趣味数学牛吃草问题.pptx

牛吃草问题（牛顿问题）（牛顿问题）牛吃草问题最先在牛顿的普牛吃草问题最先在牛顿的普通算术中出现，他提出一个通算术中出现，他提出一个非常有趣的问题：有一片牧场，非常有趣的问题：有一片牧场，已知有已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；如果有如果有2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。把草吃尽。如果有牛如果有牛2121头头，几天几天能把草吃能把草吃尽？人们把这道题叫做尽？人们把这道题叫做“牛顿牛顿问题问题”，也称作，也称作“牛吃草问题牛吃草问题”。1、牛吃草问题牛顿牛顿2 2、牛顿牧场、牛顿牧场 牛顿牧场是理想牧场，在牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的。这个牧场上草是匀速生长的。3 3、牛吃草问题三部曲、牛吃草问题三部曲（1 1）先算新生草量）先算新生草量（2 2）再算原有草量）再算原有草量（3 3）最后计算问题）最后计算问题有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。把草吃尽。如果有牛如果有牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？牧草总量不知道，牧草总量不知道，它随着时间的增长而增长它随着时间的增长而增长但原来草坪上有的但原来草坪上有的草的数量是永远不变的草的数量是永远不变的有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草把草吃尽。如果有牛吃尽。如果有牛2121头头，几天几天能把能把草吃尽？草吃尽？把每头牛每天的吃草量把每头牛每天的吃草量看做看做一个单位一个单位，或者我们可以说是或者我们可以说是一份一份有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：（207-162207-162）（9-69-6）=15=15原草量：原草量：162-15162-156=726=72或或207-159=72207-159=72276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新 草地上草地上原有的草原有的草新新新新新新新新新新新新新新新新新新15156=906=90162-15162-156=726=7215头头 吃吃剩下剩下21-15=6头头72份份15份份+6头牛吃头牛吃72份草能吃几天？份草能吃几天？72（21-15）=12天天有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：（207-162207-162）（9-69-6）=15=15原草量：原草量：162-15162-156=726=72或或207-159=72207-159=72假设假设1515头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天数：的草，可吃天数：7272（21-1521-15）=12=12（天）（天）276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量例例1 牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供可供10头牛吃头牛吃20天，可供天，可供15头牛吃头牛吃10天。问：这片牧草天。问：这片牧草可供可供25头牛吃多少天？头牛吃多少天？解：假设解：假设1头牛头牛1天吃的草的数量是天吃的草的数量是1份份1020=200原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生长量天的生长量草每天的生长量：草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5原草量：原草量：200-205=100 或或150-105=1005头头 吃吃剩下剩下25-5=20头头100份份5份份+20头牛吃头牛吃100份草能吃几天？份草能吃几天？100（25-5）=5天天 自主训练自主训练自主训练自主训练 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供这片牧场上的草可供这片牧场上的草可供这片牧场上的草可供9 9头牛吃头牛吃头牛吃头牛吃2020天，可供天，可供天，可供天，可供1515头牛吃头牛吃头牛吃头牛吃1010天，天，天，天，如果要供如果要供如果要供如果要供1818头牛吃，可吃几天？头牛吃，可吃几天？头牛吃，可吃几天？头牛吃，可吃几天？