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带有三个转移条件的Sturm-Liouville有限谱问题及其矩阵表示.pdf
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1、2023 年 6 月第 39 卷 第 2 期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsJun.2023Vol.39 No.2带有三个转移条件的Sturm-Liouville有有有限限限谱谱谱问问问题题题及及及其其其矩矩矩阵阵阵表表表示示示朱军伟1,李蕊1,杨海霞2(1.杨凌职业技术学院文理学院,陕西 杨凌712100;2.兰州文理学院教育学院,甘肃 兰州730010)摘要:主要研究带有三个转移条件的Sturm-Liouville有限谱问题.首先通过构造一类正则的带有三个转移条件的Sturm-Liouville问题,验证其恰有nl个特征值,进而表明带有三个转移条件
2、的Sturm-Liouville问题等价于一类矩阵特征值问题,且其具有相同的特征值.此外,证明了这nl个特征值在非自共轭边界条件下可位于复平面内任何位置,在自共轭边界条件下可位于实轴上任何位置的结论.分析的关键是判断函数的迭代,运用的主要工具是Rouche定理.关键词:Sturm-Liouville问题;判断函数;Rouche定理中图分类号:O175.8文献标识码:A文章编号:1008-5513(2023)02-233-17DOI:10.3969/j.issn.1008-5513.2023.02.0051 引引引言言言Sturm-Liouville 问题1-3起源于描述固体热传导的数学模型.在
3、经典 Sturm-Liouville 理论中,Sturm-Liouville 问题的谱趋于无穷大的结果是建立在首项系数 p 和权函数 w 都是正的假设之下.Atkinson4于 1964 年在他的书中提出了二阶的 Sturm-Liouville 问题(py)+qy=wy 在某些条件下可能存在有限谱,即系数满足 r=1p,收稿日期:2021-10-16.接收日期:2022-03-16.基金项目:国家自然科学基金(41772147);甘肃省教育科技创新项目(2022A-174);杨凌职业技术学院 2022 年院内基金项目(ZK22-78);杨凌职业技术学院 2022 年校内教育教学改革研究项目(J
4、G22100).作者简介:朱军伟(1994-),助教,研究方向:微分方程与谱理论,数学模型.234纯粹数学与应用数学第 39 卷q,w (L,C),Sturm-Liouville 问题的特征值可能有有限个,但并没有给出具体实例.在 2001 年,Kong,Wu 和 Zettl1构造了一系列对于任意正整数 n 都恰有 n 个特征值的 Sturm-Liouville 问题,并且他们也将带有自伴边界的有限谱问题用矩阵表示了出来,这些结果表明了 Sturm-Liouville 问题有限谱存在的事实.最近,Ao5对于两类三阶边值有限谱问题进行了实例证明.近年来,带有转移条件的 Sturm-Liouvil
5、le 问题在数学物理领域6-7已成为重要的研究对象.实际应用中经常出现的是区间内带有不连续条件的边值问题8-9,这类问题与不连续物质的性能有关系.例如,热量,质量的转移,变化的物理转移问题等10-14,21.因此,对于带有转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题的研究具有现实意义.其它相关文章可参见文献 15-18.受以上杰出工作的启发,本文研究如下带有三个转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题及其矩阵表示(py)+qy=wy,(1)AY(a)+BY(b)=0,(2)CiY(ci)+DiY(ci+)=0,i=1,2,3.(3)其中Y=ypy,y=y(t),t J=
6、(a,c1)(c1,c2)(c2,c3)(c3,b),a b 0,det(Di)=i 0,系数满足基本条件r=1p,q,w L(J,C),(4)L(J,C)表示在 J 上 Lebesgue 可积的复值函数构成的集合.本文运用的主要工具是判断函数的迭代及 Rouche 定理.2 预预预备备备知知知识识识及及及说说说明明明令 u1=y,u2=py,则与方程(py)+qy=wy 等价的系统表示为u1=ru2,u2=(q w)u1.(5)第 2 期朱军伟 等:带有三个转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题及其矩阵表示235矩阵表示为u1u2=01pq w0u1u2.(6)同时有ypy=
