数学史选讲解读市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、 数学史选讲解读第一讲第一讲 早期算术与几何早期算术与几何 第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝第四讲第四讲 平面解析几何产生平面解析几何产生 第五讲第五讲 微积分诞生微积分诞生第六讲第六讲 近代数学两巨星近代数学两巨星第七讲第七讲 千古谜题千古谜题第八讲第八讲 对无穷深入思索对无穷深入思索第1页数学史选讲补充材料浙江师范大学教师教育学院 徐元根第2页第一讲第一讲 早期早期算术与几何算术与几何埃及和巴比伦数学埃及和巴比伦数学中国早期数学中国早期数学第3页纸草书 纸草书是研究古埃及数学主要起源 莱因德纸草书:最初发觉于埃及底比斯古都废墟,1858年为苏
2、格兰收藏家莱因德购得,现藏于伦敦大英博物馆又称阿姆士纸草书,阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书,据他加序言知,所抄录是一部已经流传了两个世纪著作含84个数学问题莫斯科纸草书:又称戈列尼雪夫纸草书,1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得,现存于莫斯科博物馆产生于公元前1850年前后,含有25个数学问题第4页古埃及计算技术含有迭加特征,乘除法运算,往往用连续加倍来完成因为方法较为繁复,古埃及算术难以发展到更高水平相对于算术,古埃及几何含有更高成就古代埃及人留下了许多气势宏伟建筑,能够说明古埃及几何学发达 第5页埃及几何埃及几何产生于土地测量,是一个实用几何对面积、体积计算,他们
3、给出了一些计算法则,有准确也有粗略在莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积计算所用公式,用现在符号表示是 这是埃及几何中最出众成就之一 第6页巴比伦数学六十进制位值制记数法。长于计算,编制了许多数表:乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊指数(对数)表。能解二次方程。第7页中国早期数学中国早期数学 中国古代数学起源能够上溯到公元前数千年史记中记载,夏禹治水,“左规矩,右准绳”这能够看作是中国古代几何学起源在殷商甲骨文中已经使用了完整十进制记数法,春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法而战国时代考工记、墨经、庄子等著作中则探讨了许多抽象数学概念,并记载了大量实用几何知识第8页
4、周易中数学 周易是中国古代专讲卜筮书,也能够看作是古人探索自然朴素哲学著作,约成书于殷商时期。周易由易经和易传两部分组成,先有易经,后有易传,两部分成书时间相距七八百年。易经包含古代占卜卦辞及爻辞,易传由系辞、说卦等十篇文章组成,是对易经中卦辞及爻辞解释。第9页卜筮是原始人类共有社会现象。中国古代惯用龟甲和兽骨作为占卜工具,以决定事情吉凶。筮,是按一定规则得到特定数字,并用它来预测事情吉凶。周礼称:“凡国之大事,先筮后卜。”史记龟策列传则说:“王者决定诸疑,参加卜筮,断以蓍龟,不易之道也。”筮工具起初是竹棍(以后出现筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字传统),以后改用蓍草-一个有锯齿草本植物
5、。第10页在中国古代众多儒、道典籍中,周易是包含数学内容最丰富著作,因而对中国古代数学家产生了极大影响。比如,刘徽在九章算术注序中就写道:“昔伏羲氏始作八卦,以通神明之德,以类万物之情。作九九之数,以合六爻之变。”实际上就把数学方法与周易中六爻、八卦等内容联络起来了。第11页八卦 乾 巽 离-艮-坤 -震-坎 兑 -第12页计算机创造与周易中八卦有着十分亲密联络。众所周知,当代电子计算机最基本数学基础是二进制数。二进制符号是德国数学家莱布尼茨(Leibniz,16461716)创造。莱布尼茨于1679年撰写了二进制算术,阐述了二进制理论。莱布尼茨自称,他之所以会想到二进制数,就是因为受到了八卦
6、符号启发。他还说:“能够让我加入中国籍了吧”。第13页太极图周易中另一主要概念是太极。周易中写道:“易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦。”太极即太一,这段话讲是八卦产生原理,也试图解释天地造分,化成万物原理。后经宋代陈抟发展,便有了太极图。第14页周易中另一个与数学相关内容是“河图洛书”。周易中有“河出图,洛出书,圣人则之”记载。以后,孔安国等人又把河图洛书与八卦及九数联络起来。孔安国认为:“河图者,伏羲氏王天下,龙马出河,遂则其文以画八卦。洛书者,禹治水时,神龟负文,而列于背,有数至九,禹遂因而第之,以成九类。”也就是说,在古人看来,八卦与九数实出于河图洛书河图洛书。第15页宋代陈抟
