二项式定理完美版.pptx
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1、这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中 叫做二项式系数一般地,对于任意正整数n一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理特点:(1)共n+1有项;(2)二项式系数是从n个不同元素中取出0,1,2,3,n个元素的组合数,即 (3)a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a与b的指数和为n。2.通项公式 式中的 叫做二项展开式的通项,用 表示。即 注意:(1)表示第r+1项;(2)通项公式中的a与b的位置不能换.(3)要得到 即在(a+b)n中,有r个因式取b,余下n-r个因式取a。3.二项式系数与某项系数的区别:二项式系数是 ,某项的系数包括二项式系数和二项式
2、中a,b系数及常数展出部分。第第 项项 4.二项式系数的性质 (1)对称性:到首末距离相等的两项的二项式系数相等,即 (2)增减性即最大值 (3)二项式系数和为 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1,即 1若若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则则a0a2a4的值为的值为()A9 B8 C7 D6 B2.2.计算并求值计算并求值(1)(2)(2)原式原式3若若()n的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为64,则则 展开式的常数项为展开式的常数项为()A540 B162 C162 D540 A4(2010上上海海春春)在在 的的二二项项展展开开式式中中,常常
3、数数项是项是_答案:答案:60二、题型与方法通项公式中含有通项公式中含有a,b,n,r,Tr15个元素,只要知个元素,只要知道了其中的道了其中的4个元素,就可以求出第个元素,就可以求出第5个元素,在求展开式个元素,在求展开式中的指定项问题时,一般是利用通项公式,把问题转化为中的指定项问题时,一般是利用通项公式,把问题转化为解方程解方程(或方程组或方程组)这里必须注意隐含条件这里必须注意隐含条件n,r均为非负均为非负整数且整数且rn.考点一考点一通项公式的应用通项公式的应用 已知在已知在 的展开式中,第的展开式中,第6项为常数项为常数项。项。例例例例1 1(1)求求n;(2)求含求含x2的项的系
4、数;的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项变式变式 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项【规律小结规律小结】(1)对求指定项、常数项问题,常用待对求指定项、常数项问题,常用待定系数法,即设第定系数法,即设第r+1项是指定项(常数项),利用通项项是指定项(常数项),利用通项公式写出该项,对同一字母的指数进行合并,根据所给出公式写出该项,对同一字母的指数进行合并,根据所给出的条件的条件(特定项特定项),列出关于,列出关于r的方程的方程(求解时要注意二项式求解时要注意二项式系数中系数中n和和r的隐含条件,即的隐含条件,即n,r均为非负整数,且均为非负整数,且nr);第二步是
5、根据所求的指数,再求所求解的项;第二步是根据所求的指数,再求所求解的项;(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式
6、一致指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致例例例例2 2(1)二项式系数最大的项;二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项已知已知 的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比 的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992,求,求 的展开的展开式中:式中:变式变式:已已知知()n(n N*)的展开式中第五项的系数与第的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是三项的系数的比是10 1,(1)证明:展开式中没有常数项;证明:展开式中没有常数项;(2)求展开式中含求展开式中含 的项;的项;(3)求展开式中所有的有理项;求展开式中所有的有理项;(4)求展
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