7、01pq w0ypy.(7)记 A(t)=01pq w0,容易得出 A(t)在 J 上是可积的.定定定义义义2.1设 y=y(t)为问题的解.若 y 0,u2=py 0,则称 y 为问题的平凡解,反之称为非平凡解.若对于某个 值,问题存在非平凡解,则 就为该问题的特征值,对应的非平凡解称为对应于特征值 的特征函数.定定定理理理2.1假设(4)式成立,(t,)=ij(t,)为满足(a,)=I 的(3)式和(5)式的基解矩阵,则 C 是 Sturm-Liouvill 问题(1)-(3)的特征值当且仅当()=detA+B(b,)=0.(8)特别地,()=detA+detB+h1111(b,)+h12
8、12(b,)+h2121(b,)+h2222(b,),(9)其中 H=:h11h12h21h22=a22b11 a12b21a11b21 a21b11a22b12 a12b22a11b22 a21b12.证证证明明明定理的充要条件显然成立.下证(9)式成立.()=detA+B(b,)=deta11+b1111(b,)+b1221(b,)a12+b1112(b,)+b1222(b,)a21+b2111(b,)+b2221(b,)a22+b2112(b,)+b2222(b,)=detA+h1111(b,)+h1212(b,)+h2121(b,)+h2222(b,)+(b11b22 b12b21)(
9、11(b,)22(b,)12(b,)21(b,).(10)236纯粹数学与应用数学第 39 卷对于(10)式,根据矩阵形式的 Liouville 公式,则有W(t,)=W(a,)ett0trA(s)ds=W(a,)=1,即W(t,)=det11(b,)12(b,)21(b,)22(b,)=det11(a,)12(a,)21(a,)22(a,)ett0trA(s)ds=1,(11)综合(10)式-(11)式,可知(9)式明显成立.定定定义义义2.2若对所有的 C,0,或对任意的 C,()=0,则称其带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3)或等价问题(5),(2),(3)
10、为退化的.3 带带带三三三个个个转转转移移移条条条件件件的的的 Sturm-Liouville 问问问题题题谱谱谱的的的有有有限限限性性性在这一部分中,设 r=1p,q,w (L,C)成立,并且假设存在区间 J 的如下划分a=a0 a1 a2 a2m0 a2m0+1=c1,c1+=c1,0 c1,1 c1,2 c1,2m1 c1,2m1+1=c2,c2+=c2,0 c2,1 c2,2 c2,2m2 c2,2m2+1=c3,c3+=c3,0 c3,1 c3,2 c3,2m3 c3,2m3+1=b.(12)对于某些整数 m0,m1,m2,m3有r(t)=1p(t)=0,a2k+1a2kw(t)dt
11、=0,k=0,1,m0,t (a2k,a2k+1),r(t)=1p(t)=0,c1,2i+1c1,2iw(t)dt=0,i=0,1,m1,t (c1,2i,c1,2i+1),r(t)=1p(t)=0,c2,2j+1c2,2jw(t)dt=0,j=0,1,m2,t (c2,2j,c2,2j+1),r(t)=1p(t)=0,c3,2l+1c3,2lw(t)dt=0,l=0,1,m3,t (c3,2l,c3,2l+1),(13)第 2 期朱军伟 等:带有三个转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题及其矩阵表示237而 q(t)=w(t)=0 时,则有a2k+2a2k+1r(t)dt=0
12、,k=0,1,m0 1,t (a2k+1,a2k+2),c1,2i+2c1,2i+1r(t)dt=0,i=0,1,m1 1,t (c1,2i+1,c1,2i+2),c2,2j+2c2,2j+1r(t)dt=0,j=0,1,m2 1,t (c2,2j+1,c2,2j+2),c3,2l+2c3,2l+1r(t)dt=0,l=0,1,m3,t (c3,2l+1,c3,2l+2).(14)现记qk=a2k+1a2kq(t)dt,k=0,1,m0,wk=a2k+1a2kw(t)dt,k=0,1,m0,rk=a2k+2a2k+1r(t)dt,k=0,1,m0 1,q1,i=c1,2i+1c1,2iq(t)
13、dt,i=0,1,m1,w1,i=c1,2i+1c1,2iw(t)dt,i=0,1,m1,r1,i=c1,2i+2c1,2i+1r(t)dt,i=0,1,m1 1,q2,j=c2,2j+1c2,2jq(t)dt,j=0,1,m2,w2,j=c2,2j+1c2,2jw(t)dt,j=0,1,m2,r2,j=c2,2j+2c2,2j+1r(t)dt,j=0,1,m2 1,q3,l=c3,2l+1c3,2lq(t)dt,l=0,1,m3,w3,l=c3,2l+1c3,2lw(t)dt,l=0,1,m3,r3,l=c2,2l+2c3,2l+1r(t)dt,l=0,1,m3 1.引引引理理理3.1假设(
