2023年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑺.doc
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1、初一数学竞赛讲座第7讲 立体图形空间形体想象能力是小学生一种重要数学能力,而立体图形学习对培养这种能力十分有效。咱们虽然在书本上已经学习了某些简朴立体图形,如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体,但有关立体图形概念还需要深化,空间想象能力还需要提高。将空间位置关系转化成平面位置关系来处理,是处理立体图形问题一种常用思绪。一、立体图形表面积和体积计算例1 一种圆柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯内侧底面积是72cm2,在这个杯中放进棱长6cm正方体铁块后,水面没有沉没铁块,这时水面高多少厘米?解:水体积为722.5=180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为72-66=32(cm2)
2、柱体,因此它高为18032=5(cm)。例2 下图体现一种正方体,它棱长为4cm,在它上下、先后、左右正中位置各挖去一种棱长为1cm正方体,问:此图表面积是多少? 分析:正方体有6个面,而每个面中间有一种正方形孔,在计算时要减去小正方形面积。各面又挖去一种小正方体,这时要考虑两头小正方体与否接通,这与表面积有关系。由于大正方体棱长为4cm,而小正方体棱长为1cm,因此没有接通。每个小正方体孔共有5个面,在计算表面积时都要考虑。解:大正方体每个面面积为44-11=15(cm2),6个面面积和为156=90(cm2)。小正方体每个面面积为11=1(cm2),5个面面积和为15=5(cm2),6个小
3、正方体孔表面积之和为56=30(cm2),因而所求表面积为9030=120(cm2)。想一想,当挖去小正方体棱长是2cm时,表面积是多少?请同学们把它计算出来。例3 正方体每一条棱长是一种一位数,表面每个正方形面积是一种两位数,整个表面积是一种三位数。并且若将正方形面积两位数中两个数码调过来则恰好是三位数十位与个位上数码。求这个正方体体积。解:根据“正方体每一条棱长是一种一位数,表面每个正方形面积是一种两位数,整个表面积是一种三位数”条件,可知正方体棱长有5,6,7,8,9这五种也许性。根据“将正方形面积两位数中两个数码调过来恰好是三位数十位上与个位上数码”,可知这个正方体棱长是7。如右表:因
4、而这个正方体体积是777=343。例4 一种长、宽和高分别为21cm,15cm和12cm长方体,现从它上面尽量大地切下一种正方体,然后从剩余某些再尽量大地切下一种正方体,最终再从第二次剩余某些尽量大地切下一种正方体,剩余体积是多少立方厘米?解:根据长方体长、宽和高分别为21cm,15cm和12cm条件,可知第一次切下尽量大正方体棱长是12cm,其体积是121212=1728(cm3)。这时剩余立体图形底面形状如图1,其高是12cm。这样,第二次切下尽量大正方体棱长是9cm,其体积是999=729(cm3)。这时剩余立体图形可分割为两某些:一某些底面形状如图2,高是12cm;另一某些底面形状如图
5、3,高是3cm。这样,第三次切下尽量大正方体棱长是6cm,其体积是666=216(cm3)。因而,剩余体积是211512-(1239363)=3780-2673=1107(cm3)。阐明:假如手头有一种泥塑长方体和小刀,那么做出这道题并不难。但实际上,咱们并没有依赖于详细模型和工具,这就是想象力作用。咱们正是在原有感性经验基本上,想象出切割后立体形状,并通过它们各个侧面形状和大小体现出来。因而,对一种立体图形,应当尽量地想到它原型。例5右图是一种长27cm,宽8cm,高8cm长方体。现将它分为4某些,然后将这4某些重新组拼,能重组为一种棱长为12cm正方体。请问该怎么分?解:重构成正方体棱长是
6、12cm,而已知长方体宽是8cm,因此要把宽增长4cm,为此可按右图1中粗线分开,分开重构成图2形状;图2高是8cm,也应增长4cm,为此可按图2中虚线分开,分开后重构成图3形状。图3就是所构成棱长为12cm正方体。阐明:这里有一种朴素思想,就是设法把局限性12cm宽和高补成12cm棱长,同步按照某种对称方式分割。在解有关立体图形问题时,需要有较丰富想象力,要能把平面图形在头脑中“立”起来,此外还应有一定作图本领和看图能力。例6 雨哗哗地不停地下着,如在雨地里放一种如右图那样长方体容器(单位:厘米),雨水将它下满要用1时。有下列(1)(5)不一样容器,雨水下满各需多长时间?解:根据题意知雨均匀