7、所作“洛书图”(九宫图)492357816第16页 数概念产生数概念产生 数和形是数学最早研究对象,考古研究发觉,人类在5万年前就已经有了一些计数方法。当代人研究认为,人类数概念发展过程是,先有原始数感,再形成一一对应计数方法,最终经过集合等价关系建立抽象数概念。第17页记数符号产生记数符号产生 易系辞中载:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。结绳记数,是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事,绳结多少,依据事物多少而定。而所谓“书契”,就是刻划,“书”是划痕,“契”是刻痕。古人经常在各种动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。如中国殷商时期常将文字刻划在牛肩胛骨或龟甲上,故称甲骨文。第18页从刻划记
8、数,人类很自然地过渡到刻出数符号,并进而创造出第一批数字。古代中国、古埃及、巴比伦等民族,均在公元前50前后就有了记数符号。因为古人用手指作为计数参考物十分方便,因而许多民族都不约而同地使用了十进制计数法。当然也存在着少许其它进位制,如5进制、12进制、16进制、20进制、60进制等。第19页公元前5左右战国时代,中国人创造了含有十进位值制特征筹算数码。筹算数字摆放方法要求,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,万位又用纵式,如此纵横相间,以免发生误会。并要求用空位表示零。到了13世纪,中国数学家又明确地用“”表示零,从而使中国记数法完全位值化。第20页拉普拉斯对十进位值制评价这是一
9、个深远而又主要思想,它今天看来如此简单,以致我们忽略了它真正伟绩。但恰恰是它简单性以及对一切计算都提供了极大方便,才使我们算术在一切有用创造中列在首位;而当我们想到它竟逃过了古代最伟大两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯天才思想关注时,我们更感到这成就伟大。第21页第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 希腊数学普通指从公元前6至公元6间,活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地域、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部数学家们所创造数学。希腊早期文明中心在雅典;公元前338年希腊诸帮被马其顿控制,文明中心转到亚历山大城(埃及);公元前30年左右,罗马帝国完全控制希腊各国,文明中心转到罗马(意大利)。公元
10、640年前后,阿拉伯民族征服东罗马,希腊文明落下帷幕。第22页古希腊数学与哲学交织 古希腊早期自然科学往往是与哲学交织在一起,古希腊自然哲学乃是古代自然科学一个特殊形态,即使有许多错误东西,但也有不少合理知识和包含着合理成份猜测恩格斯说:“在希腊哲学各种多样形式中,差不多能够找到以后各种观点胚胎、萌芽所以,假如理论自然科学想要追溯自己今天普通原剪发生和发展历史,它就不得不回到希腊人那里去”第23页古希腊数学表现出很强理性精神,追求哲学意义上真理在公元前3、4百年时候,他们数学思想中就已经包括到了无限性、连续性等深刻概念经过古埃及和巴比伦人长久积累数学知识萌芽时期以后,古希腊人把数学推进到了一个
11、崭新时代古希腊数学不但有十分辉煌研究结果,而且提出了数学基本观点,建立数学理论方法,给以后数学发展提供了坚实基础 第24页泰勒斯确定了几条最早几何定理 等腰三角形两底角相等 假如两个三角形有一边及这边上两个角对应相等,那么这两个三角形全等 直角彼此相等 两条直线相交时,对顶角相等 圆直径平分圆周 第25页万物皆数毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数,最主要数是1、2、3、4,而10则是理想数;对应地,自然界由点(一元)、线(二元)、面(三元)和立体(四元)组成。他们认为自然界中一切都服从于一定百分比数,天体运动受数学关系支配,形整天体友好。第26页理论算术(数论雏形)完全数、过剩数(盈数)、不足数
12、(亏数)分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身(要求因数包含1但不包含该数本身)。他们发觉前几个完全数是6=1+2+3,28=1+2+4+7+14,496。而220和284则是一对亲和数,因为前者因数和等于284,后者因数和等于220。第27页以后,在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发觉第六个完全数:8589869056.年发觉第42个梅审素数,从而有了第42个完全数。第28页几何成就 使几何学从经验上升到理论关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了全部
13、直线形理论,包含三角形全等定理、平行线理论、三角形内角和定理、相同理论等。第29页正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体一些性质。他们发觉,同名正多边形覆盖平面情况只有三种:正三角形、正方形、正六边形,而且这些正多边形个数之比为6:4:3,边数之比则为3:4:6。毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图,他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。第30页正五边形与五角星在五种正多面体中,除正十二面体外,每个正多面体界面都是三角形或正方形,而正十二面体界面则是正五边形。正五边形作图与著名“黄金分割”相关。五条
