假设检验和方差分析一.pptx

第六章第六章 假假设检验和方差分析（一）和方差分析（一）假假设检验n第一节第一节 假设检验的一般问题假设检验的一般问题n第二节第二节 一个正态总体的参数检验一个正态总体的参数检验n第三节第三节 两个正态总体的参数检验两个正态总体的参数检验n第四节第四节 非参数检验非参数检验假假设检验在在统计方法中的地位方法中的地位n统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验第一第一节 假假设检验的一般的一般问题一、假设检验和抽样估计的不同点一、假设检验和抽样估计的不同点二、假设检验的概念与思想二、假设检验的概念与思想三、假设检验（一个实例）三、假设检验（一个实例）四、假设检验的步骤四、假设检验的步骤五、假设检验中的两类错误五、假设检验中的两类错误一、假一、假设检验和抽和抽样估估计的不的不同点同点n抽样估计：抽样估计：通过样本的观察结果来推断通过样本的观察结果来推断总体参数的取值范围以及得到此结论的总体参数的取值范围以及得到此结论的可靠程度。可靠程度。n假设检验：假设检验：预先对总体参数的取值作出预先对总体参数的取值作出假定，然后用样本数据来验证，从而作假定，然后用样本数据来验证，从而作出是接受还是拒绝该假设的结论。出是接受还是拒绝该假设的结论。二、假二、假设检验的概念与思想的概念与思想对总体参数的一种看法对总体参数的一种看法总总体体参参数数包包括括总总体体均均值值、比比例例、方差等，分析之前必需陈述方差等，分析之前必需陈述我认为该企业生产的零我认为该企业生产的零我认为该企业生产的零我认为该企业生产的零件的平均长度为件的平均长度为件的平均长度为件的平均长度为4 4 4 4厘米厘米厘米厘米!什么是假设？什么是假设？什么是假设检验？什么是假设检验？事事先先对对总总体体参参数数或或分分布布形形式式作作出出某某种种假假设设，然然后后利利用用样样本本信信息息来来判判断断原原假假设设是是否否成成立立。包包括括参参数假设检验和数假设检验和非非参数假设检验参数假设检验假假设检验的基本思想的基本思想.因此我们拒因此我们拒因此我们拒因此我们拒绝假设绝假设绝假设绝假设 =50=50.如果这是如果这是如果这是如果这是如果这是如果这是总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均总体的真实均值值值值值值样本均值样本均值样本均值 =50=50抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布H H H0 00这个值不像我这个值不像我这个值不像我这个值不像我们应该得到的们应该得到的们应该得到的们应该得到的样本均值样本均值样本均值样本均值.2020在在一一次次试试验验中中，一一个个几几乎乎不不可可能能发发生生的的事事件件发发生生的的概概率率称称为为小小概概率率。在在一一次次试试验验中中小小概概率率事事件件一一旦发生，我们就有理由拒绝原假设。旦发生，我们就有理由拒绝原假设。小概率原理小概率原理总体总体总体总体假假设检验的的过程程（提出假（提出假设抽取抽取样本本作出决策）作出决策）抽取随机样本抽取随机样本抽取随机样本抽取随机样本均值均值均值均值 X X=20=20我认为人口的平我认为人口的平均年龄是均年龄是5050岁岁 提出假设提出假设提出假设提出假设 拒绝假设拒绝假设!别无选择别无选择.作出决策作出决策作出决策作出决策三、假三、假设检验（实例）例）n某地区水土中缺乏一种微量元素，根据医学研某地区水土中缺乏一种微量元素，根据医学研究结果可知，人们如果摄取这种元素过少，脑究结果可知，人们如果摄取这种元素过少，脑功能可能受影响，因此可推测该地区儿童的智功能可能受影响，因此可推测该地区儿童的智力水平可能低于一般水平。心理学家使用某一力水平可能低于一般水平。