李文林数学历史现状与未来省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学数学历史历史、现实状况与、现实状况与未来未来 中科院数学与系统科学研究院 李文林 10月第1页I.I.历史历史以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索统观数学历史将会发觉，数学发展包含了两大主要统观数学历史将会发觉，数学发展包含了两大主要活动：创造算法、处理问题和演绎推理、证实定理活动：创造算法、处理问题和演绎推理、证实定理 。算法创造兴盛于古代和中世纪中国、印度，形成。算法创造兴盛于古代和中世纪中国、印度，形成了数学发展中强烈算法倾向；定理证实是希腊人首了数学发展中强烈算法倾向；定理证实是希腊人首倡，后组成数学发展中演绎倾向脊梁。倡，后组成数学发展中演绎倾向脊梁。算法传统算法传统算法传统算法传统算法创造活动算法创造活动算法创造活动算法创造活动(尤其是与解方程尤其是与解方程尤其是与解方程尤其是与解方程 相关算法相关算法相关算法相关算法)演绎传统演绎传统演绎传统演绎传统定理证实活动定理证实活动定理证实活动定理证实活动 概言之概言之 “算算”和和“证证”第2页我们将会发觉，数学发展展现出算法倾向与演绎我们将会发觉，数学发展展现出算法倾向与演绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位螺旋式上升过倾向交互繁荣、交替取得主导地位螺旋式上升过程。笼统说来，古代巴比伦和埃及式原始算法时程。笼统说来，古代巴比伦和埃及式原始算法时期，被希腊式演绎几何所接替；而在中世纪，希期，被希腊式演绎几何所接替；而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等地域腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等地域繁荣起来；繁荣起来；17171818世纪应该看成是寻求无穷小算世纪应该看成是寻求无穷小算法英雄年代；从法英雄年代；从1919世纪尤其是世纪尤其是7070年代以来，演绎年代以来，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多水准上占据了优倾向又重新在比希腊几何高得多水准上占据了优势；而从势；而从2020世纪世纪4040年代中开始年代中开始,主要因为电子计算主要因为电子计算机创造及应用机创造及应用,正预示着一个算法倾向新时代。下正预示着一个算法倾向新时代。下面就以此线索略微深入地介绍古往今来数学发展。面就以此线索略微深入地介绍古往今来数学发展。第3页一、原始算法积累时期这时期形成初等算法，包含整数与分数算术运算规则，简这时期形成初等算法，包含整数与分数算术运算规则，简单代数方程单代数方程(包含一元二次方程包含一元二次方程)解算，以及各种简单几何解算，以及各种简单几何图形面积、体积计算公式等。这一过程主要发生于古埃及、图形面积、体积计算公式等。这一过程主要发生于古埃及、古巴比伦及古代印度与中国（史称河谷文明）。这些地域古巴比伦及古代印度与中国（史称河谷文明）。这些地域保留下来古代文件保留下来古代文件(包含埃及纸草书、巴比伦泥版文书和包含埃及纸草书、巴比伦泥版文书和中国商代甲骨文件等中国商代甲骨文件等)，记载了大量正确但未加证实算术、，记载了大量正确但未加证实算术、代数及几何公式，而且这些公式与法则往往是用程序性很代数及几何公式，而且这些公式与法则往往是用程序性很强语言经过一步一步列出计算步骤来表示。美国计算机教强语言经过一步一步列出计算步骤来表示。美国计算机教授授KnuthKnuth曾撰文分析古巴比伦数学算法特征，并指出关于曾撰文分析古巴比伦数学算法特征，并指出关于古代中国和印度算法内容更为丰富。古代中国和印度算法内容更为丰富。在这一时期，几何学作为独立学问并不存在，而仅仅是一在这一时期，几何学作为独立学问并不存在，而仅仅是一个应用算术而已。个应用算术而已。第4页莱茵德纸草书(1650 B.C.)(大英博物馆)古埃及纸草书(84个数学问题个数学问题)w十进记数法十进记数法,算术运算算术运算加法为主加法为主,分数分数以单位分数为基础以单位分数为基础,w一次方程一次方程,面积面积,体积计算体积计算第5页莫斯科纸草书(1890 B.C.)