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李文林数学历史现状与未来省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、 数学数学历史历史、现实状况与、现实状况与未来未来 中科院数学与系统科学研究院 李文林 10月第1页I.I.历史历史以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索以两大活动与两种倾向为线索统观数学历史将会发觉,数学发展包含了两大主要统观数学历史将会发觉,数学发展包含了两大主要活动:创造算法、处理问题和演绎推理、证实定理活动:创造算法、处理问题和演绎推理、证实定理 。算法创造兴盛于古代和中世纪中国、印度,形成。算法创造兴盛于古代和中世纪中国、印度,形成了数学发展中强烈算法倾向;定理证实是希腊人首了数学发展中强烈算法倾向;定理证实是希腊人首倡,后组成数学发展中演绎倾
2、向脊梁。倡,后组成数学发展中演绎倾向脊梁。算法传统算法传统算法传统算法传统算法创造活动算法创造活动算法创造活动算法创造活动(尤其是与解方程尤其是与解方程尤其是与解方程尤其是与解方程 相关算法相关算法相关算法相关算法)演绎传统演绎传统演绎传统演绎传统定理证实活动定理证实活动定理证实活动定理证实活动 概言之概言之 “算算”和和“证证”第2页我们将会发觉,数学发展展现出算法倾向与演绎我们将会发觉,数学发展展现出算法倾向与演绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位螺旋式上升过倾向交互繁荣、交替取得主导地位螺旋式上升过程。笼统说来,古代巴比伦和埃及式原始算法时程。笼统说来,古代巴比伦和埃及式原始算法时期,被希腊
3、式演绎几何所接替;而在中世纪,希期,被希腊式演绎几何所接替;而在中世纪,希腊数学衰落下去,算法倾向在中国、印度等地域腊数学衰落下去,算法倾向在中国、印度等地域繁荣起来;繁荣起来;17171818世纪应该看成是寻求无穷小算世纪应该看成是寻求无穷小算法英雄年代;从法英雄年代;从1919世纪尤其是世纪尤其是7070年代以来,演绎年代以来,演绎倾向又重新在比希腊几何高得多水准上占据了优倾向又重新在比希腊几何高得多水准上占据了优势;而从势;而从2020世纪世纪4040年代中开始年代中开始,主要因为电子计算主要因为电子计算机创造及应用机创造及应用,正预示着一个算法倾向新时代。下正预示着一个算法倾向新时代。
4、下面就以此线索略微深入地介绍古往今来数学发展。面就以此线索略微深入地介绍古往今来数学发展。第3页一、原始算法积累时期这时期形成初等算法,包含整数与分数算术运算规则,简这时期形成初等算法,包含整数与分数算术运算规则,简单代数方程单代数方程(包含一元二次方程包含一元二次方程)解算,以及各种简单几何解算,以及各种简单几何图形面积、体积计算公式等。这一过程主要发生于古埃及、图形面积、体积计算公式等。这一过程主要发生于古埃及、古巴比伦及古代印度与中国(史称河谷文明)。这些地域古巴比伦及古代印度与中国(史称河谷文明)。这些地域保留下来古代文件保留下来古代文件(包含埃及纸草书、巴比伦泥版文书和包含埃及纸草书
5、、巴比伦泥版文书和中国商代甲骨文件等中国商代甲骨文件等),记载了大量正确但未加证实算术、,记载了大量正确但未加证实算术、代数及几何公式,而且这些公式与法则往往是用程序性很代数及几何公式,而且这些公式与法则往往是用程序性很强语言经过一步一步列出计算步骤来表示。美国计算机教强语言经过一步一步列出计算步骤来表示。美国计算机教授授KnuthKnuth曾撰文分析古巴比伦数学算法特征,并指出关于曾撰文分析古巴比伦数学算法特征,并指出关于古代中国和印度算法内容更为丰富。古代中国和印度算法内容更为丰富。在这一时期,几何学作为独立学问并不存在,而仅仅是一在这一时期,几何学作为独立学问并不存在,而仅仅是一个应用算
