近世代数图形的对称变换群.pptx
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1、 2024/6/25 周二周二 04:05近世代数近世代数第二章第二章群论群论11图形的对称变换群、群的应用图形的对称变换群、群的应用 2024/6/25 周二周二 04:05一、图形的对称变换群一、图形的对称变换群定义定义1:使图形不变形地变到与它重合的变使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换换称为这个图形的对称变换.定义定义2:图形的一切对称变换关于变换的乘图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群,称为这个图形的法构成群,称为这个图形的对称变换群对称变换群.2024/6/25 周二周二 04:05例例1正三角形的对称变换群正三角形的对称变换群.设正三角形的三个顶点分别为设正三
2、角形的三个顶点分别为1、2、3.显然,正三角形的每一对称变换都导致正三显然,正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换角形的三个顶点的唯一一个置换.反之,反之,由由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换,从而可用三角形的唯一一个对称变换,从而可用表示正三角形的对称变换群表示正三角形的对称变换群.2024/6/25 周二周二 04:05其中其中(1)为恒等变换为恒等变换,(12),(13),(23)分分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(123),(132)分别表示关于
3、正三角形的中分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转心按逆时针方向旋转120度、度、240度的旋转变度的旋转变换换.2024/6/25 周二周二 04:05例例2正方形的对称变换群正方形的对称变换群.正方形的四个顶点分别可用正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示来表示.于是正方形的每一对称变换可用一于是正方形的每一对称变换可用一个个4次置换来表示次置换来表示.显然,显然,不同的对称变换不同的对称变换所对应的置换也不同,而对称变换的乘积对所对应的置换也不同,而对称变换的乘积对应了置换的乘积应了置换的乘积.这说明,正方形的对称变换这说明,正方形的对称变换群可用一置换群来表示群可用一置换群来
4、表示.2024/6/25 周二周二 04:05容易看出容易看出,正方形的对称变换有两类正方形的对称变换有两类:第一类第一类:绕中心的分别旋转绕中心的分别旋转90度,度,180度,度,270度,度,360度的旋转,度的旋转,这对应于置换这对应于置换(1234),(13)(24),(1432),(1).第二类第二类:关于正方形的关于正方形的4条对称轴的反射条对称轴的反射,(12)(34),(24),(14)(23),(13).这对应于置换这对应于置换所以所以,正方形的对称变换群有上述正方形的对称变换群有上述 8个元素个元素.这是四次对称群的一个子群这是四次对称群的一个子群.2024/6/25 周二
5、周二 04:05S(K)=(1),(1234),(13)(24),(1432),(14)(23),(12)(34),(24),(13)平面上正方形平面上正方形ABCD的对称变换群的对称变换群 2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05:2024/6/25 周二周二 04:05定理定理1 正正n边形的对称变换
6、群阶为边形的对称变换群阶为2n.这种群称这种群称为为2n 元二面体群元二面体群.记为记为Dn 2024/6/25 周二周二 04:05D6123456 2024/6/25 周二周二 04:05二、置换类型二、置换类型个个2-循环,循环,个个n-循环循环组成,则称组成,则称型置换,型置换,其中其中例:例:中中是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个一个一个n次置换次置换,如果其循环置换分解式,如果其循环置换分解式是由是由个个1-循环,循环,2024/6/25 周二周二 04:05三、项链问题三、项链问题问题的提法:问题的提法:用用n种颜色的珠子做成有种
7、颜色的珠子做成有m颗珠子的项链,颗珠子的项链,问可做成多少种不同类型的项链?问可做成多少种不同类型的项链?这里所说的不同类型的项链,指两个这里所说的不同类型的项链,指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。2024/6/25 周二周二 04:05数学上的确切描述数学上的确切描述 设由设由设由设由mm颗珠子做成一个项链,可用一个正颗珠子做成一个项链,可用一个正颗珠子做成一个项链,可用一个正颗珠子做成一个项链,可用一个正mm边形边形边形边形来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它,它的每个顶
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