(25(25个数学问题个数学问题个数学问题个数学问题)第6页第7页巴比伦泥板文书六十进六十进六十进六十进位值位值位值位值制记数法制记数法制记数法制记数法,方程方程方程方程一元二次方程算法一元二次方程算法一元二次方程算法一元二次方程算法,面积面积面积面积,体积计算体积计算体积计算体积计算,句股定理句股定理句股定理句股定理计算计算计算计算第8页十进制记数十进制记数十进制记数十进制记数,分数运算分数运算分数运算分数运算,句股定理句股定理句股定理句股定理,周公测景台(河南登封)第9页二、二、希腊演绎几何时期希腊演绎几何时期古代实用算法积累到一定阶段，对它们进行系统整古代实用算法积累到一定阶段，对它们进行系统整理与理论概括必定形成趋势，但这一任务并不是由理与理论概括必定形成趋势，但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当。早期河谷文明本身来担当。向理论数学过渡向理论数学过渡，是大约公元前是大约公元前6 6世纪在地中海沿岸开始，历史学家世纪在地中海沿岸开始，历史学家常称之为常称之为“海洋文明海洋文明”，带来了初等数学第一个黄，带来了初等数学第一个黄金时代，即金时代，即以论证几何为主希腊数课时代以论证几何为主希腊数课时代。第10页早期游历埃及希腊学者如泰勒斯等，接触并熟悉了那里经验几何计算法则，并产生了证实这些法则想法。以后毕达哥拉斯学派组员们不但证实了不少几何命题，而且还开始按一定逻辑次序把已知命题排列起来。从公元前3左右欧多谟斯所写几何学史残篇断简，我们能够了解到几何学命题在当初是怎样逐步地增添起来。一直到公元前3左右，欧几里得最终集大成建立起系统演绎几何体系,即公理化体系。第11页欧几里得，约公元前300第12页欧几里得历史上第一个公理体系 13 卷 119 条定义 5 条公理,5 条公设 465 条定理第13页卷卷 I,II,III,IV I,II,III,IV 及及 VI:VI:平面几何基本内容平面几何基本内容 卷卷 V:V:百分比论百分比论 无理量引发麻烦之回避无理量引发麻烦之回避 卷卷 VII,VIII,IX:VII,VIII,IX:数论数论 卷卷 X:X:不可公度量分类不可公度量分类 卷卷 XI,XII,XIII:XI,XII,XIII:立体几何立体几何 穷竭法穷竭法(卷卷 XII)XII)第14页1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)1607 中译本(徐光启,利玛窦)第15页阿基米德阿基米德(公元前公元前287 287 前前212212)阿波罗尼奥斯（约公元前阿波罗尼奥斯（约公元前262262前前190190）希腊数学之花在公元初即趋凋谢。亚历山大城学希腊数学之花在公元初即趋凋谢。亚历山大城学术著作几经兵火，焚毁殆尽。欧几里得术著作几经兵火，焚毁殆尽。欧几里得几何原几何原本本原作亦失传，个别经他人修订过转抄本被逃原作亦失传，个别经他人修订过转抄本被逃亡学者携至拜占庭帝国首都才得以幸存，但长久亡学者携至拜占庭帝国首都才得以幸存，但长久被禁锢在宫廷和教会之内，到很晚才重新唤起欧被禁锢在宫廷和教会之内，到很晚才重新唤起欧洲人重视。希腊几何演绎精神，也伴随整个希腊洲人重视。希腊几何演绎精神，也伴随整个希腊文明衰微而隐没不彰。文明衰微而隐没不彰。第16页古希腊最终一位数古希腊最终一位数学家希帕蒂娅，学家希帕蒂娅，(约公元约公元370370415415)第17页三、算法繁荣数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长算法繁荣时期。按本质来讲，这个时期一直延续到1718世纪，其间又分为两个在地域和程度上都不一样发展阶段。第18页1中世纪东方算法中世纪时，算法精神在中国和印度得到了高度发中世纪时，算法精神在中国和印度得到了高度发扬。此时中国和印度算法时代比原始算法时期有扬。此时中国和印度算法时代比原始算法时期有质提升。这时期所创造算法，不都是简单和平易质提升。这时期所创造算法，不都是简单和平易算法了，有许多算法即使按当代标准衡量也到达算法了，有许多算法即使按当代标准衡量也到达了很高水平。这里仅以我们熟悉中国数学史为例。了很高水平。这里仅以我们熟悉中国数学史为例。从汉代以来，中国数学家创造了解多元一次方程从汉代以来，中国数学家创造了解多元一次方程组组“遍乘直除遍乘直除”算法，计算圆周率割圆术算法；算法，计算圆周率割圆术算法；隋唐天算家创造了内插公式隋唐天算家创造了内插公式“招差术招差术”算法；秦算法；秦九韶创造了解一次同余组九韶创造了解一次同余组“大衍求一术大衍求一术”和求高和求高次方程数值解次方程数值解“正负开方术正负开方术”算法，以及宋元之算法，以及宋元之际李冶、朱世杰等创造设未知数列方程方法（际李冶、朱世杰等创造设未知数列方程方法（“天元术天元术”、“四元术四元术”）及对应多元高次方程组）及对应多元高次方程组消元算法等。