数学建模讲义市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模讲义数学建模讲义建模概论与初等模型建模概论与初等模型第1页风洞中飞机风洞中飞机物理模型物理模型地图、电路图地图、电路图符号模型符号模型模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分进行是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型简缩、抽象、提炼出来原型替换物替换物。模型模型集中反应了原型中集中反应了原型中人们需要人们需要那一部分特征那一部分特征.我们常见模型什么是数学模型什么是数学模型一、数学建模概论一、数学建模概论玩具、照片玩具、照片实物模型实物模型第2页数学模型数学模型 (Mathematical Model)数学建模数学建模（Mathematical Modeling)数学建模数学建模指建立数学模型全过程。指建立数学模型全过程。包含模型建立、求解、分析、检验包含模型建立、求解、分析、检验。数数学学模模型型对对于于一一个个现现实实对对象象，为为了了一一个个特特定定目目标标，依依据据其其内内规规律律，作作出出必必要要简简化化假假设设，利利用用适适当当数数学学工工具，得到一个具，得到一个数学结构数学结构。数数学学建建模模是是利利用用数数学学方方法法处处理理实实际际问问题题一一个个实实践践过过程程.即即经经过过抽抽象象、简简化化、假假设设、引引进进变变量量等等处处理理过过程程后后,将将实实际际问问题题用用数数学学方方式式表表示示，以以建建立立起起数数学学模型模型,然后利用先进数学方法及计算机技术进行求解然后利用先进数学方法及计算机技术进行求解.观点：观点：“所谓所谓高科技高科技就是一个就是一个数学技术数学技术”数量关系数量关系第3页1.解释解释孟德尔遗传定律孟德尔遗传定律“3:1”数学建模数学建模三大功效三大功效解释解释,判断判断,预见预见 美美国国原原子子能能委委员员会会提提出出以以下下处处理理浓浓缩缩放放射射性性废废物物：封封装装入入密密封封性性很很好好坚坚固固圆圆桶桶中中，沉沉入入300ft海海里里，而而一一些些工工程程师师提提出出质质疑疑？需需要要判判断断方方案案合合理理性。性。2.判断判断放射性废物处理放射性废物处理3.预见预见谷神星发觉谷神星发觉行星轨道行星轨道半径半径水、金、地、火、木、土水、金、地、火、木、土1781年,利用这个结果发觉了天王星,18，发觉了谷神星与3对应(有故事)，之后还发觉了海王星、冥王星。第4页你碰到过数学模型你碰到过数学模型航行问题航行问题用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：求解得到求解得到 x=20=20,y=5,=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里.甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行公里，船从甲到乙顺水航行需需30小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度小时，问船速度是多少？是多少？第5页航行问题建立数学模型基本步骤航行问题建立数学模型基本步骤 作出简化假设作出简化假设(船速、水速为常数船速、水速为常数,方向一致方向一致);用符号表示相关量用符号表示相关量(x,y表示船速和水速表示船速和水速)；用用物物理理定定律律(匀匀速速运运动动距距离离等等于于速速度度乘乘以以 时时间间)列出数学式子列出数学式子(二元一次方程二元一次方程)；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20公里）。公里）。第6页录象机计数器用途录象机计数器用途问问题题经经试试验验，一一盘盘录录像像带带从从头头走走到到尾尾，时时间间用用了了183分分30秒秒，计计数数器器读读数数从从0000变变到到6152。在在一一次次使使用用中中录录像像带带已已经经转转过过大大半半，计计数数器器读读数数为为4580，问问剩剩下下 一一 段段 还还 能能 否否 录录 下下1小小 时时 节节 目目？要要求求不但仅回答下列问题不但仅回答下列问题,而且建立计数器读而且建立计数器读数与录数与录像像带转过时间带转过时间关系关系一个数学模一个数学模型型!思索思索本题中计数器读数是均匀增加吗？本题中计数器读数是均匀增加吗？日常问题：日常问题：常见录音机转轴转动是匀速吗常见录音机转轴转动是匀速吗?第7页第8页第9页问问 题题 分分 析析录象机计数器工作原理录象机计数器工作原理0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头主动轮主动轮压轮压轮计数器计数器录象带录象带录象带运动方向录象带运动方向录象带运动录象带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录象带运动速度是常数录象带运动速度是常数计数器读数增加变慢计数器读数增加变慢观察或分析观察或分析:计数器读数增加越来越慢！计数器读数增加越来越慢！第10页模 型 假 设 录象带运动速度是常数录象带运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录象带厚度录象带厚度(含夹在两圈间空隙含夹在两圈间空隙)为常数为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建 模 目 建立建立时间时间t与读数与读数n之间关系之间关系(设设v，k，w，r 为已知参数为已知参数)第11页模 型 建 立建立建立t与与n函数关系有各种方法函数关系有各种方法:1.