7、地下,即单位面积内降雨量相似。因此雨水下满某容器所需时间与该容器容积和接水面(敞开某些)面积之比有关。由于在例图所示容器中:需1时接满,因此二、立体图形侧面展开图例7 右图是一种立体图形侧面展开图(单位:cm),求这个立体图形表面积和体积。解:这个立体图形是一种圆柱四分之一(如右上图),圆柱底面半径为10cm,高为8cm。它表面积为 例8 右图是一种正方体,四边形APQC体现用平面截正方体截面。请在右下方展开图中画出四边形APQC四条边。解:把空间图形表面线条画在平面展开图上,只要抓住四边形APQC四个顶点所在位置这个关键,再深入确定四边形四条边所在平面就可轻易地画出。(1)考虑到展开图上有六
8、个顶点没有标出,可想象将展开图折成立体形,并在顶点上标出对应符号,见右图。(2)根据四边形所在立体图形上位置,确定其顶点所在点和棱,以及四条边所在平面:顶点:AA,CC,P在EF边上,Q在GF边上。边AC在ABCD面上,AP在ABFE面上,QC在BCGF面上,PQ在EFGH面上。(3)将上面确定位置标在展开图上,并在对应平面上连线。需要注意是,立体图上A,C点在展开图上有三个,B,D点在展开图上有二个,因此在标点连线时必要注意连线所在平面。连好线图形如右上图。例9 如右图所示,剪一块硬纸片可以做成一种多面体纸模型(沿虚线折,沿实线粘)。这个多面体面数、顶点数和棱数总和是多少?解:从展开图可以看
9、出,粘合后多面体有12个正方形和8个三角形,共20个面。这个多面体上部中间是一种正三角形,这个正三角形三边与三个正方形相连,这样上部共有9个顶点,下部也同样。因而,多面体顶点总数为 92=18(个)。在20个面边中,虚线有19条,实线有34条。由于每条虚线体现一条棱,两条实线体现一条棱,因此多面体总棱数为19342=36(条)。综上所述,多面体面数、顶点数和棱数之和为20+183674。阐明:数学家欧拉曾给出一种公式:VF-E2。公式中V体现顶点数,E体现棱数,F体现面数。根据欧拉公式,懂得上例多面体面数和顶点数之后,棱数便可求得:E=VF-2=2018-2=36(条)。三、立体图形截面与投影
10、例10 用一种平面去截一种正方体,可以得到几边形?解:如下图,可得到三角形、四边形、五边形和六边形。 例11 一种棱长为6cm正方体,把它切开成49个小正方体。小正方体大小不必都相似,而小正方体棱长以厘米作单位必要是整数。问:可切出几种不一样尺寸正方体?每种正方体个数各是多少?解:13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216。假如能切出1个棱长为5cm正方体,那么别旳只能是棱长为1cm正体体,共切出小正方体:1(63-53)1=92(个)。由于9249,因此不也许切出棱长为5cm正方体。假如能切出1个棱长为4cm正方体,那么别旳只能是棱长为1cm或2cm正方体。设切出
11、棱长为1cm正方体有a个,切出棱长为2cm正方体有b个,则有设切出棱长为1cm正方体有a个,棱长为2cm正方体有b个,棱长为3cm正方体有c个,则解之得a=36,b=9,c=4。因此可切出棱长分别为1cm,2cm和3cm正方体,其个数依次为36,9和4。例12 既有一种棱长为1cm正方体,一种长宽为1cm高为2cm长方体,三个长宽为1cm高为3cm长方体。右侧图形是把这五个图形合并成某一立体图形时,从上面、前面、侧面所看到图形。试运用下面三个图形把合并成立体图形(如上图)样子画出来,并求出其表面积。解:立体图形形状如右图所示。从上面和下面看到形状面积都为9cm2,共18cm2;从两个侧面看到形
12、状面积都为7cm2,共14cm2;从前面和背面看到形状面积都为6cm2,共12cm2;隐藏着面积有2cm2。一共有181612246(cm2)。练习7 1一种长方体水箱,从里面量得长40cm,宽30cm,深35cm,里面水深10cm。放进一种棱长20cm正方体铁块后,水面高多少厘米?2王师傅将木块刨成横截面如右图(单位:cm)那样高40cm一种棱柱。虚线把横截面提成大小两某些,较大那某些面积占整个底面60。这个棱柱体积是多少立方厘米?3在底面为边长60cm正方形一种长方体容器里,直立着一根高1m,底面为边长15cm正方形四棱柱铁棍。这时容器里水半米深。目前把铁棍轻轻地向正上方提起24cm,露出
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