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非线性方程组的数值解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第二章第二章 非线性方程数值解法非线性方程数值解法/*Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/本章主要内容:本章主要内容:1 1、二分法、二分法2 2、不动点迭代结构及其收敛性判定、不动点迭代结构及其收敛性判定(重点)(重点)3 3、Steffensen迭代迭代4 4、Newton迭代迭代(重点)(重点)5 5、割线法割线法第1页历史背景历史背景 代数方程求根问题是一个古老数学问题。理论上,代数方程求根问题是一个古老数学问题。理论上,次代次代数方程在复数域内一定有数方程在复数域内一定有 个根个根(考虑重数考虑重数)。早在。早在1616世纪就找世纪
2、就找到了三次、四次方程求根公式,但直到到了三次、四次方程求根公式,但直到1919世纪才证实大于等于世纪才证实大于等于5 5次普通代数方程式不能用代数公式求解,而对于超越方程就次普通代数方程式不能用代数公式求解,而对于超越方程就复杂多,假如有解,其解可能是一个或几个,也可能是无穷多复杂多,假如有解,其解可能是一个或几个,也可能是无穷多个。普通也不存在根解析表示式。所以需要研究数值方法求得个。普通也不存在根解析表示式。所以需要研究数值方法求得满足一定精度要求根近似解。满足一定精度要求根近似解。第2页求方程求方程 几何意义几何意义abx*三个基本问题三个基本问题存在性?假如有根,有几个?怎样求根?假
3、如函数假如函数 在在 上连续,且上连续,且则最少有一个数则最少有一个数 使得使得 ,若同时,若同时 一阶导一阶导数数 在在 内存在且保持定号,即内存在且保持定号,即 (或或 )则这么则这么 在在 内唯一。内唯一。基本定理基本定理第3页例1 求方程 有根 区间解:0 1 2 3 4 5 6-+-+有根区间 1,2,3,4,5,6。第4页1 1 二分法二分法 /*Bisection Method*/原理:原理:若若 f Ca,b,且,且 f(a)f(b)0,则,则 f 在在(a,b)上最少有一实根。上最少有一实根。基本思想:基本思想:逐步将区间分半,经过判别区间端点函数值符号,深逐步将区间分半,经
4、过判别区间端点函数值符号,深入搜索有根区间,将有根区间缩小到充分小,从而求入搜索有根区间,将有根区间缩小到充分小,从而求 出满足给定精度根出满足给定精度根 近似值。近似值。以这类推以这类推第5页终止法则?终止法则?abx1x2abWhen to stop?或或不能确保不能确保 x 精度精度x*2xx*第6页3、由二分法过程可知:由二分法过程可知:4、对分次数计算公式:对分次数计算公式:1、2、令令误差误差 分析分析第7页解解:例例2 2:用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 上根,上根,要求保留三位有效数字。要求保留三位有效数字。第8页第9页简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连
5、续即可只要连续即可).无法求复根及无法求复根及偶重根偶重根收敛慢收敛慢 注:注:注:注:用二分法求根,最好先给出用二分法求根,最好先给出 f(x)草图以确定根大约草图以确定根大约位置。或用搜索程序,将位置。或用搜索程序,将a,b分为若干小区间,对每一分为若干小区间,对每一个满足个满足 f(ak)f(bk)0 区间调用二分法程序,可找出区区间调用二分法程序,可找出区间内多个根,且无须要求间内多个根,且无须要求 f(a)f(b)0。优点优点缺点缺点第10页2 迭代法理论迭代法理论 /*Theory of Iteration Method*/f(x)=0 x=g(x)(迭代函数)(迭代函数)等价变换
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