心理学家使用某一标准化智力检验方法，对该地区随机选取标准化智力检验方法，对该地区随机选取36名名儿童进行智力测验，得到智力分数的平均值是儿童进行智力测验，得到智力分数的平均值是94分，已知总体标准差为分，已知总体标准差为15分，问该地区儿分，问该地区儿童的智力水平是否和一般水平（童的智力水平是否和一般水平（100分）有明分）有明显差异？显差异？拒绝假设拒绝假设接受假设接受假设原假设原假设备择假设备择假设四、假四、假设检验的步的步骤 1、提出原假设和备择假设、提出原假设和备择假设2、确定适当的检验统计量、确定适当的检验统计量3、规定显著性水平、规定显著性水平，查出临界值，确，查出临界值，确定拒绝域和接受域定拒绝域和接受域4、计算检验统计量的值、计算检验统计量的值5、作出统计决策、作出统计决策提出原假提出原假设和和备择假假设 什么是原假设？什么是原假设？(Null Hypothesis)1、陈述待检验的假设，又称、陈述待检验的假设，又称“0假设假设”2、开始时总假设原假设是正确的、开始时总假设原假设是正确的3、总是有等号、总是有等号，或或4、表示为、表示为 H0nH0：某一数值某一数值 n例如例如,H0：3190（克）克）5、原假设可能会被否决、原假设可能会被否决 什么是备择假设？什么是备择假设？(Alternative Hypothesis)1、与原假设相反的假设、与原假设相反的假设2、总是有不等号、总是有不等号 ，或或 3、表示为、表示为 H1nH1：某一数值，或某一数值，或 某一数值某一数值n例如例如,H1：0n=0.05nn1=10，n2=8n临界值(s):检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量:决策决策决策决策:结论结论结论结论:接受接受H H0 0没有证据表明用第二种方法组没有证据表明用第二种方法组装更好装更好t t0 0拒绝域拒绝域0.050.051.74591.7459二、二个相关（配二、二个相关（配对或匹配）或匹配）样本的均本的均值检验（配（配对样本的本的 t 检验）n1、检验两个相关总体的均值、检验两个相关总体的均值n配对或匹配配对或匹配n重复测量重复测量(前前/后后)n2、假定条件、假定条件n两个总体都服从正态分布两个总体都服从正态分布n如果不服从正态分布，可用正态分布来近似如果不服从正态分布，可用正态分布来近似(n1 30,n2 30)有时为了比较两种产品，或两种仪器、两种方法等的差异，有时为了比较两种产品，或两种仪器、两种方法等的差异，我们常在相同的条件下作对比实验，得到一批成对的观察值，我们常在相同的条件下作对比实验，得到一批成对的观察值，然后分析观察数据作出判断然后分析观察数据作出判断配对比较法。配对比较法。配配对样本的本的 t 检验（数据形式）（数据形式）观察序号样本1样本2差值1x 11x 21D1=x 11-x 212x 12x 22D1=x 12-x 22MMMMix 1ix 2iD1=x 1i-x 2iMMMMnx 1nx 2nD1=x 1n-x 2n假设差值Di来自正态总体，若两样本无差异，则差值应属于随机误差，而随机误差可以认为服从正态分布，均值为0。配配对样本的本的 t 检验（检验统计量）量）样本均值样本均值样本均值样本均值样本标准差样本标准差样本标准差样本标准差自由度自由度df df n nD D-1-1统计量统计量统计量统计量n例例：一一个个以以减减肥肥为为主主要要目目标标的的健健美美俱俱乐乐部部声声称称，参参加加其其训训练练班班至至少少可可以以使使减减肥肥者者平平均均体体重重减减重重8.5公公斤斤以以上上。为为了了验验证证该该宣宣称称是是否否可可信信，调调查查人人员员随随机机抽取了抽取了10名参加者，得到他们的体重记录如下表：名参加者，得到他们的体重记录如下表：配配对样本的本的 t 检验（例子）（例子）在在 =0.05=0.05的显著性水平下，调查结果是否支持该的显著性水平下，调查结果是否支持该俱乐部的声称？