右轮盘转过第右轮盘转过第 i 圈半径为圈半径为r+wi,m圈总长度圈总长度 等于录象带在时间等于录象带在时间t内移动长度内移动长度vt,所以所以第12页模 型 建 立2.考考查查右右轮轮盘盘面面积积改改变变,等等于于录录象象带带厚厚度度乘乘以以转转过长度过长度,即即3.考考查查t到到t+dt录录象象带带在在右轮盘缠绕长度右轮盘缠绕长度,有有第13页思思 考考1.31.3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果2.2.模型中有待定参数模型中有待定参数 确定参数一个方法是测量或调查，试设计测确定参数一个方法是测量或调查，试设计测量方法量方法参数预计参数预计.第14页参 数 估 计将模型改记作将模型改记作只需预计只需预计理论上，已知理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组再有一组(t,n)数据即可；数据即可；实际上实际上,因为测试有误差因为测试有误差,最好用足够多数据作拟合。最好用足够多数据作拟合。若现有一批测试数据若现有一批测试数据：用用最小二乘法最小二乘法可得可得t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152第15页模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用1.回答提出问题：由模型算得回答提出问题：由模型算得 n=4580 时时 t=118.5分分,剩下录象带能录剩下录象带能录 183.5-118.5=65分钟节目，能够录分钟节目，能够录制制60分钟节目。分钟节目。2.揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规这一普遍规 律，当录象带状态改变时，只需重新预计律，当录象带状态改变时，只需重新预计 a,b 即可。即可。第16页基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析依依据据对对客客观观事事物物特特征征认认识识，找找出出反反应应内部机理数量规律。内部机理数量规律。将将研研究究对对象象看看作作“黑黑箱箱”,经经过过对对量量测测数数据据统计分析，找出与数据拟合最好模型统计分析，找出与数据拟合最好模型二者结合二者结合 机理分析建立模型结构机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数测试分析确定模型参数 数学建模方法和步骤数学建模方法和步骤机理分析机理分析没有统一方法，主要经过没有统一方法，主要经过实例研究实例研究(Case Studies)来学习来学习.以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析.第17页数数 学学 建建 模模 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型组成模型组成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用第18页数学模型分类：数学模型分类：按研究按研究方法和对象数学特征方法和对象数学特征分：初等模型、分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。型、逻辑模型、稳定性模型等。按研究按研究对象实际领域对象实际领域（或所属学科）分：（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。模型、经济模型、社会模型等。为为了了便便于于学学习习掌掌握握，可可对对数数学学模模型型做做适适当当分类：分类：第19页数数 学学 建建 模模 重重 要要 意意 义义 电子计算机出现及飞速发展电子计算机出现及飞速发展 数学以空前广度和深度向一切领域渗透数学以空前广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视。越来越受到人们重视。数学建模数学建模计算机技术计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济知识经济第20页四、近几年全国大学生数学建模竞赛题四、近几年全国大学生数学建模竞赛题1994A逢山开路B锁具装箱1995A一个飞行管理问题Bv天车与冶炼炉作业调度1996A洗衣机节水问题Bv最优打鱼问题1997Av零件参数设计B最优截断切割问题1998Av投资收益和风险B灾情巡视路线灾情巡视路线第21页1999A自动化车床管理自动化车床管理B钻井布局钻井布局ADNADNA序列分类序列分类B钢管订购和运输钢管订购和运输A血管三维重建血管三维重建B公交车调度公交车调度A彩票问题彩票问题B车灯优化设计车灯优化设计ASARSSARS预测预测B露天矿车辆安排露天矿车辆安排Av奥运会暂时超市网点设计Bv电力市场输电阻塞管理 第22页Av 长江水质评价和预测 BDVDDVD在线租赁在线租赁 Av出版社资源配置 Bv艾滋病疗法评价及疗效预测 Av中国人口增加预测 B乘公交，看奥运乘公交，看奥运A数码相机定位数码相机定位 B高等教育学费标准探讨高等教育学费标准探讨 Av制动器试验台控制方法分析 Bv眼科病床合理安排 Av储油罐变位识别与罐容表标定 Bv上海世博会影响力定量评定 第23页 怎怎 样样 学学 习习 数数 学学 建建 模模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术!