6、术而已。个应用算术而已。第4页莱茵德纸草书(1650 B.C.)(大英博物馆)古埃及纸草书(84个数学问题个数学问题)w十进记数法十进记数法,算术运算算术运算加法为主加法为主,分数分数以单位分数为基础以单位分数为基础,w一次方程一次方程,面积面积,体积计算体积计算第5页莫斯科纸草书(1890 B.C.)(25(25个数学问题个数学问题个数学问题个数学问题)第6页第7页巴比伦泥板文书六十进六十进六十进六十进位值位值位值位值制记数法制记数法制记数法制记数法,方程方程方程方程一元二次方程算法一元二次方程算法一元二次方程算法一元二次方程算法,面积面积面积面积,体积计算体积计算体积计算体积计算,句股定理
7、句股定理句股定理句股定理计算计算计算计算第8页十进制记数十进制记数十进制记数十进制记数,分数运算分数运算分数运算分数运算,句股定理句股定理句股定理句股定理,周公测景台(河南登封)第9页二、二、希腊演绎几何时期希腊演绎几何时期古代实用算法积累到一定阶段,对它们进行系统整古代实用算法积累到一定阶段,对它们进行系统整理与理论概括必定形成趋势,但这一任务并不是由理与理论概括必定形成趋势,但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当。早期河谷文明本身来担当。向理论数学过渡向理论数学过渡,是大约公元前是大约公元前6 6世纪在地中海沿岸开始,历史学家世纪在地中海沿岸开始,历史学家常称之为常称之为“海洋文明海洋文
8、明”,带来了初等数学第一个黄,带来了初等数学第一个黄金时代,即金时代,即以论证几何为主希腊数课时代以论证几何为主希腊数课时代。第10页早期游历埃及希腊学者如泰勒斯等,接触并熟悉了那里经验几何计算法则,并产生了证实这些法则想法。以后毕达哥拉斯学派组员们不但证实了不少几何命题,而且还开始按一定逻辑次序把已知命题排列起来。从公元前3左右欧多谟斯所写几何学史残篇断简,我们能够了解到几何学命题在当初是怎样逐步地增添起来。一直到公元前3左右,欧几里得最终集大成建立起系统演绎几何体系,即公理化体系。第11页欧几里得,约公元前300第12页欧几里得历史上第一个公理体系 13 卷 119 条定义 5 条公理,5
9、 条公设 465 条定理第13页卷卷 I,II,III,IV I,II,III,IV 及及 VI:VI:平面几何基本内容平面几何基本内容 卷卷 V:V:百分比论百分比论 无理量引发麻烦之回避无理量引发麻烦之回避 卷卷 VII,VIII,IX:VII,VIII,IX:数论数论 卷卷 X:X:不可公度量分类不可公度量分类 卷卷 XI,XII,XIII:XI,XII,XIII:立体几何立体几何 穷竭法穷竭法(卷卷 XII)XII)第14页1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)1607 中译本(徐光启,利玛窦)第15页阿基米德阿基米德(公元前公元前287 287 前前212212)阿波罗尼奥斯(约公元
10、前阿波罗尼奥斯(约公元前262262前前190190)希腊数学之花在公元初即趋凋谢。亚历山大城学希腊数学之花在公元初即趋凋谢。亚历山大城学术著作几经兵火,焚毁殆尽。欧几里得术著作几经兵火,焚毁殆尽。欧几里得几何原几何原本本原作亦失传,个别经他人修订过转抄本被逃原作亦失传,个别经他人修订过转抄本被逃亡学者携至拜占庭帝国首都才得以幸存,但长久亡学者携至拜占庭帝国首都才得以幸存,但长久被禁锢在宫廷和教会之内,到很晚才重新唤起欧被禁锢在宫廷和教会之内,到很晚才重新唤起欧洲人重视。希腊几何演绎精神,也伴随整个希腊洲人重视。希腊几何演绎精神,也伴随整个希腊文明衰微而隐没不彰。文明衰微而隐没不彰。第16页古