消元算法等。第19页线性方程组与“方程术”中国古代最主要数学经典中国古代最主要数学经典九章算术九章算术（约公元前（约公元前2 2世纪）卷世纪）卷8 8“方方程术程术”，是解线性联立方程组算法。以该卷第，是解线性联立方程组算法。以该卷第1 1题为例，用当代符题为例，用当代符号表述，该问题相当于解一个三元一次联立方程组：号表述，该问题相当于解一个三元一次联立方程组：九章九章没有表示未知数符号，而是用算筹将没有表示未知数符号，而是用算筹将x,y,zx,y,z系数和常数项系数和常数项排列成一个（长）方阵：排列成一个（长）方阵：“方程术方程术”关键算法叫关键算法叫“遍乘直除遍乘直除”，在本例中演算程序以下：，在本例中演算程序以下：用右行系数（用右行系数（3 3）“遍乘遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行中行和左行各数，然后从所得结果按行分别分别“直除直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行系数化为系数化为0 0。重复执行这种。重复执行这种“遍乘直除遍乘直除”算法，就能够解出方程。算法，就能够解出方程。“遍乘直除遍乘直除”算法，实质上就是我们今天所使用解线性联立方程算法，实质上就是我们今天所使用解线性联立方程组消元法，以往西方文件中称之为组消元法，以往西方文件中称之为“高斯消去法高斯消去法”，但近年开始，但近年开始改变。改变。第20页第21页第22页 这些算法所表示数学真理有些在欧洲要到18世纪以后利用近代数学工具才能重新取得：高次代数方程数值求解“正负开方术”（秦九韶程序），与18英国数学家W.霍纳重新导出“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E.别朱等人著作中出现；解一次同余组剩下定理（中国剩下定理）则由欧拉与高斯分别独立重新取得；朱世杰“招差术”（高次内插公式），实质上已与现在通用牛顿-格列高里公式相一致第23页这类复杂算法，极难再仅仅被看作是简单经验法则了，而是高度概括思维能力产物，这种能力与欧几里得几何演绎思维格调截然不一样，但却在数学发展中起着完全可与之相媲美作用。东方数学在文艺复兴前夕经过阿拉伯地域传输到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。第24页古代学术传输路线图第25页2无穷小算法时期算法精神在文艺复兴之前就经过阿拉伯人传输到算法精神在文艺复兴之前就经过阿拉伯人传输到欧洲，被欧洲学者所吸收，并结出了最丰硕结果，欧洲，被欧洲学者所吸收，并结出了最丰硕结果，这就是作为近代数学两大标志解析几何和微积分这就是作为近代数学两大标志解析几何和微积分诞生。诞生。解析几何解析几何首先来看解析几何诞生。假如我们去阅读笛卡儿首先来看解析几何诞生。假如我们去阅读笛卡儿原著，就会发觉贯串于其中彻底算法和代数精神。原著，就会发觉贯串于其中彻底算法和代数精神。几何学几何学开宗明义就宣称：开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术术语，我将毫不犹豫地在几何学中引进算术术语，方便使自己变得愈加聪明方便使自己变得愈加聪明”。第26页笛卡儿笛卡儿几何学几何学是他哲学著作是他哲学著作方法论方法论附录。附录。而笛卡儿在而笛卡儿在方法论方法论中曾明确表现出他对经院中曾明确表现出他对经院哲学尤其是亚里士多德三段论法则怀疑与批判，哲学尤其是亚里士多德三段论法则怀疑与批判，认为三段论法则不能帮助我们发觉未知事物认为三段论法则不能帮助我们发觉未知事物.笛卡笛卡儿在另一部笛卡儿生前为公开发表方法论著作儿在另一部笛卡儿生前为公开发表方法论著作 中批判中批判“古人几何学所思索只限于形古人几何学所思索只限于形相相;近代代数学则太受法则与公式束缚近代代数学则太受法则与公式束缚”;主张主张“采采取几何学和代数学中一切最好东西取几何学和代数学中一切最好东西”,“,“相互取长相互取长补短补短”。第27页笛卡儿还认为希腊人没有说明他们是怎样发现他们公开著作中公诸于众那些定理、事实.他提出“需要一个寻求真理方法”通用数学通用数学:任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题 方程求解方程求解(多个未知量多个未知量单个未知量单个未知量)这终于造成了这终于造成了笛卡儿解析几何诞生。第28页笛卡儿要把几何学归结为算术运算，在欧氏几何中需要特殊技巧才能证实难题，现在变成了一个可按确定法则与程序进行代数运算和算术过程，它预示了定理机械化证实可能性。