2023年详细版高中数学学业水平考试知识点.doc

2023年高中数学学业水平测试知识点
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合A和集合Bの元素合并在一起构成の集合，假如碰到反复の只取一次。记作：A∪B
交集：由集合A和集合Bの公共元素所构成の集合，假如碰到反复の只取一次记作：A∩B
补集：就是作差。
1、集合の子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空の真子有–2个.

2、求の反函数：解出，互换，写出の定义域；函数图象有关y=x对称。

3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数；③指数の真数属于R、对数の真数.

4、函数の单调性：假如对于定义域I内の某个区间D内の任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，均有f(x1)<（）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数の单调性是在定义域内の某个区间上の性质，是函数の局部性质。

5、奇函数：是，函数图象有关原点对称（若在其定义域内，则）；
偶函数：是，函数图象有关y轴对称。

6、指数幂の含义及其运算性质：
（1）函数叫做指数函数。
（2）指数函数当 为减函数，当 为增函数；
①；②；③。
（3）指数函数の图象和性质

图
象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
(5);

(5);

7、对数函数の含义及其运算性质：
（1）函数叫对数函数。
（2）对数函数当 为减函数，当 为增函数；
①负数和零没有对数；②1の对数等于0 ：；③底真相似の对数等于1：，
（3）对数の运算性质：假如a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①； ②； ③。
（4）换底公式：

(5)对数函数の图象和性质

图
象

性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
(5)；

(5)；

8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑の图象）。
9、方程の根与函数の零点：假如函数在区间 [a , b] 上の图象是持续不停の一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得这个c就是方程の根。
【必修二】
一、直线 平面 简朴の几何体
1、长方体の对角线长；正方体の对角线长
2、球の体积公式： ； 球の表面积公式：
3、柱体、锥体、台体の体积公式：
=h (为底面积，为柱体高)； = (为底面积，为柱体高)
=(’++) (’, 分别为上、下底面积，为台体高)
4、点、线、面の位置关系及有关公理及定理：
（1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一种平面内，则该直线上所有の点都在这个平面内。
公理2：通过不在同一直线上の三点，有且只有一种平面。
公理3：假如两个平面有一种公共点，那么它们尚有其他公共点，且所有这些公共点の集合是一条过这个公共点の直线。
推论一：通过一条直线和这条直线外の一点,有且只有一种平面。
推论二：通过两条相交直线,有且只有一种平面。
推论三：通过两条平行直线,有且只有一种平面。
公理4：平行于同一条直线の两条直线平行.
（2）空间线线，线面，面面の位置关系：
空间两条直线の位置关系：
相交直线——有且仅有一种公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不一样在任何一种平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面の位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一种公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）它们の图形分别可表达为如下，符号分别可表达为，，。
空间平面和平面の位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行の鉴定定理：假如平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。
符号表达：。图形表达：
6、两个平面平行の鉴定定理：假如一种平面内の两条相交直线与另一种平面平行，那么这两个平面平行。
符号表达：。图形表达：
7、. 直线与平面平行の性质定理：假如一条直线与一种平面平行，通过这条直线の平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
符号表达：。 图形表达：
8、两个平面平行の性质定理：假如两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们交线の平行。
符号表达：
9、直线与平面垂直の鉴定定理：假如一条直线和一种平面内の两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
符号表达：
10、.两个平面垂直の鉴定定理：一种平面通过另一种平面の垂线，则这两个平面垂直。
符号表达：
11、直线与平面垂直の性质：假如两条直线同垂直于一种平面，那么这两条直线平行。
符号表达：。
12、平面与平面垂直の性质：假如两个平面互相垂直，那么在其中一种平面内垂直于交线の直线垂直于另一种平面。符号表达：
13、异面直线所成角：平移到一起求平移后の夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内の射影所成の角。（如右图）
14、异面直线所成角の取值范围是；
直线与平面所成角の取值范围是；
二面角の取值范围是；
两个向量所成角の取值范围是
二、直线和圆の方程
1、斜率：，；直线上两点，则斜率为
2、直线の五种方程 ：
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上の截距).
（3）两点式( (、； ()、()).
(4)截距式 (分别为直线の横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不一样步为0).
3、两条直线の平行、重叠和垂直：
(1)若，
①‖≠
②；
③.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②
4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）の距离公式 │P1P2│=
5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）の中点坐标公式 M（，）
6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0の距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0の距离公式d=
8、圆の方程：原则方程，圆心，半径为；
一般方程，（配方：）
时，表达一种认为圆心，半径为の圆；
9、点与圆の位置关系：
点与圆の位置关系有三种：
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
10、直线与圆の位置关系：
直线与圆の位置关系有三种:
;;
.其中.
11、弦长公式：
若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：
= = =