11、希腊最终一位数古希腊最终一位数学家希帕蒂娅,学家希帕蒂娅,(约公元约公元370370415415)第17页三、算法繁荣数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长算法繁荣时期。按本质来讲,这个时期一直延续到1718世纪,其间又分为两个在地域和程度上都不一样发展阶段。第18页1中世纪东方算法中世纪时,算法精神在中国和印度得到了高度发中世纪时,算法精神在中国和印度得到了高度发扬。此时中国和印度算法时代比原始算法时期有扬。此时中国和印度算法时代比原始算法时期有质提升。这时期所创造算法,不都是简单和平易质提升。这时期所创造算法,不都是简单和平易算法了,有许多算法即使按当代标准衡量也到达算法了,有许多算法即
12、使按当代标准衡量也到达了很高水平。这里仅以我们熟悉中国数学史为例。了很高水平。这里仅以我们熟悉中国数学史为例。从汉代以来,中国数学家创造了解多元一次方程从汉代以来,中国数学家创造了解多元一次方程组组“遍乘直除遍乘直除”算法,计算圆周率割圆术算法;算法,计算圆周率割圆术算法;隋唐天算家创造了内插公式隋唐天算家创造了内插公式“招差术招差术”算法;秦算法;秦九韶创造了解一次同余组九韶创造了解一次同余组“大衍求一术大衍求一术”和求高和求高次方程数值解次方程数值解“正负开方术正负开方术”算法,以及宋元之算法,以及宋元之际李冶、朱世杰等创造设未知数列方程方法(际李冶、朱世杰等创造设未知数列方程方法(“天元
13、术天元术”、“四元术四元术”)及对应多元高次方程组)及对应多元高次方程组消元算法等。消元算法等。第19页线性方程组与“方程术”中国古代最主要数学经典中国古代最主要数学经典九章算术九章算术(约公元前(约公元前2 2世纪)卷世纪)卷8 8“方方程术程术”,是解线性联立方程组算法。以该卷第,是解线性联立方程组算法。以该卷第1 1题为例,用当代符题为例,用当代符号表述,该问题相当于解一个三元一次联立方程组:号表述,该问题相当于解一个三元一次联立方程组:九章九章没有表示未知数符号,而是用算筹将没有表示未知数符号,而是用算筹将x,y,zx,y,z系数和常数项系数和常数项排列成一个(长)方阵:排列成一个(长
14、)方阵:“方程术方程术”关键算法叫关键算法叫“遍乘直除遍乘直除”,在本例中演算程序以下:,在本例中演算程序以下:用右行系数(用右行系数(3 3)“遍乘遍乘”中行和左行各数,然后从所得结果按行中行和左行各数,然后从所得结果按行分别分别“直除直除”右行,即连续减去右行对应各数,就将中行与左行右行,即连续减去右行对应各数,就将中行与左行系数化为系数化为0 0。重复执行这种。重复执行这种“遍乘直除遍乘直除”算法,就能够解出方程。算法,就能够解出方程。“遍乘直除遍乘直除”算法,实质上就是我们今天所使用解线性联立方程算法,实质上就是我们今天所使用解线性联立方程组消元法,以往西方文件中称之为组消元法,以往西
15、方文件中称之为“高斯消去法高斯消去法”,但近年开始,但近年开始改变。改变。第20页第21页第22页 这些算法所表示数学真理有些在欧洲要到18世纪以后利用近代数学工具才能重新取得:高次代数方程数值求解“正负开方术”(秦九韶程序),与18英国数学家W.霍纳重新导出“霍纳算法”基本一致;多元高次方程组系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E.别朱等人著作中出现;解一次同余组剩下定理(中国剩下定理)则由欧拉与高斯分别独立重新取得;朱世杰“招差术”(高次内插公式),实质上已与现在通用牛顿-格列高里公式相一致第23页这类复杂算法,极难再仅仅被看作是简单经验法则了,而是高度概括思维能力产物,这种能力与欧几里