技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人作过模型学习、分析、评价、改进他人作过模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识创新意识第24页数学建模论文结构数学建模论文结构1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文件、参考文件9、附录、附录3、模型假设、模型假设谢谢 谢谢 ！第25页例例1 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题符号表示符号表示“一笔画问题一笔画问题”(抽象分析法抽象分析法)游戏问题游戏问题图论图论(创始人欧拉创始人欧拉)完美回答完美回答连通图中至多两结点度数为奇数，连通图中至多两结点度数为奇数，则该图可一笔画则该图可一笔画.二、初等模型二、初等模型第26页第27页第28页(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例例2 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题模型表示模型表示：建立建立(人人,狗狗,鸡鸡,米米)4维维0/1向量向量;是一个简单游戏，但能够建立经典计算机编是一个简单游戏，但能够建立经典计算机编程求解。程求解。如如:(1,0,1,0)表示狗、米已过河表示狗、米已过河,人、鸡没有人、鸡没有等等;可取状态：可取状态：24610种种可取过河方式可取过河方式：4种种(1100)(1010)(1001)(1000)运算方式：运算方式：按位异或运算按位异或运算(xor)第29页例：一次运算过程例：一次运算过程(1111)xor(1100)(1010)(1001)(1000)(0011)(0101)(0110)(0111)XOXX图论解法：图论解法：(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)第30页 示例示例3 椅子能在不平地面上放稳吗椅子能在不平地面上放稳吗?问题问题四条腿一样长方四条腿一样长方椅子一定能在任意不平地面上放稳椅子一定能在任意不平地面上放稳吗吗?模型假设模型假设模型组成模型组成椅脚连线为正方形椅脚连线为正方形ABCD(如右图如右图).t 椅子绕中心点椅子绕中心点O旋转角度旋转角度f(t)A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f(t),g(t)01.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚连线呈正方形脚连线呈正方形;2.地面高度是连续改变，沿任何方向都不会出现间断地面高度是连续改变，沿任何方向都不会出现间断(没有没有像台阶那样情况像台阶那样情况)，即地面可视为数学上连续曲面，即地面可视为数学上连续曲面;3.对于椅脚间距和椅腿长度而言，地面是相对平坦，使椅子对于椅脚间距和椅腿长度而言，地面是相对平坦，使椅子任何位置最少有三只脚同时着地。任何位置最少有三只脚同时着地。第31页模型组成模型组成由假设由假设1，f和和g都是连续函数都是连续函数 由假设由假设3，椅子在任何位置最少有三，椅子在任何位置最少有三只脚同时着地：对任意只脚同时着地：对任意t，f(t)和和g(t)中最少中最少有一个为有一个为0。当。当t=0时时,不妨设不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证实以下数学命题：原题归结为证实以下数学命题：已知已知f(t)和和g(t)是是t连续函数连续函数,对任意对任意t,f(t)g(t)=0,且且g(0)=0,f(0)0。则存在。则存在t0，使，使f(t0)=g(t0)=0模型模型求解求解最终，因为最终，因为f(t)g(t)=0，所以，所以f(t0)=g(t0)=0。令令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)0和h()0，由，由f和和g连续性知连续性知h也是连续也是连续函数。依据连续函数基本性质函数。依据连续函数基本性质,必存在必存在t0（0t00可可知知g()0,f()=0 第32页方法方法总结总结1)一个变量一个变量t表示位置；表示位置；2)引入距离函数引入距离函数(只设两个只设两个)；3)证实技巧证实技巧转动转动90度。度。模型模型推广推广1)若对象是若对象是4条腿同长长方形条腿同长长方形桌子，结果怎样？桌子，结果怎样？2)某某甲甲早早8时时从从山山下下旅旅店店出出发发沿沿一一路路径径上上山山，下下午午5时时抵抵达达山山顶顶并并留留宿宿。次次日日早早8时时沿沿同同一一路路径径下下山山，下下午午5时时回回到到旅旅店店。某某乙乙说说，甲甲必必在在两两天天中中同同一一时时刻刻经经过过路路径径中中同同一一地地点点，为为何何？(数学解法、巧妙形象解法数学解法、巧妙形象解法)第33页建模示例建模示例4 4 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从河河小船小船(至多至多2人人)随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就就杀人越货杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(A到到B或或B到到A)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河!