解：假设解：假设1头牛头牛1天吃的草的数量是天吃的草的数量是1份份920=180原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生长量天的生长量草每天的生长量：草每天的生长量：（180-150）（20-10）=3原草量：原草量：180-203=120 或或150-103=1203头头 吃吃剩下剩下18-3=15头头120份份3份份+15头牛吃头牛吃120份草能吃几天？份草能吃几天？120（18-3）=8 天天例例2 2：有一块牧场，可供：有一块牧场，可供1010头牛吃头牛吃2020天，天，1515头牛头牛吃吃1010天，则它可供多少头牛吃天，则它可供多少头牛吃4 4天？天？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。1020=200原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（200-150200-150）（20-1020-10）=5=5原草量：原草量：200-5200-520=10020=100或或150-510=100150-510=100假设假设5 5头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的100100份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？1001004=254=25（头）（头）共有多少头牛呢？共有多少头牛呢？25+5=25+5=3030（头）（头）【自主训练自主训练】有一块牧场，可供有一块牧场，可供5 5头牛吃头牛吃2020天，天，6 6头牛吃头牛吃1515天，则它可供多少头牛吃天，则它可供多少头牛吃6 6天？天？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。520=100原草量原草量+20天的生长量天的生长量615=90原草量原草量+15天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（100-90100-90）（20-1520-15）=2=2原草量：原草量：100-2100-220=6020=60或或90-215=6090-215=60假设假设2 2头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的6060份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？60606=106=10（头）（头）共有多少头牛呢？共有多少头牛呢？10+2=1210+2=12（头）（头）例例3 3：有一片牧场，：有一片牧场，2424头牛头牛6 6天可以将草吃完，天可以将草吃完，或或2121头牛头牛8 8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？至多可以放牧几头牛？246=144原草量原草量+6天的生长量天的生长量218=168原草量原草量+8天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（168-144168-144）（8-28-2）=5=5设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。例例4 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入了一些水，如果用现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，人舀水，3小时舀小时舀完，如果只有完，如果只有5个人舀水，要个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在小时才能舀完，现在想在6小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？解：假设解：假设1人人1小时舀小时舀1份水份水123=36份份原水量原水量+3小时进水量小时进水量510=50份份原水量原水量+10小时的进水量小时的进水量每小时的进水量：每小时的进水量：（50-36）（10-3）=2份份原水量：原水量：36-32=30份份 或或50-102=30份份30份份2份份+30份水需要几个人份水需要几个人6小时舀完？小时舀完？306=5（人）（人）2人人5+2=7（人）（人）复习复习 1 1、几天把草吃完、几天把草吃完?2 2、这片草地够多少头牛吃、这片草地够多少头牛吃?自主训练自主训练自主训练自主训练 水库水量定，河水均匀入库，水库水量定，河水均匀入库，水库水量定，河水均匀入库，水库水量定，河水均匀入库，5 5台抽水台抽水台抽水台抽水机连续机连续机连续机连续2020天可抽干；天可抽干；天可抽干；天可抽干；6 6台同样的抽水机连续台同样的抽水机连续台同样的抽水机连续台同样的抽水机连续1515天可抽干天可抽干天可抽干天可抽干若要求若要求若要求若要求6 6天抽干，需要多少台同样的抽水机天抽干，需要多少台同样的抽水机天抽干，需要多少台同样的抽水机天抽干，需要多少台同样的抽水机?