14、4)式,(12)式-(14)式成立,对于每一个 C,(t,)=ef(t,)为(3)式和(5)式满足(a,)=I 的基解矩阵,238纯粹数学与应用数学第 39 卷1(t,)=1,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 1(c1+,)=I 的基解矩阵,2(t,)=2,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 2(c2+,)=I 的基解矩阵,3(t,)=3,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 3(c3+,)=I 的基解矩阵,故有,(i)(a1,)=10q0 w01,(15)(a3,)=1+(q0 w0)r0r021(a3,)1+(q1 w1)r0,(16)其中21(a3,)=(q0 w0)+(q1 w1
15、)+(q0 w0)(q1 w1)r0,一般地,对 1 k m0,(a2k+1,)=1rk1qk wk1+(qk wk)rk1(a2k1,).(17)(ii)1(c1,1,)=10q1,0w1,01,(18)1(c1,3,)=1+(q1,0w1,0)r1,0r1,01,21(c1,3,)1+(q1,1w1,1)r1,0,(19)其中1,21(c1,3,)=(q1,0w1,0)+(q1,1w1,1)+(q1,0w1,0)(q1,1w1,1)r1,0,一般地,对 1 i m1,1(c1,2i+1,)=1r1,i1q1,iw1,i1+(q1,iw1,i)r1,i11(c1,2i1,).(20)第 2
16、期朱军伟 等:带有三个转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题及其矩阵表示239(iii)2(c2,1,)=10q2,0w2,01,(21)2(c2,3,)=1+(q2,0w2,0)r2,0r2,02,21(c2,3,)1+(q2,1w2,1)r2,0,(22)其中2,21(c2,3,)=(q2,0w2,0)+(q2,1w2,1)+(q2,0w2,0)(q2,1w2,1)r2,0,一般地,对 1 j m2,2(c2,2j+1,)=1r2,j1q2,jw2,j1+(q2,jw2,j)r2,j12(c2,2j1,).(23)(iv)3(c3,1,)=10q3,0w3,01,(24)3
17、(c3,3,)=1+(q3,0w3,0)r3,0r3,03,21(c3,3,)1+(q3,1w3,1)r3,0,(25)其中3,21(c3,3,)=(q3,0w3,0)+(q3,1w3,1)+(q3,0w3,0)(q3,1w3,1)r3,0,一般地,对 1 l m3,3(c3,2l+1,)=1r3,l1q3,lw3,l1+(q3,lw3,l)r3,l13(c3,2l1,).(26)证证证明明明由(5)式可知,在 r 恒等于零的子区间上,u1是常数,而在 q 和 w 恒等于零的子区间上,u2是常数.反复应用(5)式即可得证.引引引理理理3.2假设(4)式,(12)式-(14)式成立,对于每一个
18、C,(t,)=ef(t,)为(3)式和(5)式满足(a,)=I 的基解矩阵,240纯粹数学与应用数学第 39 卷1(t,)=1,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 1(c1+,)=I 的基解矩阵,2(t,)=2,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 2(c2+,)=I 的基解矩阵,3(t,)=3,ef(t,)为(3)和(5)满足 3(c3+,)=I 的基解矩阵,故有(b,)=3(b,)G32(c3,)G21(c2,)G1(c1,),其中G1=g1,ef22=D11C1,G2=g2,ef22=D12C2,G3=g3,ef22=D13C3.证证证明明明反复应用转移条件及引理 3.1 的一般情况即
19、可.引引引理理理3.3假设(4)式,(12)式-(14)式成立,对于每一个 C,(t,)=ef(t,)为(3)式和(5)式满足(a,)=I 的基解矩阵,1(t,)=1,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 1(c1+,)=I 的基解矩阵,2(t,)=2,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 2(c2+,)=I 的基解矩阵,3(t,)=3,ef(t,)为(3)式和(5)式满足 3(c3+,)=I 的基解矩阵,如果 g1,12g2,12=0,g1,12g3,12=0,对于(b,)则有如下结果11(b,)=RR1R2R3GGGm01k=0(qk wk)m11i=1(q1,iw1,i)m21j=1(q