第34页模型组成xk第第k次渡河前次渡河前A岸商人数岸商人数yk第第k次渡河前次渡河前A岸随从数岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程状态过程状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决议决议 D=(u,v)u+v=1,2 允许决议集允许决议集合合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk+(-1)k dk 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)抵达抵达sn+1=(0,0).多步决议问题第35页模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机图图解解法法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决议允许决议D 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上右上移移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思索规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从情况名商人各带一随从情况d1d11允许状态允许状态SS=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2D=(u,v)u+v=1,2 第36页建模示例建模示例5 5 报童诀窍！报童诀窍！问问题题:报报童童天天天天清清晨晨从从报报社社购购进进报报纸纸零零售售，晚晚上上将将没没有有卖卖掉掉报报纸纸退退回回。设设报报纸纸每每份份购购进进价价为为b，零零售售价价为为a，退退回回价价为为c。请请为为该该报报童童策策划划一一下下，他他应应怎怎样样确确定天天购进报纸数量，以取得最大收入？定天天购进报纸数量，以取得最大收入？假设和分析:1.设设abc,且普通地且普通地a-bb-c;2.需求量是随机，不过有规律需求量是随机，不过有规律,能够经过市场调查能够经过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内天天报纸和经验统计其规律，比如在其销售范围内天天报纸需求量为需求量为r概率是概率是f(r)(r=0,1,2,.)一个概率一个概率分布分布;3.若设其购进若设其购进n份报纸，天天报童销售净收益是随机份报纸，天天报童销售净收益是随机!于是讨论其平均净收益于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益期望收益),以下以下第37页平均净收益平均净收益G(n)(期望收益期望收益)：问题转化为：问题转化为：模型建立模型建立一个离散概率模型：一个离散概率模型：最大化期望收益最大化期望收益模型求解模型求解求导等技巧直接不能用！求导等技巧直接不能用！数学模型数学模型,姜启源编姜启源编P273：将离散量：将离散量r看成连续看成连续量，这时上面求和可改为积分，深入就能够求导量，这时上面求和可改为积分，深入就能够求导(利用变限积利用变限积分函数求导法则分函数求导法则)，寻找其极值点！，寻找其极值点！下面给出另一个不一样方法！下面给出另一个不一样方法！第38页分析分析G(n)改变量改变量G(n)=G(n)-G(n-1)：相当于求相当于求G(n)稳定点！稳定点！含义？含义？第39页相当于球相当于球G(n)稳定点！稳定点！结结论论：最最优优决决议议n满满足足使使需需求求量量不不超超出出n概概率率和和需需求求量量超超出出n概概率率之之比比靠靠近近(a-b)/(b-c)！或或需需求求量量不不超超出出n概概率为率为(a-b)/(a-c)赚赔比赚赔比第40页v相识问题相识问题设有设有n个人参加一个宴会，已个人参加一个宴会，已知没有些人认识全部人，问是否知没有些人认识全部人，问是否有两个人，他们认识人一样多？有两个人，他们认识人一样多？简例简例v棋子颜色改变问题棋子颜色改变问题任任意意取取黑黑白白两两种种颜颜色色棋棋子子8个个，排排成成一一个个圆圆圈圈，然然后后在在两两颗颗同同色色棋棋子子间间放放一一个个白白棋棋子子，异异色色棋棋子子间间放放一一个个黑黑棋棋子子，拿拿去去原原来来棋棋子子。屡屡次次重重复复该该过过程程后后，棋棋子子颜颜色色会会怎怎样样改改变？变？(数目不是数目不是8而是任意自然数而是任意自然数n时怎时怎样样?)鸽巢原理鸽巢原理(抽屉原理抽屉原理)第41页找关键量找关键量.1、某某人人家家住住T市市在在异异乡乡工工作作，天天天天下下班班后后乘乘火火车车于于6时时抵抵达达T市市车车站站，他他妻妻子子驾驾车车按按时时到到车车站站接接他他回回家家。一一日日他他提提前前下下班班搭搭早早一一班班火火车车于于5:30抵抵T市市车车站站，随随即即步步行行回回家家，他他妻妻子子像像往往常常一一样样驾驾车车前前来来，在在路路上上碰碰到到他他接接回回家家时时，发发觉觉比比往往常常提提前前了了10分分钟钟，问问他步行了多长时间？他步行了多长时间？假假如如相相遇遇时时车车还还是是象象往往常常一一样样前前行行会会和和往往常常一一样样回家！回家！-推出相遇时间！推出相遇时间！第42页找关键量找关键量.2、两两兄兄妹妹分分别别在在离离家家2千千米米和和1千千米米且且方方向向相相反反两两所所学学校校上上学学，天天天天同同时时放放学学后后分分别别以以4千千米米/小小时时和和2千千米米/小小时时速速度度步步行行回回家家，一一小小狗狗以以6千千米米/小小时时速速度度从从哥哥哥哥处处奔奔向向妹妹妹妹，又又从从妹妹妹妹处处奔奔向向哥哥哥哥，如如此此往返直至回家中，问小狗奔走了多少旅程？往返直至回家中，问小狗奔走了多少旅程？假假如如兄兄妹妹上上课课时时小小狗狗也也奔奔走走在在他他们们之之间间，问问当当他们抵达学校时小狗在何处？他们抵达学校时小狗在何处？第43页