逼近拟合中的基本概念.pptx
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1、引言引言插值问题中插值问题中控制误差的度量标准控制误差的度量标准几个概念几个概念常用范数常用范数其它概念其它概念内积的概念内积的概念有关定理有关定理(证明见证明见P66)P66)称为格拉姆称为格拉姆(Gram)(Gram)矩阵,则矩阵,则G G非奇异的充分必非奇异的充分必要条件是要条件是u u1 1,u,un n线性无关线性无关权函数的概念权函数的概念定义定义 设设 称称 为函数为函数 在区间在区间a,ba,b上的内积上的内积.其中其中 为区间为区间a,ba,b上的权函数上的权函数,且满足且满足下面两个条件下面两个条件:函数内积的定义函数内积的定义容易验证容易验证,上述定义的函数内积满足一般内
2、积概念中四上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质条基本性质.函数的欧几里得范数函数的欧几里得范数定义定义 设设 称称为函数为函数f(x)f(x)的欧几里得范数的欧几里得范数,或或2 2范数范数.数据拟合数据拟合函数逼近函数逼近最佳一致逼近最佳一致逼近最佳平方逼近最佳平方逼近超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解仍然是已知仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个简单易求一个简单易算的近似函数算的近似函数 P(x)f(x)。但是但是 m 很大;很大;yi 本身是测量值,不准确,即本身是测量值,不准确,即 yi f(xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 P
3、(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。常见做法:常见做法:使使 最小最小/minimax problem/太复杂太复杂 使使 最小最小不可导,求解困难不可导,求解困难 使使 最小最小 /Least-Squares method/多项式拟合多项式拟合最小二乘拟合最小二乘拟合多项式多项式 /L-S approximating polynomials/对应法方程(或正规方程组对应法方程(或正规方程组/normal equations/)为:为:回归系数回归系数/regression coefficients/定理定理5.证明:证明:记法方程组为记法方程组为 Ba=c.则有则有 其中其中对任意
4、对任意 ,必有,必有 。若不然,则若不然,则存在一个存在一个 使得使得 即即是是 n 阶多项式阶多项式的根的根则则 B为为正定阵正定阵,则非奇异,所以法方程组,则非奇异,所以法方程组存在唯一存在唯一解。解。广义多项式拟合广义多项式拟合定义定义线线性性无无关关/linearly independent/函函数数族族 0(x),1(x),n(x),满足条件:其中任意函数的线性组合满足条件:其中任意函数的线性组合 a0 0(x)+a1 1(x)+an n(x)=0 对任意对任意 x a,b成立成立当且仅当当且仅当 a0=a1=an=0。定义定义考考虑虑一一般般的的线线性性无无关关函函数数族族=0(x
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