俱乐部的声称？训练前94.5101110103.59788.596.5101104116.5训练后8589.5101.5968680.58793.593102样本差值计算表训练前训练后差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合计98.5配配对样本的本的 t 检验（计算表）算表）配配对样本的本的 t 检验（计算算结果）果）样本均值样本均值样本均值样本均值样本标准差样本标准差样本标准差样本标准差nH0:1 2 8.5nH1:1 2 8.5n=0.05ndf=10-1=9n临界值(s):检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量:决策决策决策决策:结论结论结论结论:接受接受H H0 0有证据表明该俱乐部的宣称是有证据表明该俱乐部的宣称是可信的可信的配配对样本的本的 t 检验（计算算结果）果）-1.833-1.833t t0 0拒绝域拒绝域.05.05例：消费者先对公司打分，再让他们一天两次观看公司录像，一周后再对公司打分。数据如下表所示，令=0.05，检验看过一周录像后对公司的打分和之前相比是否有显著差异？个人个人1 2 3 4 5 6 7事前事前32 11 21 17 30 38 14事后事后39 15 35 13 41 39 22d-7 -4 -14 4 -11 -1 -8第四第四节 非参数非参数检验总体分布情况不明时，用来检验数据资料是否来自同一个总体分布情况不明时，用来检验数据资料是否来自同一个总体假设的一类检验。由于这些方法一般不涉及总体参数总体假设的一类检验。由于这些方法一般不涉及总体参数故得名。故得名。特点：假定前提比参数性假设检验方法少的多，也容易满特点：假定前提比参数性假设检验方法少的多，也容易满足，适用于计量信息较弱的资料且计算方法也简便易行，足，适用于计量信息较弱的资料且计算方法也简便易行，所以在实际中有广泛的应用。所以在实际中有广泛的应用。主要内容：主要内容：X2检验:(1)分类数据的拟合优度检验；（分类数据的拟合优度检验；（2）随机变量的独随机变量的独立性进行的检验。立性进行的检验。曼-惠特尼U检验（Mann-Whitney）：独立样本的检验独立样本的检验威尔科克森带符号的秩检验（Wilcoxon Signed Ranks):配对配对样本的检验样本的检验一、一、X2检验1、定义：、定义：2检验是运用检验是运用2分布作为理论工具，在非参数统计中可分布作为理论工具，在非参数统计中可用于对总体的分布或随机变量的独立性进行的检验。用于对总体的分布或随机变量的独立性进行的检验。2、X2分布的数学形式分布的数学形式设随机变量设随机变量x1，x2，xk相互独立且都服从正态分布相互独立且都服从正态分布N（，2）。将它们标准化转变为标准正态变量）。将它们标准化转变为标准正态变量Z1，Z2，Zk，k个独个独立标准正态变量的平方和被定义为立标准正态变量的平方和被定义为2分布的随机变量分布的随机变量2。3、2分布的性质分布的性质（1）2分布的值恒为正值分布的值恒为正值（2）2分布的数学期望是自由度分布的数学期望是自由度k，方差为，方差为2k；（3）2分布取决于自由度分布取决于自由度k，随着自由度增大而趋于对称。，随着自由度增大而趋于对称。一般当一般当k30时，时，2分布可用正态分布近似计算。分布可用正态分布近似计算。k=1 (2)k=5k=15k=32(k)4、2检验的原理检验的原理在实践中，经常要对一些观察值的实际频数与某种理论频数进在实践中，经常要对一些观察值的实际频数与某种理论频数进行比较，以判断实际结果与理论是否一致。行比较，以判断实际结果与理论是否一致。设有设有k个观察值，个观察值，f0为它们的实际频数，为它们的实际频数，fe为理论频数。构造为理论频数。