数第24页第24页线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程满足下列特性函数称为线性函数：满足下列特性函数称为线性函数：1.叠加性叠加性板书推导反例板书推导反例第25页第25页线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程满足下列特性函数称为线性函数：满足下列特性函数称为线性函数：2.常数因子不变常数因子不变板书推导反例板书推导反例第26页第26页线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程其中其中,aij,bi,c,f 只是只是x1,x2,xn 函数函数,就叫就叫做做线性线性方程方程.二阶偏微分方程假如能够表示为二阶偏微分方程假如能够表示为则方程称为则方程称为齐次齐次,不然叫不然叫非齐次非齐次.板书验证线性板书验证线性 解释解释P3页页 笔记笔记 P68页页第27页第27页课堂作业（课堂作业（5 分钟）分钟）1.下列方程是否为下列方程是否为线性线性偏微分方程？给出阐明。偏微分方程？给出阐明。第28页第28页假如泛定方程和定解条件都是线性，能够把定假如泛定方程和定解条件都是线性，能够把定解问题解看作几种部分线性叠加，只要这些部解问题解看作几种部分线性叠加，只要这些部分各自所满足泛定方程和定解条件相应叠加正分各自所满足泛定方程和定解条件相应叠加正好是本来泛定方程和定解条件就行。这叫做好是本来泛定方程和定解条件就行。这叫做叠叠加原理加原理。叠加原理叠加原理适当解释适当解释线性非齐次常微分方程通解等于非齐次方程特线性非齐次常微分方程通解等于非齐次方程特解解+齐次方程通解。齐次方程通解。第29页第29页双曲型方程双曲型方程两个自变数方程分类两个自变数方程分类一维波动方程：弦横振动方程一维波动方程：弦横振动方程,杆纵振动方程杆纵振动方程,电报方程等都是原则形式双曲型方程。电报方程等都是原则形式双曲型方程。第30页第30页抛物型方程抛物型方程两个自变数方程分类两个自变数方程分类一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是原一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是原则形式抛物型方程则形式抛物型方程第31页第31页椭圆型方程椭圆型方程两个自变数方程分类两个自变数方程分类二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分布方程都是原则形式椭圆型方程布方程都是原则形式椭圆型方程第32页第32页第33页第33页达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题 大家已经熟悉常微分方程常规解法大家已经熟悉常微分方程常规解法:先先不考虑任何附加条件不考虑任何附加条件,从方程本身求出通解从方程本身求出通解,通解中含有任意常数通解中含有任意常数(积分常数积分常数),然后利然后利用附加条件拟定这些常数用附加条件拟定这些常数.偏微分方程能否偏微分方程能否仿照这种办法求解呢仿照这种办法求解呢?第34页第34页课堂作业（5 分钟）在无界空间内求下列定解问题解：注意方程是线性注意方程是线性笔记笔记 P 68 页页第35页第35页达朗贝尔公式达朗贝尔公式利用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下利用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下波动方程解物理图象；数学上把偏微分方程化波动方程解物理图象；数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。为常微分方程求解。第36页第36页达朗贝尔公式达朗贝尔公式数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。板书推导板书推导 笔记笔记P4页页作变量作变量代换代换第37页第37页第38页第38页变量代换思想是数学和物理学中主要处理问题变量代换思想是数学和物理学中主要处理问题思绪。思绪。第39页第39页达朗贝尔公式达朗贝尔公式无界振动方无界振动方程通解程通解第40页第40页达朗贝尔公式达朗贝尔公式不同于常微分方程情况,式中出现任意函数而不是任意常数.振动方程通振动方程通解解第41页第41页达朗贝尔公式达朗贝尔公式这个偏微分方程描写以速度这个偏微分方程描写以速度 a 向两方传播行向两方传播行波。波。板书解释板书解释 笔记笔记P4 页页第42页第42页由初始条件拟定待定函数由初始条件拟定待定函数我们假定所研究弦、杆、传播线是我们假定所研究弦、杆、传播线是“无限长无限长”，这就不存在边界条件。设初始条件是，这就不存在边界条件。设初始条件是该定解问题解为该定解问题解为达朗贝达朗贝尔公式尔公式板书推导板书推导 笔记笔记 P5 页页第43页第43页没有边界条件问题没有边界条件问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例,假如弦很长假如弦很长,着重研究着重研究靠近一端那段弦。在不太长时间里靠近一端那段弦。