2023年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc
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1、全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选用题(每题7分,共42分)1设实数a,b,c满足:,则( )A. 0B. 3C. 6D. 92若抛物线与x轴只有一种公共点,且过点A(m,n),B(m8,n),则n( )A. 8B. 12C. 16D. 24ABCDEF3矩形ABCD中,AD5,AB10,E、F分别为矩形外两点,BEDF4,AFCE3,则EF( )AB15CD4已知O为标原点,位于第一象限点A在反比例函数图象上,位于第二象限瀹B在反比例函数图象上且OAOB,则tanABO值为( )ABC1D25已知实数x(y满足关系式,则最小值为( )ABC1D6设n是不不小于100正整数且使是15倍
2、数,则符合条件所有正整数n和是( )A285B350C540D635二、填空题(每题7分,共28分)ABCDFOE7设a,b是一元二次方程两根,则值为 .8从三边长均为整数且周长为24三角形中任取一种,它是直角三角形概率为 .9已知锐角ABC外心为O,AO交BC于D,E、F分别为ABD、ACD外心,若ABAC,EFBC,则CB .10将数字1,2,3,34,35,36填在66方格中,每个方格填一种数字,规定每行数字从左到右是从小到大次序,则第三列所填6个数字和最小值为 .第一试(B)一、选用题(每题7分,共42分)1设实数a,b,c满足:,则( )A. 12B. 9C. 6D. 32若抛物线与
3、x轴只有一种公共点,且过点A(m,n),B(m8,n),则n( )A. 8B. 12C. 16D. 243矩形ABCD中,AD5,AB10,E、F分别为矩形外两点,BEDF4,AFCE3,则EF( )AB15CD4已知实数x,y满足关系式,则最大值为( )A3B6C9D125已知O为坐标原点,位于第一象限点A在反比例函数图象上,位于第二象限点B在反比例函数图象上,且OAOB,则tanABO值为( )ABC1D26设n是不不小于100正整数且使是6倍数,则符合条件所有正整数n和是( )A784B850C1536D1634二、填空题(每题7分,共28分)AOBDC7设a,b是一元二次方程两根,则值
4、为 .8三边长均为整数且周长为24三角形个数为 .9C、D两点在以AB为直径半圆周上,AD平分BAC,AB20,AD,则AC长为 .10在圆周上按序摆放和为15五个互不相等正整数a,b,c,d,e,使得abbccddeea最小,则这个最小值为 .第二试(A)1(20分)有关x方程有且仅有一种实数根,求实数m取值范围.ABCDPFNEM2(25分)如图,圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E,且ACBD,ABAC. 过点D作DFBD,交BA延长线于点F,BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.(1)证明:BAD3DAC;(2)假如,证明:MNMD.3(25分)设正整数m,n满足:有关x方程
5、至少有一种正整数解,证明:.第二试(B)1(20分)若正数a,b满足ab1,求最小值.2(25分)如图,圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E,且ACBD,ABACBD. 过点D作DFBD,交BA延长线于点F,BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.ABCDFMEN(1)证明:BAD3DAC;(2)假如MNMD,证明:BFCDDF.3(25分)若有关x方程至少有一种正整数根,求满足条件正整数k值.全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试(A)1. 解:D. 提醒:,.2. 解:C. 提醒:依题意,有,于是可得.抛物线与x轴只有一种公共点,.因而.ABCDEFG3. 解:C. 提醒:易知AF
6、DBEC90,BECDFA,DAFBCE.延长FA,EB交于点G.GAB90DAFADF,GBA90CBEBCEDAF,BGAAFD,且AGB90,AG8,BG6,GF11,GE10,.4. 解:A. 提醒:过点A、B分别作ACx轴,BDx轴,垂足为C、D.由OAOB得AOB90,于是可得AOCOBD,.5. 解:B. 提醒:设,则由题设条件可知,x,y是有关m一元二次方程两个实数根,于是有:,解得或.又,当(即)时,获得最小值,最小值为.6. 解:D. 提醒:是15倍数,.设(m是正整数),则.是15倍数,是3倍数,或,其中k是非负整数.或,其中k是非负整数.符合条件所有正整数n和是.7.
7、解:11. 提醒:a,b是一元二次方程两根,.8. 解:. 提醒:设三角形三边长为a,b,c(),则,故a也许取值为8,9,10或11,满足题意数组(a,b,c)可觉得:(8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6),(10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6).共12组,其中,只有一组是直角三角形三边长,所求概率为.9. 解:60. 提醒:作EMBC于点M,FNBC于点N,FPEM于点P.ABCMNDFOEPE、F分别为ABD、ACD外心,M、N分别为BD、CD中点.又E
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