构造一个统计量一个统计量数理统计证明，在大量试验中，若数理统计证明，在大量试验中，若f0与与fe相一致时，相一致时，2服从服从2分分布。布。（f0-fe）比较小时，）比较小时，2值也较小；（值也较小；（f0-fe）比较大时，）比较大时，2也较大。也较大。当当2值大到按值大到按2分布超过设定的临界值时，即为小概率事件，分布超过设定的临界值时，即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设不一致。就可以认为实际结果与理论假设不一致。在实际应用统计方法时，常常先将收集到在实际应用统计方法时，常常先将收集到的数据进行分组，形成频数分布表，这的数据进行分组，形成频数分布表，这是显示数据规律性的一种方法。人们为是显示数据规律性的一种方法。人们为了掌握其规律性，往往还想进一步了解了掌握其规律性，往往还想进一步了解这一数据是否来自某一分布或与某一理这一数据是否来自某一分布或与某一理论分布相一致的程度如何论分布相一致的程度如何拟合优度拟合优度检验。检验。2检验的的应用用1拟合合优度度检验拟合优度检验的基本步骤拟合优度检验的基本步骤这是利用随机样本资料对总体是否服从某种理论分布的检验这是利用随机样本资料对总体是否服从某种理论分布的检验检验步骤检验步骤（1）对总体分布建立假设）对总体分布建立假设H0：总体服从某种理论分布：总体服从某种理论分布H1：总体不服从该理论分布：总体不服从该理论分布（2）抽样并对样）抽样并对样本资料编成频数本资料编成频数分布（分布（f0）（3）以）以“原假设原假设H0为真为真”导出一组导出一组期望频数（期望频数（fe）（4）计算检验统计量）计算检验统计量2=(f0-fe)2/fe（5）2=(f0-fe)2/fe 给给定的定的查查2表，得到临表，得到临界值界值（6）比较）比较2值与临界值值与临界值作出检验判断作出检验判断注意事项注意事项（1）各组理论频）各组理论频数数fe不得小于不得小于5，如，如不足不足5，可合并组，可合并组（2）为使组数不）为使组数不致太少，总频数致太少，总频数n50；（3）根据具体情况）根据具体情况确定自由度。如果确定自由度。如果理论分布的参数是理论分布的参数是已知的，则自由度已知的，则自由度为为m-1；若理论分布；若理论分布的参数未知，则自的参数未知，则自由度为由度为m-r-1，r为为需要估计的参数的需要估计的参数的个数。个数。2拟合合优度度检验（举例）例）某百货公司的电器部下半年各月洗衣机的销售量如下。该某百货公司的电器部下半年各月洗衣机的销售量如下。该电器部经理想了解洗衣机的销售数量是否在各月是均匀电器部经理想了解洗衣机的销售数量是否在各月是均匀分布的，也就是说各月中销售数量的差别可以归结为随分布的，也就是说各月中销售数量的差别可以归结为随机原因，这样可以为以后的进货提供依据。要求以机原因，这样可以为以后的进货提供依据。要求以=0.05的显著性水平进行检验。的显著性水平进行检验。月份月份七七八八九九十十十一十一十二十二合计合计销售量销售量271815243630150是利用样本资料对总体的两个变量的数据是否彼此关联的检验，是利用样本资料对总体的两个变量的数据是否彼此关联的检验，如果不关联，即为独立。如果不关联，即为独立。建立在建立在列联表列联表基础上基础上检验步骤检验步骤（1）对总体的两个变量建立假设）对总体的两个变量建立假设H0：两变量独立：两变量独立H1：两变量关联：两变量关联（2）将样本资料编）将样本资料编成成rc列联表，并列出列联表，并列出实际频数实际频数Oij（3）计算理论频数）计算理论频数（4）计算检验统计量）计算检验统计量（5）给定的给定的查查2表，表，得到临界值得到临界值（6）比较）比较2值与临界值值与临界值作出检验判断作出检验判断2检验的的应用用2独立性独立性检验要点说明要点说明列联表形式（列联表形式（rc）O11O21O31.Or1O12O22O32.Or2O13O23O33.Or3.O1cO2cO3c.OrcO1O2O3.Or123.r行行（r）列（列（c）123cxy合计合计 n.1 合计合计X的边缘频数的边缘频数y的边缘频数的边缘频数先求理论频率（作为概率的近似）。