20、2,jw2,j)m31l=1(q3,lw3,l)+11(b,),12(b,)=RR1R2R3GGGm01k=0(qk wk)m11i=1(q1,iw1,i)m21j=1(q2,jw2,j)m31l=1(q3,lw3,l)+12(b,),21(b,)=RR1R2R3GGGm01k=0(qk wk)m11i=1(q1,iw1,i)m21j=1(q2,jw2,j)m3l=1(q3,lw3,l)+21(b,),第 2 期朱军伟 等:带有三个转移条件的 Sturm-Liouville 有限谱问题及其矩阵表示24122(b,)=RR1R2R3GGGm01k=0(qk wk)m11i=1(q1,iw1,i)
21、m21j=1(q2,jw2,j)m3l=1(q3,lw3,l)+22(b,),其中G=g1,12(qm0wm0)(q1,0w1,0)+g1,11(q1,0w1,0)+g1,22(qm0wm0)+g1,21,G=g2,11+g2,12(q1,m1w1,m1)(q2,0w2,0)+g2,21+g2,22(q1,m1w1,m1),G=g3,11+g3,12(q2,m2w2,m2)(q3,0w3,0)+g3,21+g3,22(q2,m2w2,m2),R=m01k=0rk,R1=m11i=0r1,i,R2=m21j=0r2,j,R3=m31l=0r3,l,ef(b,)=o(ef(b,)ef(b,).证证
22、证明明明结合引理 3.1 与引理 3.2 即可得证.定定定理理理3.1假设 m0,m1,m2,m3 N,g1,12g2,12=0 且 g1,12g3,12=0,(4)式,(12)式-(14)式成立,H=(hij)22的定义和定理 2.1 中的定义一样,则(i)若 h21=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3)恰有(m0+m1+m2+m3+5)个特征值.(ii)若 h21=0,h11w0+h22w2,m2h22w3,m3=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville问题(1)-(3)恰有(m0+m1+m2+m3+4)个特征值.(iii)若 h21=h11
23、=h22=0,h12=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3)恰有 m0+m1+m2+m3+2 个特征值.(iv)若以上三种情况条件都不成立,则带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3),要么有 k,k (1,2,m0+m1+m2+m3)个特征值,要么是退化的.证证证明明明由引理 3.3 知 g1,12g2,12=0 且 g1,12g3,12=0 时,11(b,),12(b,),21(b,),22(b,)中 的次数分别为m0+m1+m2+m3+3,m0+m1+m2+m3+2,242纯粹数学与应用数学第 39 卷m0+m1+m2+m3+5,
24、m0+m1+m2+m3+4.又结合定理 3.1 知()=detA+detB+h1111(b,)+h1212(b,)+h2121(b,)+h2222(b,),所以当 h21=0 时,()的次数为 m0+m1+m2+m3+5,由代数学基本定理可知()=0 时,恰有 m0+m1+m2+m3+5 个特征值.并且可知此时带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3)恰有 m0+m1+m2+m3+5 个特征值.用同样的方法即可证明(ii)-(iv).定定定理理理3.2假设 m0,m1,m2,m3 N,g1,12g2,12=0,且 g1,12g3,12=0,但是g1,12(g2,11w2
25、,0+g2,22w1,m1)(g3,11w3,0+g3,22w2,m2)=0,(4)式,(12)式-(14)式成立,H=(hij)22的定义和定理 3.1 中的定义一样,则(i)若 h21=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(1)-(3)恰有(m0+m1+m2+m3+3)个特征值.(ii)若 h21=0,h11w0+h22w2,m2h22w3,m3=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville问题(1)-(3)恰有(m0+m1+m2+m3+2)个特征值.(iii)若 h21=h11=h22=0,h12=0,则带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题(
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