第29页第30页微积分微积分从微积分历史能够知道，微积分产生是寻找处理一系列实从微积分历史能够知道，微积分产生是寻找处理一系列实际问题普遍算法结果。有学者把这些问题概括为四大类：际问题普遍算法结果。有学者把这些问题概括为四大类：（1 1）决定物体瞬时速度）决定物体瞬时速度（2 2）求极大值与极小值）求极大值与极小值（3 3）求曲线切线、曲率）求曲线切线、曲率（4 4）求物体重心及相互引力、面积与体积计算、曲线求）求物体重心及相互引力、面积与体积计算、曲线求长等。长等。从从1616世纪中开始世纪中开始100100多年间，许多大数学家（开普勒、卡多年间，许多大数学家（开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯）都致力于取得）都致力于取得处理这些问题研究并创造了许多适合用于不一样类问题特处理这些问题研究并创造了许多适合用于不一样类问题特殊算法。牛顿与莱布尼茨功劳是在于将这些特殊算法统一殊算法。牛顿与莱布尼茨功劳是在于将这些特殊算法统一成两类基本运算成两类基本运算微分与积分，并深入指出了它们互逆微分与积分，并深入指出了它们互逆关系，完成了微积分制订。关系，完成了微积分制订。第31页1642.12.25(儒略历儒略历)1661入剑桥大学入剑桥大学;1665.81667春春,故乡躲避瘟疫故乡躲避瘟疫;1667.10三一学院三一学院组员组员;1703 皇家学会会长皇家学会会长 1727 逝世逝世第32页第33页莱布尼茨莱布尼茨（1646-17161646-1716）第34页所以，总而言之，作为近代数学发生标志解析几所以，总而言之，作为近代数学发生标志解析几何与微积分，从方法论角度看都不能说是演绎倾何与微积分，从方法论角度看都不能说是演绎倾向而是算法倾向产物。当然，向而是算法倾向产物。当然，17171818世纪无穷小世纪无穷小算法与中世纪算法相比绝不可同日而语，而是有算法与中世纪算法相比绝不可同日而语，而是有了质飞跃。了质飞跃。不论是牛顿先驱者还是牛顿本人，他们所使用算不论是牛顿先驱者还是牛顿本人，他们所使用算法都是不严格，都没有认真演绎推导。牛顿流数法都是不严格，都没有认真演绎推导。牛顿流数术在逻辑上瑕疵是众所周知。对当初学者来说，术在逻辑上瑕疵是众所周知。对当初学者来说，首要是找到行之有效算法，而不是算法证实。这首要是找到行之有效算法，而不是算法证实。这种倾向一直延续到种倾向一直延续到1818世纪。世纪。第35页18世纪数学家不论微积分基础方面困难而大胆前进，发展完善牛顿与莱布尼茨微积分，并将其广泛应用于其它领域（尤其是力学）和数学内部，开拓了被称为分析辽阔领域（微积分及其应用），开创了分析、代数、几何三足鼎立新格局。18世纪在数学史上所以也被称为“分析时代”。这一时代英雄如：第36页B.泰勒 C.麦克劳林第37页约翰.伯努利&雅各布.伯努利 弟兄第38页L.欧拉(1707-1783)第39页达朗贝尔 拉普拉斯第40页拉格朗日 蒙日第41页 1818世纪数学家们创造一些分析方法，世纪数学家们创造一些分析方法，如泰勒公式，如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至欧拉、伯努利甚至1919世纪初傅里叶所发觉三角展世纪初傅里叶所发觉三角展开等，都是作为有效算法而广泛地被数学家们所开等，都是作为有效算法而广泛地被数学家们所采取，但却充满了争论。正如冯采取，但却充满了争论。正如冯 诺依曼指出那样：诺依曼指出那样：没有一个数学家会把这一时期发展看作是异端邪没有一个数学家会把这一时期发展看作是异端邪道；这个时期产生数学结果被公认为是第一流。道；这个时期产生数学结果被公认为是第一流。而且反过来，要是当初数学家一定要在有了严密而且反过来，要是当初数学家一定要在有了严密演绎证实之后才认可他们新算法合理性，那恐怕演绎证实之后才认可他们新算法合理性，那恐怕就不会有今天微积分和整个分析大厦了。就不会有今天微积分和整个分析大厦了。第42页解析几何与微积分创造与应用使数学取得了前所解析几何与微积分创造与应用使数学取得了前所未有巨大发展，但未有巨大发展，但1818世纪末，数学家们对数学发世纪末，数学家们对数学发展前景却有着普遍消极看法（世纪末消极主义）。展前景却有着普遍消极看法（世纪末消极主义）。法兰西学院法兰西学院 几乎全部分支里几乎全部分支里,人们都被不可克服困难阻挡住了人们都被不可克服困难阻挡住了;把细微末节把细微末节完善化看来是剩下来唯一可做事情了完善化看来是剩下来唯一可做事情了,全部这些困难好象是宣告我们全部这些困难好象是宣告我们分析力量实际上是已经穷竭了分析力量实际上是已经穷竭了.