16、得几何演绎思维格调截然不一样,但却在数学发展中起着完全可与之相媲美作用。东方数学在文艺复兴前夕经过阿拉伯地域传输到欧洲,对近代数学兴起产生了深刻影响。第24页古代学术传输路线图第25页2无穷小算法时期算法精神在文艺复兴之前就经过阿拉伯人传输到算法精神在文艺复兴之前就经过阿拉伯人传输到欧洲,被欧洲学者所吸收,并结出了最丰硕结果,欧洲,被欧洲学者所吸收,并结出了最丰硕结果,这就是作为近代数学两大标志解析几何和微积分这就是作为近代数学两大标志解析几何和微积分诞生。诞生。解析几何解析几何首先来看解析几何诞生。假如我们去阅读笛卡儿首先来看解析几何诞生。假如我们去阅读笛卡儿原著,就会发觉贯串于其中彻底算法
17、和代数精神。原著,就会发觉贯串于其中彻底算法和代数精神。几何学几何学开宗明义就宣称:开宗明义就宣称:“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术术语,我将毫不犹豫地在几何学中引进算术术语,方便使自己变得愈加聪明方便使自己变得愈加聪明”。第26页笛卡儿笛卡儿几何学几何学是他哲学著作是他哲学著作方法论方法论附录。附录。而笛卡儿在而笛卡儿在方法论方法论中曾明确表现出他对经院中曾明确表现出他对经院哲学尤其是亚里士多德三段论法则怀疑与批判,哲学尤其是亚里士多德三段论法则怀疑与批判,认为三段论法则不能帮助我们发觉未知事物认为三段论法则不能帮助我们发觉未知事物.笛卡笛卡儿在另一部笛卡儿生前为公开发表方法论著作儿在另一
18、部笛卡儿生前为公开发表方法论著作 中批判中批判“古人几何学所思索只限于形古人几何学所思索只限于形相相;近代代数学则太受法则与公式束缚近代代数学则太受法则与公式束缚”;主张主张“采采取几何学和代数学中一切最好东西取几何学和代数学中一切最好东西”,“,“相互取长相互取长补短补短”。第27页笛卡儿还认为希腊人没有说明他们是怎样发现他们公开著作中公诸于众那些定理、事实.他提出“需要一个寻求真理方法”通用数学通用数学:任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题 方程求解方程求解(多个未知量多个未知量单个未知量单个未知量)这终于造成了这终于造成了笛卡儿解析几何诞生。第28页笛卡儿要把几何学归结为算术
19、运算,在欧氏几何中需要特殊技巧才能证实难题,现在变成了一个可按确定法则与程序进行代数运算和算术过程,它预示了定理机械化证实可能性。第29页第30页微积分微积分从微积分历史能够知道,微积分产生是寻找处理一系列实从微积分历史能够知道,微积分产生是寻找处理一系列实际问题普遍算法结果。有学者把这些问题概括为四大类:际问题普遍算法结果。有学者把这些问题概括为四大类:(1 1)决定物体瞬时速度)决定物体瞬时速度(2 2)求极大值与极小值)求极大值与极小值(3 3)求曲线切线、曲率)求曲线切线、曲率(4 4)求物体重心及相互引力、面积与体积计算、曲线求)求物体重心及相互引力、面积与体积计算、曲线求长等。长等
20、。从从1616世纪中开始世纪中开始100100多年间,许多大数学家(开普勒、卡多年间,许多大数学家(开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯)都致力于取得)都致力于取得处理这些问题研究并创造了许多适合用于不一样类问题特处理这些问题研究并创造了许多适合用于不一样类问题特殊算法。牛顿与莱布尼茨功劳是在于将这些特殊算法统一殊算法。牛顿与莱布尼茨功劳是在于将这些特殊算法统一成两类基本运算成两类基本运算微分与积分,并深入指出了它们互逆微分与积分,并深入指出了它们互逆关系,完成了微积分制订。关系,完成了微积分制订。第31页1642.12.25(儒略历儒略历)1661入
