系统预测马尔可夫预测.pptx

11、Markov过程n状态与状态转换 若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集E=E1,E2,En中，且仅出现其中一个，则称事件EiE为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状态Ei。状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。一、一、Markov预测原理预测原理2一、一、Markov预测原理预测原理nMarkov过程 现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。时间和状态都离散的一系列马尔可夫过程的整体又称为马尔可夫链。32、状态转移概率矩阵 设系统共有N个状态，记作S1，S2，SN，则用状态向量S1，S2，,SNT表示。设在tn-1时刻系统处在Si状态之下，tn时刻系统状态变为Sj，则称在第n次状态转移中，系统由状态Si转移到Sj，且这种状态转移的概率记为pxn=Sj|xn-1=Si pij (i,j=1,N；n=1,2,)这里pij与n无关，只与i,j有关，即只与转移前后的状态有关，称为马尔可夫链的一步转移概率。一、一、Markov预测原理预测原理4例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。还车机场风景区宾馆租车机场风景区宾馆0.80.20.20.200.200.80.6一、一、Markov预测原理预测原理5n一步转移概率矩阵 如果系统有N个状态，则一步转移概率矩阵如下：一、一、Markov预测原理预测原理6n概率矩阵的特点n n 正规概率矩阵 若概率矩阵P的m次幂Pm的所有元素皆为正，则该概率矩阵P称为正规概率矩阵。n 固定向量 当任一非零向量u=(u1 u2 un)乘以某nn方阵A，其结果仍为u，即uA=u时，u为A的固定向量。一、一、Markov预测原理预测原理7n正规概率矩阵的性质n正规概率矩阵P有一个固定概率向量u，且u的元素皆为正，此向量叫做特征向量。n正规概率矩阵P的各次幂序列P，P2，P3，将趋向于方阵U，且U的每一行均为其固定概率向量u。n若F为任一概率向量，则向量序列FP，FP2，FP3，将趋近于P的固定概率向量u。一、一、Markov预测原理预测原理8n正规马尔可夫链及其稳定状态 若某事物状态转移概率可以表达为正规概率矩阵，则该马尔可夫链就是正规的，通过若干步转移，最终会达到某种稳定状态，即其后再转移一次、二次、，结果不再变化，这时稳定状态可用行向量X表示，可见该行向量可见该行向量可见该行向量可见该行向量X X就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。一、一、Markov预测原理预测原理9n固定概率向量的求解示例 例2：设某事物从状态S1、S2、S3转移到状态S1、S2、S3的转移概率矩阵为正规概率矩阵P，一、一、Markov预测原理预测原理10 稳态时的特征向量 可求解如下：解此联立方程式得解此联立方程式得X=(0.4,0.2,0.4)一、一、Markov预测原理预测原理11 例3：已知一步转移概率矩阵如下，判断马尔可夫链是否正规，若正规求出其稳定状态。一、一、Markov预测原理预测原理12nk步转移概率矩阵 事物经过k步转移的转移概率记为 p(Sn+k=j/Sn=i)=pij(k)，i,j=1,2,N,则如下矩阵即为k步转移概率矩阵 一、一、Markov预测原理预测原理13可以证明：即即k步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵的步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵的k次幂。次幂。一、一、Markov预测原理预测原理14由定义可知：P（K）=P（K-1）P =P（K-2）P2 =P（K-3）P3 =P（K-K+1）PK-1 =PPK-1 =PK 即，K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的K次方。15应用条件n应用马尔柯夫预测法进行预测时，首先必须将研究的问题归纳成独立的状态；n其次是要确定经过一个时期后，时间由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：1.只与目前状态有关；2.与具体的时间周期无关；3.预测期间，状态的个数必须保持不变。16步骤 如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：第一步，确定系统的状态；第二步，确定转移概率矩阵；第三步，进行预测。17例4n某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。二、商品销售额预测二、商品销售额预测18表1 各月商品销售额 单位：万元月 数 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额 40 45 80 120 110 38 40 50月 数 9 10 11 12 13 14 15 16销售额 62 90 110 130 140 120 55 70 月 数 17 18 19 20销售额 45 80 110 120 19解：n划分状态。n按销售额多少作为划分状态的标准。n状态1滞销：销售额60万元；n状态2平销：60万元销售额100万元；n状态3畅销：销售额100万元。20则各状态出现的次数Mi为：M1=7；M2=5；M3=8。根据统计数据计算比例数，建立状态转移概率矩阵。21由状态i转移为状态j的次数记为Mij，n则有：nM11=3；M12=4；M13=0；nM21=1；M22=1；M23=3；nM31=2；M32=0；M33=5。n在计算时，最后一个数据转移到哪个状态时未知的，所以不参加计算。22转移概率n以转移次数Mij与状态次数Mi之比作为转移概率，则转移概率Pij=Mij/Mi。n各转移概率为：nP11=3/7；P12=4/7；P13=0；nP21=1/5；P22=1/5；P23=3/5；nP31=2/7；P32=0；P33=5/7。23预测第21月的销售额n因为第20月的销售属状态3，而状态3经过一步转移达到状态1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33P31P32，所以第21月仍处于状态3的概率最大，即销售额超过100万元的可能性最大。24三、市场占有率预测n在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业经营管理中的一项重要工作。下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场占有率的预测的分析。25条件n设市场中提供某种商品的厂商共有n家。当前的市场占有率,即本期市场占有率为：n用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时，Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。26转移概率矩阵n对于整个市场中各厂商的顾客的转移概率，可用转移概率矩阵表示：27市场占有率n对于未来一个时期的市场占有率，n有：28上式表明，n对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。