孔多塞孔多塞孔多塞孔多塞(1781)(1781)我们仅仅是迈出了万里长征第一步我们仅仅是迈出了万里长征第一步!第43页 山重水复疑无路 柳暗花明又一村路在哪里？村在何方？第44页四、当代数学与演绎倾向数学中重大真理发觉往往是探寻新算法结果，微数学中重大真理发觉往往是探寻新算法结果，微积分建立为此提供了令人信服例子积分建立为此提供了令人信服例子.算法积累同时算法积累同时也总是形成深入演绎推理基础。正如古代埃及、也总是形成深入演绎推理基础。正如古代埃及、巴比伦算法引导了希腊演绎几何，从开普勒、费巴比伦算法引导了希腊演绎几何，从开普勒、费马到牛顿、莱布尼茨无穷小算法发展也引导了一马到牛顿、莱布尼茨无穷小算法发展也引导了一个演绎数学新黄金时代。这个新发展时期从个演绎数学新黄金时代。这个新发展时期从1919世世纪纪20203030年代发其端，年代发其端，7070年代以后进入全盛时期年代以后进入全盛时期而一直绵延至今。这个新演绎时代与古希腊一个而一直绵延至今。这个新演绎时代与古希腊一个显著不一样，是演绎方法利用远远超出了几何学显著不一样，是演绎方法利用远远超出了几何学而扩展到其它领域而扩展到其它领域.第45页 与微积分为代表无穷小算法时代不一样，这个新与微积分为代表无穷小算法时代不一样，这个新演绎时代发展动力，是数学中内部矛盾积累。演绎时代发展动力，是数学中内部矛盾积累。实际上，实际上，1818世纪末数学消极主义来因为过于把数世纪末数学消极主义来因为过于把数学进展与力学、天文进展等同。学进展与力学、天文进展等同。数学发展有两大方面动力数学发展有两大方面动力 对自然探索对自然探索,生产实践与社会需求生产实践与社会需求 对现实世界相对独立性对现实世界相对独立性-本身逻辑需求本身逻辑需求1818世纪数学内部矛盾积累世纪数学内部矛盾积累 (1)1)微积分基础严格性微积分基础严格性 (2)2)高次代数方程根式可解性高次代数方程根式可解性 (3)3)欧几里得第五公设可证性欧几里得第五公设可证性 第46页分析严格化首先是分析。如前所述，微积分运算开始并无严首先是分析。如前所述，微积分运算开始并无严格逻辑基础。到格逻辑基础。到1818世纪末，这一知识领域内部矛世纪末，这一知识领域内部矛盾已积累到如此程度，使数学家们迫切需要并有盾已积累到如此程度，使数学家们迫切需要并有可能用演绎方法对以往学说进行系统整理，于是可能用演绎方法对以往学说进行系统整理，于是就造成了从柯西极限论到魏尔斯特拉斯算术化和就造成了从柯西极限论到魏尔斯特拉斯算术化和康托尔集合论这么贯通了整个康托尔集合论这么贯通了整个1919世纪分析严格化世纪分析严格化运动。尤其是魏尔斯特拉斯之后，当代分析几乎运动。尤其是魏尔斯特拉斯之后，当代分析几乎完全改变了牛顿、莱布尼茨乃至欧拉、拉格朗日完全改变了牛顿、莱布尼茨乃至欧拉、拉格朗日时代风貌而成为抽象演绎科学了。时代风貌而成为抽象演绎科学了。第47页柯西极限论:魏尔斯特拉斯算术化:严格实数理论 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯无穷多个有理数集合无穷多个有理数集合(1857-1872)(1857-1872)戴德金戴德金:戴德金分割戴德金分割(1872)(1872)康托康托:基本序列基本序列(1872)(1872)康托尔集合论第48页第49页代数抽象化假如说1718世纪将代数算法利用于几何而发展出解析几何，那么19世纪则反过来将几何演绎利用于代数而产生了抽象代数。这个倾向是由代数方程根式可解性问题引发。代数方程根式可解性问题引发。1846年，刘维尔数学杂志第一次正式发表了伽罗瓦关于代数方程根研究工作。这是群论开始，从而也是抽象代数开始，而当代抽象代数学能够说是从头至尾浸透了演绎精神。第50页1824 阿贝尔:，18291831 伽罗瓦:判别方程根式可解充要条件，彻底处理代数方程根式可解性问题，更主要是引进了他称之为“群”概念。第51页伽罗瓦伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)第52页伽罗瓦发觉群概念比他借以处理代数方程根伽罗瓦发觉群概念比他借以处理代数方程根式可解性问题远为主要和影响深远。伽罗瓦群是式可解性问题远为主要和影响深远。伽罗瓦群是详细（方程根置换全体组成群），后经其详细（方程根置换全体组成群），后经其他数学家推广为抽象群和更普通代数结构（域，他数学家推广为抽象群和更普通代数结构（域，环，等等）：环，等等）：一个集合一个集合A A,及其元素间一个或几个及其元素间一个或几个运算，满足用公理定义一些性质。