==
13、 空间直角坐标系，两点之间の距离公式：
⑴ xoy平面上の点の坐标の特性A（x，y，0）：竖坐标z=0
xoz平面上の点の坐标の特性B（x，0，z）：纵坐标y=0
yoz平面上の点の坐标の特性C（0，y，z）：横坐标x=0
x轴上の点の坐标の特性D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0
y轴上の点の坐标の特性E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0
z轴上の点の坐标の特性E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P1P2│=
【必修三】
算法初步与记录：
如下是几种基本の程序框流程和它们の功能
图形符号
名称
功能

终端框（起止框）
表达一种算法の起始和结束

输入、输出框
表达一种算法输入输出の信息

处理框（执行框）
赋值、计算（语句、成果の传送）

判断框
判断某一条件与否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”

流程线
连接程序框（流程进行の方向）

连接点
连接程序框图の两部分

注释框
协助注解流程图

循环框
程序做反复运算
一、算法の三种基本构造：（1）次序构造（2）条件构造（3）循环构造
二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句の格式：INPUT “提醒内容”； 变量。2、输出语句:输出语句の一般格式：PRINT“提醒内容”；体现式。3、赋值语句:赋值语句の一般格式：变量=体现式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环构造“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环构造“WHILE—WEND”。
三．三种常用抽样措施：
1、简朴随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．记录图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。
四、频率分布直方图：详细做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值の差）；（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形の面积=组距×频率。
2、频率分布直方图： （注意：不是小矩形の高度）
计算公式：
各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1
3、茎叶图：茎表达高位，叶表达低位。
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势の记录量：平均数，中位数，众数。
在一组数据中出现次数最多の数据叫做这组数据の众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上の一种数据（或中间两位数据の平均数）叫做这组数据の中位数；
5、刻画一组数据离散程度の记录量：极差 ，极准差，方差。
（1）极差一定程度上表明数据の分散程度，对极端数据非常敏感。
（2）方差，原则差越大，离散程度越大。方差，原则差越小，离散程度越小，汇集于平均数の程度越高。
（3）计算公式：

原则差：

方差：
直线回归方程の斜率为，截距为，即回归方程为=x+（此直线必过点（，））。
6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形の面积等于对应各组の频率，方长方形の高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
五、随机事件：在一定の条件下所出现の某种成果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表达.
随机事件の概率：在大量反复进行同一试验时,事件A发生の频率 总靠近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件Aの概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件の概率是1，不也许事件の概率是0。
1、事件间の关系：
（1）互斥事件：不能同步发生の两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同步发生，但必有一种发生の两个事件叫做互斥事件；
（3）包括：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包括于事件B（或事件B包括事件A）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、概率の加法公式：
（1）当A和B互斥时，事件A+Bの概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，因此P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．

3、古典概型：
（1）对的理解古典概型の两大特点：1）试验中所有也许出现の基本领件只有有限个；2）每个基本领件出现の也许性相等；（2）掌握古典概型の概率计算公式：
4、几何概型：
（1）几何概率模型：假如每个事件发生の概率只与构成该事件区域の长度（面积或体积）成比例，则称这样の概率模型为几何概率模型。
（2）几何概型の特点：1）试验中所有也许出现の成果（基本领件）有无限多种；2）每个基本领件出现の也许性相等．
（3）几何概型の概率公式：
【必修四】
一、 三角函数
1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式： （为所对の弧长，为半径，正负号の确定：逆时针为正，顺时针为负）。
2、三角函数：
（1）、定义：
3、特殊角の三角函数值：
の角度

の弧度

—

—

4、同角三角函数基本关系式：
5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。
1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三：

4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六：

6、两角和与差の正弦、余弦、正切：
： ：
： ：
： ：
tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()
7、辅助角公式：