概率论中关于概率独立的先求理论频率（作为概率的近似）。概率论中关于概率独立的基本规则：如果两事件独立，则它们的联合概率等于它们各自基本规则：如果两事件独立，则它们的联合概率等于它们各自概率的乘积，概率的乘积，P（AB）=P（A）P（B）。因此，某一行某一列）。因此，某一行某一列的联合概率：的联合概率：自由度（自由度（df）的确定）的确定df=(r-1)(c-1)c1 c2 c3 c4r1r2r3n总总行行数数总列数总列数r1r2r3Df=(3-1)(4-1)=6理理论频数数Eij的的计算算rc=22的列联表资料，的列联表资料，2值简算公式值简算公式xy1212abcda+cb+da+bc+d合计合计合计合计n2独立性独立性检验（举例）例）n某市场调研机构，调查某种光盘的购买者和某市场调研机构，调查某种光盘的购买者和性别之间是否有关系，取得如下数据：性别之间是否有关系，取得如下数据：想买想买不想买不想买合计合计男男32118150女女20130150合计合计52248300令=0.05，用2独立性检验推断购买某种光盘独立性检验推断购买某种光盘与性别是否有关？与性别是否有关？想买想买不想买不想买合计合计男男32（26）118（124）150女女20（26）130（124）150合计合计52248300二、威尔科克森带符号的秩检验（Wilcoxon Signed Ranks):n 适用于配对样本的均值比较。适用于配对样本的均值比较。目的是检验成目的是检验成对观测的数据之差是否来自均值为对观测的数据之差是否来自均值为0 的总体的总体（或产生数据的两个总体是否具有相同的均值）（或产生数据的两个总体是否具有相同的均值）n和前面参数检验中的配对数据的和前面参数检验中的配对数据的t检验不同。检验不同。T检验要求比较的两个总体必须是正态分布，从检验要求比较的两个总体必须是正态分布，从而成对数据之差也服从正态分布，而成对数据之差也服从正态分布，而Wilcoxon检验没有对总体的正态分布要求。检验没有对总体的正态分布要求。具体步具体步骤n第一步：求出成对观测数据的差第一步：求出成对观测数据的差di，并将，并将di的绝对值按的绝对值按大小顺序编上等级，最小的为大小顺序编上等级，最小的为1，其次为，其次为2，等等。当，等等。当两个绝对值相等时就用相应等级的平均数代替。两个绝对值相等时就用相应等级的平均数代替。n第二步：编码等级后再恢复其正负号，并将正号的等级第二步：编码等级后再恢复其正负号，并将正号的等级与负号的等级分别相加，用与负号的等级分别相加，用T+代表正号等级之和，代表正号等级之和，T-代表负号等级之和。代表负号等级之和。Wilcoxon统计量统计量T为为T+和和T-之中之中较小的一个。较小的一个。n第三步：作出判断。根据显著性水平，查表得临界值第三步：作出判断。根据显著性水平，查表得临界值T，若若T T，则拒绝，则拒绝H0。检验统计量检验统计量n例：例：某饮料商用两种不同的配方推出了两种新的饮料，某饮料商用两种不同的配方推出了两种新的饮料，现抽取现抽取20个消费者，让其分别品尝两种饮料并加以评分，个消费者，让其分别品尝两种饮料并加以评分，从不喜欢到喜欢，评分由从不喜欢到喜欢，评分由1到到10。其评分结果如下。要。其评分结果如下。要求以求以=0.05的显著性水平检验对两种饮料的评分是否有的显著性水平检验对两种饮料的评分是否有显著差别。显著差别。品者品者12345678910评分评分A10868751397评分评分B6522464598品者品者11121314151617181920评分评分A4586874893评分评分B2213261253