运算，满足用公理定义一些性质。代数学新面貌 研究方程和详细数运算研究方程和详细数运算 研究抽象集合研究抽象集合(群群,域域,等等等等)元素元素 (广义数广义数)运算规律运算规律抽象代数在抽象代数在2020世纪发展为数学关键领域。世纪发展为数学关键领域。第53页几何学非欧化19世纪开辟新演绎数学，在几何领域本身更是远远超越了希腊时代。直到18世纪初，几何王国一直是欧几里得几何一统天下，欧几里得几何一向被看作演绎科学典范。但逐步地人们发觉，这个号称严密演绎体系竟然也存在漏洞。对平行公理长久逻辑考查孕育了罗巴切夫斯基与鲍耶新几何学。第54页欧几里得第五公设（欧几里得第五公设（平行公理）平行公理）:过已知直线外一点能且只能作一条直过已知直线外一点能且只能作一条直 线与已知直线平行线与已知直线平行.是否真是公理是否真是公理?或者根本是能够从其它公理和定理推或者根本是能够从其它公理和定理推导出来呢？导出来呢？从从欧几里得时代起，这个问题就一直困扰着无数欧几里得时代起，这个问题就一直困扰着无数数学家，直到数学家，直到1919世纪才不约而同由三位数学家得世纪才不约而同由三位数学家得到明确处理，答案是：到明确处理，答案是：否！第55页平行公理不能是其它公理和定理推论，用数学家平行公理不能是其它公理和定理推论，用数学家术语就是说，它是独立！在欧几里得公理系统术语就是说，它是独立！在欧几里得公理系统中用它用其否命题代替（中用它用其否命题代替（过已知直线外一点能作至过已知直线外一点能作至少两条直线与已知直线平行）少两条直线与已知直线平行），同时保持全部其它，同时保持全部其它公理不动，几位数学家推导出了全新几何公理不动，几位数学家推导出了全新几何,称称为非欧几何，这个名字是非欧几何创造人之一高斯为非欧几何，这个名字是非欧几何创造人之一高斯起，但高斯没有公开发表他发觉。起，但高斯没有公开发表他发觉。第56页高斯第57页 波约 罗巴切夫斯基第58页19世纪几何非欧化非欧几何创造引发了几何领域巨大变革，整个非欧几何创造引发了几何领域巨大变革，整个1919世纪，几何学能够说是在与传统斗争过程中在世纪，几何学能够说是在与传统斗争过程中在非欧化道路上奔跑。非欧化道路上奔跑。三维高维 平直弯曲(非欧几何)刚性射影几何 拓扑学第59页1919世纪数学发展中上述三个主要趋势世纪数学发展中上述三个主要趋势分析严分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化，汇合成强大格化、代数抽象化以及几何非欧化，汇合成强大时尚，使数学中演绎倾向在沉沦近两千年之后不时尚，使数学中演绎倾向在沉沦近两千年之后不但东山再起，而且又快速占据了统治地位。这三但东山再起，而且又快速占据了统治地位。这三大成就都是数学内部矛盾推进结果，所以，数学大成就都是数学内部矛盾推进结果，所以，数学摆脱了对自然以及力学依赖而宣告了真正独立，摆脱了对自然以及力学依赖而宣告了真正独立，这就是所谓纯数学时代，或者说是为数学而数学这就是所谓纯数学时代，或者说是为数学而数学时代。在这种独立运动中，演绎方法一直是中流时代。在这种独立运动中，演绎方法一直是中流砥柱。砥柱。第60页至此，我们已经能够比较清楚地看到，数学发展中两种倾向交替与互动过程。对数学发展而言，算法倾向与演绎倾向都起着不可或缺作用，二者此起彼伏，却又相辅相成。正如吴文俊院士指出：数学发展这两种主流“对数学发展都曾起过巨大作用，理应兼收并蓄，不可有所偏废”。第61页这恰好点出了我今天选择这么线索来给各位介绍数学史原因。结合我们教学改革。在列次教改中，传统几何内容应占多大份量，归纳推理和演绎推理教学怎样保持平衡？一直是争论话题并几经重复。我想假如从数学发展过程和规律来认识问题，那么我们就不会摇摆不定、重复无常了。毋庸置疑，我们学生需要有一定演绎推理训练，在这方面欧氏几何迄今依然是无可替换载体。第62页其次，除了几何，在算术和代数中，符号意识和计算能力培养，这中间也有平衡问题。我在参加教育部义务教育数学课程标准修改调研中听到不少反映说，现在学生计算能力有所减弱。当然我手头没有具体数据，但我相信这些老师说是负责任真话，我们一定需要注意分析原因，加强学生计算能力培养。数学无非就是“算”和“证”，二者不可或缺啊！第63页回到数学历史中两种倾向。至于说回到数学历史中两种倾向。至于说2020世纪，最少世纪，最少是到前半世纪为止，数学中演绎倾向是有增无减，是到前半世纪为止，数学中演绎倾向是有增无减，数学已经变成研究任意结构学问，在这里，演绎数学已经变成研究任意结构学问，在这里，演绎精神不但是衡量数学纯不纯标准，而且也成为衡精神不但是衡量数学纯不纯标准，而且也成为衡量数学美不美标准。