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第四章群论及应用.pptx
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1、$4-1群的定义和基本概念1 为什么要学群论1、物理与化学的许多研究对象与对称性联系。2、表象 本质3、光谱4、简化计算(如判断积分是否为零)二 群的定义一个集合G(A,B,C,)如果满足条件:1)封闭性 2)缔合性:3)单位元素 4)逆元素 三 子群 如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H,则群H称作群G的子群。有二个平凡子群(非真子群)E(单位元素)和 G(G群本身)其它为真子群四 共轭元素与类1)共轭元素:设A,B,X是一个群的任何三个元素,若满足则称A,B相互共轭。(相似变换)2)类的定义:相互共轭的元素的集合称为一个共轭类。一个类中包含的元素数目称作它的阶。3)共轭元素的性质
2、(1)每个元素自身共轭。(为什么?)(X=E)(2)A与B共轭,则B与A共轭(相互)(3)A与B共轭,A与C共轭,则B与C共轭。(传递性)(4)群中二个不同类没有共同元素(从传递性可以证明)(5)单位元素自成一类 因为(6)对易群每个元素自成一类 对易群:AB=BA(7)一个类中所有元素都有相同的周期a 什么是周期?(则n 称为A的周期)b 证明:因为(逆定理不成立)(逆定理不成立)(8)若两元素(对称操作)同类,则两对称元素可经某一操作使之重合。(化学中用于判断方法)如NH3中的3个对称面是同类。而水分子中二个对称面则不同类。又如苯分子中的二次轴五 同构与同态1、同构:设有两个同阶的群:它们
3、的元素之间一一对应并满足下列性质则:称G与G同构。2、同态:设有两个不同阶的群:若G中任何一个元素都可以在G中找到一个元素和他对应,并满足下列性质(,不一定不同)则:称G与G同态。六 特征标(实为矩阵内容,群通过矩阵表示)1、定义:(矩阵的迹)2、AB与BA有相同的特征标 证明:3、共轭矩阵特征标相同七 直积如果有两个群:如果它们的元素彼此相乘的意义明确,并且相互对易:则可以定义一个更大的群G,G为G1和G2的直接乘积G1G2G中包含的每一个元素都可以唯一地写成GiGj例如:定义直积直积群有如下性质:1、各个直因子的共同元素只有单位元素。2、各个直因子都是G的不变子群$4-2 分子点群$4-3
4、 群表示理论一、什么是群表示?群G(对称群)用同构或同态的矩阵群来表示。1、基矢变换和坐标变换、基矢变换和坐标变换 进行对称操作,就是把物体各点的位置按一定规律变动。这样有两种表示方法两种表示方法:给定坐标系给定坐标系,物体的各点的坐标按一定规律变换。坐标系变化坐标系变化,物体中各点坐标变化情况。(1)基矢变换(坐标系旋转)坐标系取向改变坐标系取向改变时,空间固定点的P的坐标坐标如何变化。设有两个原来相重合的坐标系OXYZ和OXYZ(右手直角坐标系),它们的基矢分别用 和 来表示。P在OXYZ坐标系中的坐标为(x,y,z)则矢径为:(习惯上指把基矢写成行矩阵,坐标写成列矩阵)物体不动,坐标系O
5、XYZ经变换R到新的位置。P在OXYZ坐标系中的坐标为(x,y,z)则矢径 如果基矢在OXYZ坐标系中的分量用矩阵D(R)表示:(1)(2)坐标变换(物体旋转)若令物体随OXYZ坐标系一起变换R(物体运动),物体上的P点移到空间另一点P上,自然P点在OXYZ的坐标系中的坐标还是(x,y,z),设P点在OXYZ坐标系的坐标为(x,y,z),则:因为 比较(1)和(2)式,将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体作相反方向变动时,物体上各点的坐标变换情况是一样的。(2)矩阵矩阵D(R)完全反应了变换)完全反应了变换R(对称操作)的作有结果。(对称操作)的作有结果。所以把所以把D(R)称为变换)称为变换
6、R的矩阵表示。的矩阵表示。把变换看作算符 则D(R)可以表示为(3)对称操作矩阵D(R)的性质点对称操作的特点是保持两点间距不变。点对称操作的特点是保持两点间距不变。设Q(x,y,z)和Q(x,y,z)为其中任意两点。则矢量的长度在R的作用下保持不变。矢量和在R的作用下,长度,夹角都不变。所以 故有 矩阵的转置所以表明表明D(R)变换矩阵是一个正交变换矩阵。)变换矩阵是一个正交变换矩阵。意义:+1 对应第一类操作(实操作),-1对应第二类操作(虚操作)。2、对称操作群的矩阵的表示(1)的表示(绕Z轴旋转)(请注意,作用对象不同,表示不同(基矢不同,表示不同)以x,y为基 (Px,Py)可以证明
7、:正交矩阵(以及前面的D矩阵性质)以Z(Pz)为基。Z=Z 以X,Y,Z(Px,P,y,Pz)为基同理,以同理,以(x,z,y),(z,x,y)等等(2)群各元素的表示 YX以(X,Y)为基 以Z为基 以RZ为基 以(以(X,Y,Z),(),(PX,PY,PZ),(),(X,Y,Z,RZ),),(PX,PY,PZ,RZ),),5个个d 轨道等轨道等3、可约表示、不可约表示从上面结果可见:从上面结果可见:(1)基不同,表示不同,基无穷,表示无穷。(2)等价表示(等价表示的共同特征,特征标相同,矩阵的迹。)(3)不等价表示 问题转化为研究不等价不等价的酉酉表示表示。(选正交归一的基组)可约表示和不
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