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二面角的平面角求法综合.pptx
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1、二面角的求法二面角的求法(总结总结)二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习:复习:(1)(1)定义法定义法直接在二面角的棱上取一直接在二面角的棱上取一点(特殊点)分别在两个半平面内作棱的点(特殊点)分别在两个半平面内作棱的垂线,得到平面角垂线,得到平面角.二面角的求法二面角的求法(2)(2)三垂线法三垂线法利用三垂线定理或利用三垂线定理或逆定理作出平面角,通过解直角三
2、角逆定理作出平面角,通过解直角三角形求角的大小形求角的大小.(3)(3)垂面法垂面法通过做二面角的棱的垂通过做二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角面,两条交线所成的角即为平面角.ABDO(4)4)射影面积法射影面积法若多边形的面积是若多边形的面积是S,它在,它在一个平面上的射影图形面积是一个平面上的射影图形面积是S,则二面角,则二面角 的的大小为大小为COS S SCE2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系?探究准备:探究准备:答:相等或互补m互补互补相等相等m1、如如图图,AB是是圆圆的的直直径径,PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面,C是是圆圆上上任
3、任一一点点,则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练 习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点,且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半,则则这这个个二二面角的度数是多少?面角的度数是多少?pABOABCP60二面角例例1.1.如如图图,已已知知P P是是二二面面角角-ABAB-棱棱上上一一点点,过过P P分分别别 在在 、内内 引引 射射 线线PMPM、PNPN,且且 MPN=60MPN=60 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ,求此二面角的度数。,求此二面角的度数。ABPMN
4、CDO解解:在PB上取不同于P 的一点O,在内过O作OCAB交PM于C,在内作ODAB交PN于D,连CD,可得COD是二面角-AB-的平面角设PO=a,BPM=BPN=45CO=a,DO=a,PC a,PD a又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此,二面角的度数为因此,二面角的度数为90aOPC二面角例例2 2如如图图P P为为二二面面角角 内内一一点点,PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5,PB=8PB=8,AB=7AB=7,求这二面角的度数。,求这二面角的度数。过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又
5、PA=5,PB=8,AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解:解:ABPO二面角OABPC取取AB 的中点为的中点为E,连连PE,OEO为为 AC 中点中点,ABC=90OEBC且且 OE BC在RtPOE中,OE ,PO 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3如如图图,三三棱棱锥锥P-ABCP-ABC的的顶顶点点P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRtABCABC斜斜边边ACAC的的中中点点O O,若若PB=AB=1PB=AB=1,BC=BC=,求二面角,求二面角P-AB-CP-
6、AB-C的正切值的正切值。PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角在在RtPBE中中,BE ,PB=1,PEOEAB,因此因此 PEABE解:解:EOP二面角练练习习1 1:已已知知RtRtABCABC在在平平面面 内内,斜斜边边ABAB在在3030的的二二面面角角-AB-AB-的的棱棱上上,若若AC=5AC=5,BC=12BC=12,求求点点C C到到平平面面的距离的距离CO。ACBOD练练 习习 2 2:在在 平平 面面 四四 边边 形形 ABCDABCD中中,AB=BC=2AB=BC=2,AD=CD=AD=CD=,B=120B=120;将将三三角角形形ABCABC沿沿四四边边
7、形形ABCDABCD的的对对角角线线ACAC折折起起来来,使使DB=DB=,求求AB AB CC所所在平面与在平面与ADCADC所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。ABCBDO二面角探究一:试一试:例1、如图:在三棱锥S-ABC中,SA平面ABC,ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E,且SA=AB=a,BC=a.求:平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析分析:1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直;2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解:如图:SA 平面ABC,SAAB,SAAC,SA BD;于是SB=a
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