只是从量数学美不美标准。只是从4040年代中开始，局面年代中开始，局面已经有所改变。这主要是因为电子计算机创造及已经有所改变。这主要是因为电子计算机创造及应用而引发。我们还远不能说电子计算机已经动应用而引发。我们还远不能说电子计算机已经动摇了演绎倾向在当代数学中地位，但它却必定提摇了演绎倾向在当代数学中地位，但它却必定提升了算法传统地位，预示着一个算法倾向新时代。升了算法传统地位，预示着一个算法倾向新时代。不过不过2020世纪数学发展是空前，情况也是复杂。我世纪数学发展是空前，情况也是复杂。我们放到下一部分们放到下一部分“现实状况现实状况”中来讲。中来讲。第64页II.II.现实状况现实状况方向与方向与方向与方向与特点特点特点特点二十世纪数学发展三大方向二十世纪数学发展三大方向 纯粹数学扩展纯粹数学扩展 空前广泛应用空前广泛应用 计算机与数学相互影响计算机与数学相互影响 第65页(一一)纯粹数学发展主要特点纯粹数学发展主要特点与与1919世纪相比，世纪相比，2020世纪以来纯粹数学发展表现世纪以来纯粹数学发展表现出以下特征：出以下特征：(1)更高抽象(2)更强统一性(3)更深入基础探讨后面两个特征在本质上也属于抽象化，所以，后面两个特征在本质上也属于抽象化，所以，我们重点还是谈谈我们重点还是谈谈2020世纪以来纯粹数学中世纪以来纯粹数学中高度抽象化。高度抽象化。第66页(1)更高抽象更高抽象 抽象化原来就是数学固有特征，能够说没有抽象化原来就是数学固有特征，能够说没有抽象就没有数学。那么抽象就没有数学。那么2020世纪数学抽象化跟以世纪数学抽象化跟以前有什么不一样呢？当代数学抽象化，主要受到前有什么不一样呢？当代数学抽象化，主要受到两大原因推进：两大原因推进：集合论观点当代公理化方法 第67页公理化方法与康托集合论观点（经过发展集公理化方法与康托集合论观点（经过发展集合论观点，抽象集合论观点）结合起来，成合论观点，抽象集合论观点）结合起来，成为推进为推进2020世纪数学抽象化主要原因，使得世纪数学抽象化主要原因，使得2020世纪数学在高度抽象道路上发展，并造成了世纪数学在高度抽象道路上发展，并造成了四大抽象学科诞生。它们和过去数学传统学四大抽象学科诞生。它们和过去数学传统学科有所不一样，它们是实变函数论、泛函分科有所不一样，它们是实变函数论、泛函分析、抽象代数和拓扑学，这四大抽象学科诞析、抽象代数和拓扑学，这四大抽象学科诞生以及它们所产生概念、方法、定理对已经生以及它们所产生概念、方法、定理对已经有其它学科渗透，引发了数论、代数、几何、有其它学科渗透，引发了数论、代数、几何、概率论、微积分等分支变革。概率论、微积分等分支变革。这么就形成了这么就形成了2020世纪抽象数学巨大时尚。那世纪抽象数学巨大时尚。那么么2020世纪纯粹数学发展在我们比较熟悉分析、世纪纯粹数学发展在我们比较熟悉分析、代数和几何领域引发了哪些概念上变革呢？代数和几何领域引发了哪些概念上变革呢？第68页长度概念长度概念测度测度(实变函数论与当代分析实变函数论与当代分析)(概率论概率论)数概念数概念 代数结构代数结构(抽象代数抽象代数),),普通数学结构普通数学结构空间概念空间概念 弯曲性弯曲性(非欧几何非欧几何)连续性连续性(拓扑学拓扑学)维度概念维度概念无穷维无穷维(泛函分析泛函分析),),分数维分数维(分形几何分形几何)抽象空间抽象空间函数概念函数概念对应与映射对应与映射第69页长度概念测度(勒贝格积分,实变函数论与当代分析)l l狄利克雷函数狄利克雷函数 当当x x为有理数为有理数 当当x x为无理数为无理数问问:在横坐标轴上使函数值为在横坐标轴上使函数值为0 0点全体组成集合长度点全体组成集合长度是多少是多少?在横坐标轴上使函数值为在横坐标轴上使函数值为0 0点全体组成集合长度点全体组成集合长度是多少是多少?第70页勒贝格第71页第72页概率论公理化科尔莫哥罗夫:概率论基础,1933年出版以测度为基础第73页数概念 代数结构普通数学结构(抽象代数)亨廷顿和狄克森：20世纪初，抽象群公理系统；韦德玻恩：19，线性结合代数；诺特：19，发表环中理想论第74页E 诺特 第75页第76页空间概念之变革 弯曲性非欧几何,黎曼几何,大范围微分几何第77页维度概念无穷维(泛函分析),无穷实数组无穷实数组 a a1 1,a a2 2,a an n,（简记为简记为 a an n 或或a a ）全体组成集合（后记为全体组成集合（后记为l l2 2 ）（其中任一数组诸分）（其中任一数组诸分量平方和量平方和 都是有限数），并在任意两数组都是有限数），并在任意两数组 a an n a a和和 b bn n b b 间定义了一个叫做内积运算，间定义了一个叫做内积运算，用（用（a a，b b ）表示：）表示：这么一个无穷集合这么一个无穷集合l l2 2 ，就组成以后所说就组成以后所说“希尔伯希尔伯特空间特空间”。