14、对角线中每一条均以特殊方式被对角线交点分割。听说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派标志。第31页勾股数毕达哥拉斯数:普通形式之一:第32页无理数发觉毕达哥拉斯学派信条是“万物皆数”,这里数实际上是指正有理数。传说,毕达哥拉斯学派组员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)发觉了“不可公度比”现象,并在一次航海时公布了他想法,结果被恐慌毕达哥拉斯学派其它组员抛进了大海。项武义教授一项研究认为,希帕苏斯首先发觉是正五边形边长与对角线长不可公度。第33页第一次数学危机不可公度比发觉使毕达哥拉斯学派对许多定理证实都不能成立。例:假如两个三角形高相同,则它们面积之比等于两底边之比。ABCDE
15、第34页新百分比论100多年后,欧多克斯(Eudoxus,408-355)提出了“新百分比论”,才用回避方法暂时消除了“第一次危机”。新百分比定义:设A、B、C、D是任意四个量,其中A和B同类(即均为线段、角或面积),C和D同类,若对任意两个(正)整数m和n,mA与nB大小关系,取决于mC与nD大小,则称A:B=C:D。第35页柏拉图学园柏拉图(Plato,公元前427-347年)是当初最著名希腊哲学家之一,即使他不是数学家,但热心于数学科学,在柏拉图学园门口挂着牌子:“不懂几何者免进”。值得注意是,公元前四世纪主要数学工作几乎都是柏拉图朋友和学生做。与柏拉图学园有联络欧多克斯(Eudoxus
16、,公元前408-355年)是这一时期最大数学家,他在几何学上研究结果,以后有些收入了欧几里得几何原本。第36页亚里士多德亚里士多德(Aristotle,公元前384-322年)是柏拉图学生和同事,相处达之久,公元前335年成立了自己学派,以后曾是马其顿王亚列山大老师。他是古典希腊时期最伟大思想家,他一些思想在数学史上影响很大。第37页形式逻辑建立亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨,而是重视观察、分析和试验性活动(如解剖)。亚里士多德是古希腊学者中最博学人,是古代百科全书式自然科学家,也是对近代自然科学影响最大古代学者。他著作甚多,在自然科学方面主要有物理学、论产生和毁灭、天论、气象学、动物历史
17、、论动物结构等。第38页形式逻辑建立亚里士多德创建了以三段论为中心形式逻辑系统。他认为科学需要归纳,由特殊事例过渡到普通命题,更需要用逻辑推理由前提演绎出它推论。亚里士多德逻辑学著作以后被汇编为工具论,对阿基米德、欧几里得等人研究有主要影响。古典希腊时期希腊人已经掌握了大量初等几何性质,加上亚里士多德建立了形式逻辑,这些都为形成一门独立初等几何理论科学作好了充分准备。第39页亚历山大时期数学 从公元前330年左右到公元前30年左右,希腊数学中心从雅典转移到了埃及亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后,托勒密帝国统治希腊埃及,其首都亚历山大城成为希腊文化中心。托勒密一世曾经是亚里士多德学生,他在执政
18、后修建了缪斯艺术宫,这实际上是一个大博物馆,收藏图书和手稿听说有5070万卷。当初许多著名学者都被请到亚历山大里亚,用国家经费供养着。第40页这一时期思辩猜测已不盛行,观察、计算及定量分析方法开始流行。天文学家阿利斯塔克(公元前310230),经过对日、月、地体积和相对距离观察和计算作出了日心说猜测。他经过测量角度推算出太阳直径比地球大六、七倍,并断定小天体(地球等)应围绕大天体(太阳)旋转。尽管他计算很不准确,但思维方式是主要。著名天文地理学家、数学家埃拉托色尼(约公元前284192)依据太阳在两个地方投影角之差,计算出地球周长是24662英里(现在算出经过地球南北极周长为24819英里),
19、他绘制了世界地图,并标明了经纬线以及寒带、热带和温带。第41页欧几里得与几何原本 欧几里得(约公元前330260),应托勒密一世之邀到亚历山大,成为亚历山大学派奠基人。欧几里得系统地整理了以往几何学成就,写出了13卷原本,欧几里得工作不但为几何学研究和教学提供了蓝本,而且对整个自然科学发展有深远影响。爱因斯坦说:“西方科学发展是以两个伟大成就为基础,那就是:希腊哲学家创造形式逻辑体系(在欧几里得几何学中),以及经过系统试验发觉有可能找到因果关系(在文艺复兴时期)。”第42页公理化方法公理化方法:从一些基本概念和公理出发,利用纯逻辑推理方法,把一门学科建立成演绎系统方法。以后许多著作都仿照这种格