解：假设解：假设1台抽水机台抽水机1天抽天抽1份水份水520=100原水量原水量+20天进水量天进水量615=90原水量原水量+15天的进水量天的进水量每分钟的进水量：每分钟的进水量：（100-90）（20-15）=2原水量：原水量：100-202=60 或或90-152=60 60份份2份份+60份水需要几台抽水机份水需要几台抽水机6天抽完？天抽完？606=10（台）（台）2台台共需要共需要10+2=12（台）（台）例例5 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开开4 4个检票口需个检票口需3030分钟，同时开分钟，同时开5 5个检票口需个检票口需2020分钟。如果分钟。如果同时打开同时打开7 7个检票口，那么需要多少分钟？个检票口，那么需要多少分钟？假设每分钟每个检票口进的人数为假设每分钟每个检票口进的人数为1份份430=原有等待的人数原有等待的人数+30分钟新增的人数分钟新增的人数520=原有等待的人数原有等待的人数+20分钟新增的人数分钟新增的人数每分钟新增的人数每分钟新增的人数=（430-520）（30-20）=2（份）（份）原有等待的人数原有等待的人数=430-302=60（份）（份）专门安排专门安排2个检票口检新增加的人个检票口检新增加的人60（7-2）=12（分钟）（分钟）例例6 6：林子里有猴子喜欢吃的野果，：林子里有猴子喜欢吃的野果，2323只猴子只猴子可在可在9 9周内吃光，周内吃光，2121只猴子可在只猴子可在1212周内吃光，周内吃光，问如果有问如果有3333只猴子一起吃，则需要几周吃光只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）？（假定野果生长的速度不变）例例7 7：有一片青草，每天的生长速度都是相同：有一片青草，每天的生长速度都是相同的，已知这片青草可供的，已知这片青草可供1515头牛吃头牛吃2020天，或者天，或者是供是供3333头牛吃头牛吃1212天，如果一头牛的吃草量等天，如果一头牛的吃草量等于于4 4只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么8 8头牛与头牛与6464只羊一起只羊一起吃，可以吃上多少天？吃，可以吃上多少天？1515头牛头牛2020天天3333头牛头牛1212天天8 8头牛头牛+64+64只羊只羊几天？几天？6464只羊只羊=16=16头牛，相当于求头牛，相当于求2424头牛吃几天的问题头牛吃几天的问题例例6 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃头牛吃5天，或可供天，或可供15头牛吃头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃天。照此计算，可供多少头牛吃10天？天？解：假设解：假设1头牛头牛1天吃的草的数量是天吃的草的数量是1份份205=100份份原草量原草量-5天的减少量天的减少量156=90份份原草量原草量-6天的减少量天的减少量草每天的减少量：草每天的减少量：（100-90）（6-5）=10份份原草量：原草量：100+510=150份份90+610=150份份剩下剩下150-100=50份份150份份10份份-50份草可供多少头牛吃份草可供多少头牛吃10天？天？（150-1010）10=5头头10天减少天减少1010=100份份自主训练自主训练 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃头牛吃8天，天，可供可供25头牛吃头牛吃9天，那么可供天，那么可供21头牛吃几天？头牛吃几天？解：假设解：假设1 1头牛头牛1 1天吃的草的数量是天吃的草的数量是1 1份份308=240份份原草量原草量-8天的减少量天的减少量259=225份份原草量原草量-9天的减少量天的减少量草每天的减少量：草每天的减少量：（240-225）（9-8）=15份份原草量：原草量：240+815=360份份 或或220+915=360份份21份份15份份+每天吃每天吃21份份360（21+15）=10天天每天减少每天减少15份份例例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每级梯级，女孩每分钟走分钟走15级梯级，结果男孩用了级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用分钟到达楼上，女孩用了了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？