第78页这显然是三维空间中向量长度推广.一样像三维空间一样,两个向量a,b 称为“正交”(即相互垂直),假如它们内积(a,b)=0.尤其是,希尔伯特学生施密特等还考虑了一系列彼此不一样向量 (e1 1,e2 2,en n,),假定其中任意两个不一样向量都正交,而且每个向量长度都等于1.这么一系列向量被称为 “标准正交系”,它们是直角坐标系无穷维类似物.第79页以后数学家们又发觉了其它无穷维希尔伯特空间例子,尤其是 1907 年匈牙利数学家里斯(F.Riesz)和德国数学家费舍尔(E.Fischer)几乎同时建立了全体在区间a,b上平方(勒贝格)可积函数f(x)集合L2 2(a,b)与平方可积数组l2 2 之间等 价(一一对应)关系,该结 果叫里斯-费舍尔定理,它使一个平方可积函数f 能够看作是无穷维空间L2 2(a,b)中一个点.粗略地说,泛函分析就是在这种抽象函数空间上微积分.第80页分数维(分形几何)除了把空间概念从有限维、除了把空间概念从有限维、n n维推广到了无穷维这维推广到了无穷维这个方向外，另一个方向是在个方向外，另一个方向是在2020世纪后半叶，人们世纪后半叶，人们发觉了分数维。这时，空间维数不但能够是有限发觉了分数维。这时，空间维数不但能够是有限维，包含三维、维，包含三维、n n维和高维（维和高维（1919世纪），而且能够世纪），而且能够是无穷维（是无穷维（2020世纪），现在，数学家们发觉这个世纪），现在，数学家们发觉这个空间概念还能够推广到分数维。这个关于分数维空间概念还能够推广到分数维。这个关于分数维空间几何，叫分维几何，或分形几何，完全是空间几何，叫分维几何，或分形几何，完全是2020世纪新建立一门几何学。世纪新建立一门几何学。第81页连续性(拓扑学)第82页李斯廷（J.B.Listing）：1847年，“拓扑学”庞加莱：1895-19间在同一主题位置分析下发表一组论文，开创了当代拓扑学研究。第83页第84页第85页莫别乌斯带第86页(2)数学统一化微分拓扑与代数拓扑整体微分几何代数几何多复变函数论动力系统偏微分方程与泛函分析随机分析第87页(3)对基础深入探讨集合论悖论 罗素悖论是：以M表示是其自身成员 集合（如一切概念几何仍是一个概念）集合，N表示不是其自身成员集合（如全部人集合不是一个人）集合。然后问：集合N是否为它自身成员？如果N是它自身成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身成员；其次，如果N不是它自身成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身成员。不论出现哪一种情况，都将导出矛盾结论。第88页19罗素又给上述悖论以通俗形式，即所谓“剪发师悖论”。罗素第89页三大学派：逻辑主义逻辑主义 直觉主义直觉主义 形式主义形式主义 哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理(1931)(1931)(1)(1)任一足以包含自然数算术形式系统任一足以包含自然数算术形式系统,假如是假如是 相容相容,则它一定存在有一个不可判定命题则它一定存在有一个不可判定命题,即存即存 在某一命题在某一命题A A 使使A A 与与A A 否定在该系统中皆不可否定在该系统中皆不可 证证.(2)(2)在真但不能由公理来证实命题中在真但不能由公理来证实命题中,包含了包含了 这些公理是相容这些公理是相容(无矛盾无矛盾)这一论断本身这一论断本身.数理逻辑发展第90页(二)空前广泛应用应用数学新时代应用数学新时代:主要特点主要特点1.1.数学应用突破了传统范围而向人类几乎全部数学应用突破了传统范围而向人类几乎全部知识领域渗透。知识领域渗透。数学物理学数学物理学相对论相对论;量子力学数学基础量子力学数学基础;微分几何与统一场论微分几何与统一场论(杨杨-米尔斯理论米尔斯理论)生物数学与医学生物数学与医学拉东积分与拉东积分与CTCT扫描仪扫描仪 数理经济学数理经济学诺贝尔经济奖与数学诺贝尔经济奖与数学 数理化学数理化学,数学地质学数学地质学,数理语言学数理语言学,数理心理学数理心理学,数学考古学数学考古学,第91页数学向其它科学渗透数学物理 希尔伯特空间与量子力学希尔伯特空间与量子力学 1932 1932