在不太长时间里,另一端影另一端影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端边界条件。这样，有限长真实弦抽象成端边界条件。这样，有限长真实弦抽象成半无半无界界弦。弦。假如着重研究不靠近两端那段弦，不妨认为假如着重研究不靠近两端那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长真实弦就无需提出边界条件了。这样，有限长真实弦抽象成抽象成无界无界弦。弦。看书看书第44页第44页（P172）例一：定解问题为）例一：定解问题为初始速度为零初始速度为零初始初始位移位移第45页第45页（P172）例一：波已）例一：波已“通过通过”地域，振动消失地域，振动消失而弦静止在原平衡位置。而弦静止在原平衡位置。观看动画观看动画第46页第46页（P173）例二：定解问题为）例二：定解问题为初始位移为零初始位移为零初始初始速度速度更正书上错误并推导更正书上错误并推导 笔记笔记 P5 页页第47页第47页第48页第48页（P173）例二：波已）例二：波已“通过通过”地域，即使振动地域，即使振动也消失，但偏离了原平衡位置。也消失，但偏离了原平衡位置。观看动画观看动画第49页第49页端点反射端点反射定解问题：定解问题：第50页第50页端点反射端点反射奇延拓：奇延拓：板书解释偶延拓和奇延拓物理意义板书解释偶延拓和奇延拓物理意义 笔记笔记 P5第51页第51页端点反射端点反射利用达朗贝尔公式：利用达朗贝尔公式：第52页第52页板书推导板书推导 笔记笔记 P6页页第53页第53页端点反射端点反射利用达朗贝尔公式：利用达朗贝尔公式：第54页第54页端点反射端点反射观看动画观看动画第55页第55页端点反射端点反射第56页第56页 板书推导半无限长杆自由振动，杆端点自板书推导半无限长杆自由振动，杆端点自由。笔记由。笔记 P6页页第57页第57页定解问题是一个整体定解问题是一个整体从偏微分方程解出达朗贝尔公式过程，与大从偏微分方程解出达朗贝尔公式过程，与大家所熟悉常微分方程求解过程是完全类似。家所熟悉常微分方程求解过程是完全类似。但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定解条件拟定其中通解；即使已求得通解，用定解条件拟定其中待定函数往往愈加困难。待定函数往往愈加困难。除了达朗贝尔公式一类很少例外，不也许先除了达朗贝尔公式一类很少例外，不也许先求偏微分方程通解然后再考虑定解条件，必须求偏微分方程通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解第58页第58页达朗贝尔方程是对方程解理解，但对达朗贝尔方程是对方程解理解，但对于普通复杂问题情形，简朴行波解形于普通复杂问题情形，简朴行波解形式是求不出来。式是求不出来。第59页第59页定解问题适定性定解问题适定性有解有解解是唯一解是唯一解是稳定解是稳定稳定性：假如定解条件数值有细微改变，稳定性：假如定解条件数值有细微改变，解数值也只作细微改变解数值也只作细微改变非线性偏微分方程解就有也许是不稳定，非线性偏微分方程解就有也许是不稳定，出现出现混沌混沌。第60页第60页很长时间以后，位移自然出现比较大偏差很长时间以后，位移自然出现比较大偏差板书证实达朗贝尔解稳定性。板书证实达朗贝尔解稳定性。笔记笔记 P7页页第61页第61页第62页第62页分离变数法（傅里叶级数法）分离变数法（傅里叶级数法）先求泛定方程通解办法只适合用于很少数先求泛定方程通解办法只适合用于很少数一些定解问题。一些定解问题。分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题一个基本解法，适合用于大量各种各样定一个基本解法，适合用于大量各种各样定解问题。解问题。分离变数法基本思想是把偏微分方程分解分离变数法基本思想是把偏微分方程分解为几种常微分方程，其中有常微分方程带为几种常微分方程，其中有常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。有附加条件而构成本征值问题。第63页第63页课堂作业（5 分钟）笔记P69页求解下列定解问题：第64页第64页两端固定均匀弦自由振动两端固定均匀弦自由振动波在两端点之间反波在两端点之间反射，两列反向行进射，两列反向行进同频率波形成同频率波形成驻波驻波，尝试驻波解尝试驻波解第65页第65页驻波驻波观看动画观看动画第66页第66页 驻波驻波在驻波中，有些点振幅最大，叫作在驻波中，有些点振幅最大，叫作波腹波腹；有；有些点振幅最小，叫作些点振幅最小，叫作波节波节。驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不依次滞后。依次滞后。各点按同一方式随时间各点按同一方式随时间 t 振动，能够统一表振动，能够统一表示为示为 T(t)各点振幅各点振幅 X 随地点随地点 x 改变，振幅改变，振幅 X 是是 x 函函数数 X(x)第67页第67页 驻波驻波自变数自变数 x 只出现于只出现于 X(x)之中，自变数之中，自变数 t 只出只出现于现于 T(t)之中，驻波普通表示式含有之中，驻波普通表示式含有分离变分离变数数形式。形式。尝试驻波解尝试驻波解第68页第68页板书解说分离变量法板书解说分离变量法 笔记笔记 P7 页页第69页第69页