205=自动扶梯的级数自动扶梯的级数-5分钟减少的级数分钟减少的级数156=自动扶梯的级数自动扶梯的级数-6分钟减少的级数分钟减少的级数男孩：男孩：女孩：女孩：每分钟减少的级数每分钟减少的级数=(205-156)(6-5)=10(级级)自动扶梯的级数自动扶梯的级数=205+510=150（级）（级）自主训练自主训练自主训练自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走男孩每秒可走男孩每秒可走男孩每秒可走3 3级阶梯，女孩每秒可走级阶梯，女孩每秒可走级阶梯，女孩每秒可走级阶梯，女孩每秒可走2 2级阶梯，结果从扶级阶梯，结果从扶级阶梯，结果从扶级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了梯的一端到达另一端男孩走了梯的一端到达另一端男孩走了梯的一端到达另一端男孩走了100100秒，女孩走了秒，女孩走了秒，女孩走了秒，女孩走了300300秒。秒。秒。秒。问该扶梯共有多少级？问该扶梯共有多少级？问该扶梯共有多少级？问该扶梯共有多少级？3100=自动扶梯级数自动扶梯级数+100秒新增的级数秒新增的级数2300=自动扶梯级数自动扶梯级数+300秒新增的级数秒新增的级数自动扶梯级数自动扶梯级数=（2300-3100）（300-100）=1.5（级）（级）每秒新增的级数：每秒新增的级数：3100-1001.5=150（级）（级）自主训练自主训练自主训练自主训练 盛德美盛德美盛德美盛德美9 9时开门营业，开门前就有人等候入场，时开门营业，开门前就有人等候入场，时开门营业，开门前就有人等候入场，时开门营业，开门前就有人等候入场，如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那么开么开么开么开4 4个门等候的人全部进入商场要个门等候的人全部进入商场要个门等候的人全部进入商场要个门等候的人全部进入商场要8 8分钟，开分钟，开分钟，开分钟，开6 6个门等候个门等候个门等候个门等候的人全部进入商场只要的人全部进入商场只要的人全部进入商场只要的人全部进入商场只要4 4分钟，问：如果开分钟，问：如果开分钟，问：如果开分钟，问：如果开3 3个门，最后一个门，最后一个门，最后一个门，最后一个顾客到达时是几时几分？个顾客到达时是几时几分？个顾客到达时是几时几分？个顾客到达时是几时几分？假设每分钟每个检票口进的人数为假设每分钟每个检票口进的人数为假设每分钟每个检票口进的人数为假设每分钟每个检票口进的人数为1 1份份份份48=原有等待的人数原有等待的人数+8分钟新增的人数分钟新增的人数64=原有等待的人数原有等待的人数+6分钟新增的人数分钟新增的人数每分钟新增的人数每分钟新增的人数=（48-64）（8-4）=2（份）（份）原有等待的人数原有等待的人数=48-82=16（份）（份）16 （3-2）=16（分钟）（分钟）60-16=44（分钟）（分钟）答：如果开答：如果开答：如果开答：如果开3 3个门，最后一个顾客到达时是个门，最后一个顾客到达时是个门，最后一个顾客到达时是个门，最后一个顾客到达时是8 8时时时时44 44 分分分分 。例例6 有有3个牧场长满草，第一牧场个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供公亩，可供22头牛吃头牛吃54天，第二牧场天，第二牧场28公亩，可供公亩，可供17头牛吃头牛吃84天，第三牧场天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃公亩，可供多少头牛吃24天？天？解：假设解：假设1头牛头牛1天吃天吃1份草份草2254=1188份份平均每公顷有草量：平均每公顷有草量：118833=36份份第二块草量为：第二块草量为：1784=1428份份平均每公顷有草量：平均每公顷有草量：142828=51份份第一块草量为：第一块草量为：每公亩草每天的生长量为：每公亩草每天的生长量为：（51-36）（84-54）=0.5份份每公亩的草量：每公亩的草量：36-540.5=9份份或或51-840.5=9份份（409+400.524）24=35（头）（头）第三块牧场可供：第三块牧场可供：自主训练自主训练自主训练自主训练 一个牧场上长满了青草，这些牧草可供一个牧场上长满了青草，这些牧草可供一个牧场上长满了青草，这些牧草可供一个牧场上长满了青草，这些牧草可供5 5只羊只羊只羊只羊吃吃吃吃3030天，或者可供天，或者可供天，或者可供天，或者可供7 7只羊吃只羊吃只羊吃只羊吃2020天，现在牧场上有天，现在牧场上有天，现在牧场上有天，现在牧场上有8 8只羊，只羊，只羊，只羊，1010天后，有天后，有天后，有天后，有2 2只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的草吃完？草吃完？草吃完？草吃完？解：假设解：假设1只羊只羊1天吃天吃1份草份草草每天的生长量为：草每天的生长量为：（530-720）（30-20）=1份份原有的草量为：原有的草量为：530-301=120份份或或720-201=120份份7只羊只羊10天吃掉多少份？天吃掉多少份？710=70份份原有的草量还剩多少份？原有的草量还剩多少份？50 5=10 天天还剩几只羊？还剩几只羊？12070=50份份72 =5 只只多少天吃完？多少天吃完？