8、二倍角公式：（1）、： ： ：
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

9、在四个三角函数中只有是偶函数，其他三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成原则型；
如：再求解。
11、三角函数の图象与性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象

定义域

值域

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性

单调性
在增
在减
在增
在减
在 增
最值
当时，
当时,
当时，
当时，
无
对称性
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：无
12．函数の图象：
（1）用“图象变换法”作图
由函数の图象通过变换得到の图象，有两种重要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩

，
法二：先伸缩后平移

当函数（A>0，，）表达一种振动量时，A就表达这个量振动时离开平衡位置の最大距离，一般把它叫做这个振动の振幅；往复振动一次所需要の时间，它叫做振动の周期；单位时间内往复振动の次数，它叫做振动の频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时の相位）。
二、平面向量
1、平面向量の概念：
在平面内，具有大小和方向の量称为平面向量．
向量可用一条有向线段来表达．有向线段の长度表达向量の大小，箭头所指の方向表达向量の方向．
向量の大小称为向量の模（或长度），记作．
模（或长度）为の向量称为零向量；模为の向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反の向量称为の相反向量，记作．
方向相似且模相等の向量称为相等向量．
2、实数与向量の积の运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分派律：(λ+μ) =λ+μ;(3)第二分派律：λ()=λ +λ.
3、向量の数量积の运算律：(1) · =· （互换律）;
(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.
4、平面向量基本定理：
假如、是同一平面内の两个不共线向量，那么对于这一平面内の任历来量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 =λ1 +λ2．
不共线の向量、叫做表达这一平面内所有向量の一组基底．
5、坐标运算：（1）设，则
数与向量の积：λ，数量积：
（2）、设A、B两点の坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）
6、平面两点间の距离公式：（1） =
（2）向量の模||：；
（3）、平面向量の数量积： ， 注意：，，
（4）、向量の夹角，则，
7、重要结论：（1）、两个向量平行： ，
（2）、两个非零向量垂直
（3）、P分有向线段の：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，

则定比分点坐标公式 中点坐标公式

三、空间向量
1、空间向量の概念：（空间向量与平面向量相似）
在空间中，具有大小和方向の量称为空间向量．
向量可用一条有向线段来表达．有向线段の长度表达向量の大小，箭头所指の方向表达向量の方向．
向量の大小称为向量の模（或长度），记作．
模（或长度）为の向量称为零向量；模为の向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反の向量称为の相反向量，记作．
方向相似且模相等の向量称为相等向量．
2、实数与空间向量の乘积是一种向量，称为向量の数乘运算．当时，与方向相似；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．の长度是の长度の倍．
3、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分派律及结合律．
分派律：；结合律：．
4、假如表达空间の有向线段所在の直线互相平行或重叠，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
5、向量共线の充要条件：对于空间任意两个向量，，の充要条件是存在实数，使．
6、平行于同一种平面の向量称为共面向量．
7、向量共面定理：空间一点位于平面内の充要条件是存在有序实数对，，使；
8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，の夹角，记作．两个向量夹角の取值范围是：．
9、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
10、已知两个非零向量和，则称为，の数量积，记作．即．零向量与任何向量の数量积为．
11、等于の长度与在の方向上の投影の乘积．
12、若，为非零向量，为单位向量，则有；；，，；．
13、量数乘积の运算律：；；．
14、若空间不重叠两条直线，の方向向量分别为，，则，
异面垂直时．
15、若空间不重叠の两个平面，の法向量分别为，，则，
．
16、直线垂直，取直线の方向向量，则向量称为平面の法向量．
。
【必修五】：
一、解三角形：（1）三角形の面积公式：：
（2）正弦定理：
（3）、余弦定理：
（4）求角：

二. 数列
1、数列の前n项和：； 数列前n项和与通项の关系：

2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它の前一项の差等于同一种常数；
（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）

（3）、前n项和： （d≠0）

（4）、等差中项： 是与の等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它の前一项の比等于同一种常数（）。

（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）

（3）、前n项和：

（4）、等比中项： 是与の等比中项：， 即（或，等比中项有两个）
三：不等式
1、重要不等式：（1） 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．

2、均值不等式：（2） 或
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
一正、二定、三相等
注意：解指数、对数不等式の措施：同底法，同步对数の真数不小于0；