20、式写成,如牛顿自然哲学数学原理等。第43页几何原本影响几何原本对以后数学思想有主要影响。其一:公理化思想;其二:几何直观与严格逻辑推理结合使欧几里得几何长久被认为是最正宗数学知识,笛卡儿在创造了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证实,牛顿在第一次公开他微积分创造时也要对这一算法作出几何解释;其三:造成非欧几何诞生。第44页阿基米德数学成就 阿基米德(Archimedes,公元前287-212)出生于西西里岛叙拉古,曾在亚历山大跟欧几里得学生学习过,离开亚历山大后仍与那里师友保持联络,他许多结果都是经过与亚历山大学者通信而保留下来。所以,阿基米德通常被看成是亚历山大学派组员。阿基米德著作很
21、多,内容包括数学、力学及天文学等。第45页“穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用,并被古希腊数学家普遍用来证实面积和体积方法。穷竭法能够用来严格证实已经猜测出来命题,但不能用来发觉新结果。阿基米德创造了求面积和体积“平衡法”,求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证实。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”结合是严格证实与创造技巧相结合典范。第46页球体积阿基米德用“平衡法”推导了球体积公式。刻在阿基米德墓碑上几何图形代表了他所证实一条数学定理:以球直径为底和高圆柱,其体积是球体积3/2,其表面积是球面积3/2。第47页阿基米德“平衡法”,将需要求积量分成一些微小单元,再与另一组微小单元进行比较,而
22、后一组总和比较轻易计算。所以,“平衡法”实际上表达了近代积分法基本思想,是阿基米德数学研究最大功劳。不过,“平衡法”本身必须以极限论为基础,阿基米德意识到了他方法在严密性上不足,所以他用平衡法求出一个面积或体积后,必再用穷竭法加以严格证实。第48页用平衡法求球体积球切片体积锥切片体积柱切片体积左力矩=右力矩=左力矩=4右力矩P球锥切片xN第49页用平衡法求球体积将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x薄片,并将全部球与圆锥薄片都挂到P点,圆柱薄片都留在原处。左力矩和=(球体积+锥体积)2R 右力矩和=柱体积R(球体积+锥体积)2R=4柱体积R球体积=2柱体积锥体积第50页与欧几里得相比,阿基米德能
23、够说是一位应用数学家。在论浮体中叙述了浮力原理、在论平面图形平衡或其重心中叙述了杠杆原理。曾设计了一组复杂滑车装置,使叙拉古国王亲手移动了一只巨大三桅货船,他说:“给我一个支点,我能够移动地球”。在保卫叙拉古战斗中创造了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵杀害,死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基米德罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。第51页阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯(Apollonius,公元前262-190)出生于小亚细亚(今土尔其一带),年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得学生学习,后到小亚细亚西岸帕加蒙王国居住与工作,晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯主要数学成就是在前人工作
24、基础上创建了相当完美圆锥曲线理论,编著圆锥曲线论。第52页圆锥曲线论 全书共8卷,含487个命题。在阿波罗尼奥斯之前,希腊人用三种不一样圆锥面导出圆锥曲线,阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到全部圆锥曲线,并给它们以正式名称:亏曲线、齐曲线、盈曲线(李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、双曲线)。圆锥曲线论能够说是希腊演绎几何最高成就。几何学新发展要到17世纪笛卡儿等人解析方法出现后才得以降临。第53页阿波罗尼奥斯用统一方式引出三种圆锥曲线后,便展开了对它们性质广泛讨论,内容包括圆锥曲线直径、公轭直径、切线、中心、双曲线渐进线、椭圆与双曲线焦点以及处于不一样位置上圆锥曲线交点数等。圆锥曲线论中包
25、含了许多即使按今天眼光看也是很深奥问题。第5卷中关于定点到圆锥曲线最长和最短线段探讨,实质上提出了圆锥曲线法线包络即渐屈线概念,它们是近代微分几何微分几何课题。第3、4卷中关于圆锥曲线极点与极线调和性质叙述,则包含了射影几何学射影几何学萌芽思想。第54页罗马时期数学成就 海伦(Heron,前1世纪公元1世纪)推导出求三角形面积海伦公式。托勒密(Ptolemy约100170)地球中心学说。托勒密利用大量观察资料,进行浩繁计算,写出八卷本大综合论,详细叙述了太阳系和宇宙以地球为中心学说。在托勒密地心说中,行星是绕着一个数学上点(本轮中心)运动,而这些点又位于均轮上围绕地球运转。托勒密地心说即使不反
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