n将上式写成矩阵形式，有：29结论n即：S（t+1）=S（t）Pn下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。30同理，n若S（t-1）表示上期市场占有率，S（t）表示本期市场占有率，n则S（t）=S（t-1）P。n本期市场占有率取决于上期市场占有率和转移概率，而与上期以前时期的市场占有率无关。n对市场占有率的预测是符合马尔柯夫原理的，因此可以利用马尔柯夫的理论和方法进行市场占有率的预测。31K期市场占有率的预测n设当前状态为初始状态，那么对于下一期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过一步转移所达到的状态。即：S（1）=S（0）P。n若假定各期的转移概率不变，则那么对于下K期市场占有率的预测，可以看成是在当前状态下经过K步转移所达到的状态。即：S（K）=S（0）PK。32例5n已知市场上有A、B、C三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：n试求本月和下月的市场占有率。33解：n依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即S（0）=(0.3 0.4 0.3），则本月市场占有率为S（1），下月市场占有率为S（2），34由马尔柯夫预测法有：n本月市场占有率S（1）=S（0）Pn =（0.25 0.37 0.38）n下月市场占有率S（2）=S（1）Pn =（0.225 0.347 0.428）n计算结果表明A、B、C三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为：25%，37%和38%；下月的市场占有率分别为：22.5%，34.7%和42.8%。35S（2）的计算亦可采用下式nS（2）=S（1）P=S（0）P2n即可认为是在初始状态经过二步转移后所达到的状态。n那么对于K个时期后的市场占有率的预测，则可由初始状态S（0）与市场的转移概率矩阵P的K次方的乘积求得。即：nS（K）=S（0）PK。36例6n有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：052、030、018。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表7-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。37表3 企业占有顾客变化情况 单位：人企业 上月占有顾客数 本月流动情况 A B C A 520 312 156 52 B 300 105 105 90 C 180 18 36 126本月占有顾客数 435 297 26838解：1确定初始状态。n以上月各企业的市场占有率为初始状态，S（0）=(0.52 0.30 0.18）。392确定转移概率矩阵。n转移概率矩阵可以反映企业现有顾客在下一周期仍购买该企业产品的顾客人数的百分比，即保有率；和在下一周期转向购买其它企业产品顾客人数的百分比，即转出率。根据顾客人数转移的数据，计算出保有率和转出率，作为转移概率，组成转移概率矩阵。40表4 企业转移概率计算表出 入 A B C A 312520=0.60 156520=0.30 52520=0.10B 105300=0.35 105300=0.35 90300=0.30C 18180=0.10 36180=0.20 126180=0.70 41上表结果用矩阵形式表示为：423.计算本期市场占有率。n假设分析期内转移概率不变（即顾客的偏好不变），根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率S（1）=S（0）P。n即：n S（1）=（0.435 0.297 0.268）434.后续周期趋势预测n若以本月为第一个月,则第K个月的市场占有率为S（K）=S（0）PK。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。n根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表7-4：44表4 逐期市场占有率计算表预测期 市场占有率 K SA（K）SB（K）SC（K）1 0.4350 0.2970 0.2680 2 0.3918 0.2881 0.3202 3 0.3679 0.2824 0.3497 4 0.3555 0.2791 0.3663 5 0.3471 0.2773 0.3766 6 0.3429 0.2763 0.3808 7 0.3405 0.2757 0.3838 8 0.3392 0.2754 0.3854 9 0.3384 0.2752 0.3863 10 0.3380 0.2751 0.3868 11 0.3378 0.2751 0.3871 12 0.3376 0.2750 0.387445分析n（1）A企业和B企业产品的市场占有率逐期下降，并且A企业产品的市场占有率下降幅度较大；n（2）C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。n（3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。465长期市场占有率预测稳定状态分析n企业产品的市场占有率的稳定状态是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的状态。从例7-3可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，趋近于不变，即处于稳定状态。47稳定状态n根据对稳定状态的分析可知，稳定状态时，上期状态经过一步转移后其状态应当不变。即相邻两个时期各企业产品的市场占有率分别相同，n即S（K+1）=S（K）P=S（K）48各企业产品的市场占有率n若以 SA（K）、SB（K）、SC（K）分别代表稳定状态下A、B、C各企业产品的市场占有率，则：49根据以上稳定条件，得联立方程组：n0.6SA（K）+0.35SB（K）+0.1SC（K）=SA（K）n0.3SA（K）+0.35SB（K）+0.2SC（K）=SB（K）n0.1SA（K）+0.3SB（K）+0.7SC（K）=SC（K）nSA（K）+SB（K）+SC（K）=150解上述联立方程得：nSA（K）=0.3375，nSB（K）=0.2750，nSC（K）=0.3875。n即系统稳定时，A、B、C各企业产品的市场占有率分别为33.75%，27.5%，38.75%。51A、B两家毛巾厂的市场销售调查表如下，假设每年两家毛巾厂的总销售量为定数，而引起两个厂家各自销量增减的主要原因是由于厂家的营销策略、产品质量造成的。对两家毛巾厂的市场占有率进行预测。时间A厂B厂销售量（万条）顾客销售量（万条）顾客老顾客（万人）由B转（万人）老顾客（万人）由A转（万人）19951996200217160178.54038.5300283280260.52012.5三、市场占有率预测三、市场占有率预测思考题：思考题：52机器设备在良好和损坏两种状态之间的转移：p11：某时良好到下一时刻保持良好的概率；p12：某时良好到下一时刻转为故障的概率；p21：某时故障到下一时刻转为良好的概率；p22：某时故障到下一时刻未能修复的概率；四、设备维修方面的应用四、设备维修方面的应用53思考题：设某车间里的机器出故障的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少?四、设备维修方面的应用四、设备维修方面的应用