附录I截面的几何性质.pptx

3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系结论：截面对形心轴的静矩恒为结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。，反之，亦然。4.组合截面的静矩组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:例例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴轴的静矩。的静矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为Oxyb(y)yd yhb例：试计算图示截面形心例：试计算图示截面形心C的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为1、2两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy112010 xx8010yC(y,x)矩形矩形I矩形矩形II代入组合截面的形心坐标公式代入组合截面的形心坐标公式解得：解得：I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)所以所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxdA3.惯性积惯性积（其值可为正、负或（其值可为正、负或0，单位，单位:m4 或或 mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0 0。结论：结论：4.4.惯性半径惯性半径（单位（单位m 或或 mm）OxyyxdA例例 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y的惯性矩。的惯性矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy同理同理yhCx dyyb(a)例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。惯性矩。xdyyx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，所以所以所以所以-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。C为为其其形形心心，Cxcyc为为形形心心坐坐标标系系。与与该该形形心心坐坐标标轴轴分分别别平平行行的的任任意意坐坐标标系系为为Oxy,形形心心C在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a,b)任任意意微微面面元元dA在在两两坐坐标标系系下的坐标关系为：下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：同理，有：（此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。2.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：例：求图示直径为例：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴xc的的惯性矩。惯性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标xyb(y)ycCdxc（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc例：试求图例：试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3p（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩：-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新坐标系和新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy112.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。思思考考：O为为直直角角三三角角形形ABD斜斜边边上上的的中中点点，x、y轴轴为为过过点点且且分分别别平平行行于于两两条条直直角角边边的的两两根根轴轴，关关于于惯惯性性积和惯性矩有四种答案积和惯性矩有四种答案(已知已知ba)：（A）Ixy （B）Ixy (C)Ixy=（D）Ix=Iy正确答案是正确答案是(C)xABDyOab