21、剑桥大学入剑桥大学;1665.81667春春,故乡躲避瘟疫故乡躲避瘟疫;1667.10三一学院三一学院组员组员;1703 皇家学会会长皇家学会会长 1727 逝世逝世第32页第33页莱布尼茨莱布尼茨(1646-17161646-1716)第34页所以,总而言之,作为近代数学发生标志解析几所以,总而言之,作为近代数学发生标志解析几何与微积分,从方法论角度看都不能说是演绎倾何与微积分,从方法论角度看都不能说是演绎倾向而是算法倾向产物。当然,向而是算法倾向产物。当然,17171818世纪无穷小世纪无穷小算法与中世纪算法相比绝不可同日而语,而是有算法与中世纪算法相比绝不可同日而语,而是有了质飞跃。了质
22、飞跃。不论是牛顿先驱者还是牛顿本人,他们所使用算不论是牛顿先驱者还是牛顿本人,他们所使用算法都是不严格,都没有认真演绎推导。牛顿流数法都是不严格,都没有认真演绎推导。牛顿流数术在逻辑上瑕疵是众所周知。对当初学者来说,术在逻辑上瑕疵是众所周知。对当初学者来说,首要是找到行之有效算法,而不是算法证实。这首要是找到行之有效算法,而不是算法证实。这种倾向一直延续到种倾向一直延续到1818世纪。世纪。第35页18世纪数学家不论微积分基础方面困难而大胆前进,发展完善牛顿与莱布尼茨微积分,并将其广泛应用于其它领域(尤其是力学)和数学内部,开拓了被称为分析辽阔领域(微积分及其应用),开创了分析、代数、几何三足
23、鼎立新格局。18世纪在数学史上所以也被称为“分析时代”。这一时代英雄如:第36页B.泰勒 C.麦克劳林第37页约翰.伯努利&雅各布.伯努利 弟兄第38页L.欧拉(1707-1783)第39页达朗贝尔 拉普拉斯第40页拉格朗日 蒙日第41页 1818世纪数学家们创造一些分析方法,世纪数学家们创造一些分析方法,如泰勒公式,如泰勒公式,欧拉、伯努利甚至欧拉、伯努利甚至1919世纪初傅里叶所发觉三角展世纪初傅里叶所发觉三角展开等,都是作为有效算法而广泛地被数学家们所开等,都是作为有效算法而广泛地被数学家们所采取,但却充满了争论。正如冯采取,但却充满了争论。正如冯 诺依曼指出那样:诺依曼指出那样:没有一
24、个数学家会把这一时期发展看作是异端邪没有一个数学家会把这一时期发展看作是异端邪道;这个时期产生数学结果被公认为是第一流。道;这个时期产生数学结果被公认为是第一流。而且反过来,要是当初数学家一定要在有了严密而且反过来,要是当初数学家一定要在有了严密演绎证实之后才认可他们新算法合理性,那恐怕演绎证实之后才认可他们新算法合理性,那恐怕就不会有今天微积分和整个分析大厦了。就不会有今天微积分和整个分析大厦了。第42页解析几何与微积分创造与应用使数学取得了前所解析几何与微积分创造与应用使数学取得了前所未有巨大发展,但未有巨大发展,但1818世纪末,数学家们对数学发世纪末,数学家们对数学发展前景却有着普遍消
25、极看法(世纪末消极主义)。展前景却有着普遍消极看法(世纪末消极主义)。法兰西学院法兰西学院 几乎全部分支里几乎全部分支里,人们都被不可克服困难阻挡住了人们都被不可克服困难阻挡住了;把细微末节把细微末节完善化看来是剩下来唯一可做事情了完善化看来是剩下来唯一可做事情了,全部这些困难好象是宣告我们全部这些困难好象是宣告我们分析力量实际上是已经穷竭了分析力量实际上是已经穷竭了.孔多塞孔多塞孔多塞孔多塞(1781)(1781)我们仅仅是迈出了万里长征第一步我们仅仅是迈出了万里长征第一步!第43页 山重水复疑无路 柳暗花明又一村路在哪里?村在何方?第44页四、当代数学与演绎倾向数学中重大真理发觉往往是探寻
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