一阶微分方程解法及应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、一阶微分方程解法及应用一阶微分方程解法及应用 习题课习题课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 第七章第七章(1)三、课外练习题三、课外练习题10/10/1 1高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课第1页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:区分方程类型区分方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因
2、变量因变量代换代换某组合式某组合式几个标准类型几个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程P315 题题710/10/2 2第2页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1 1 求以下方程通解求以下方程通解求以下方程通解求以下方程通解提醒提醒:(1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解10/10/3 3第3页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程,令令 y=u x,化为化为分分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量地位调换自变量与
3、因变量地位调换自变量与因变量地位调换自变量与因变量地位,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解.化为化为化为化为10/10/4 4第4页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程.*方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程(下册内容下册内容).10/10/5 5第5页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 此方程为一个可分离变量微分方程分离此方程为一个可分离变量微分方程分离因因变量,变量,得得例例2 求解方程求解方程 两边积分,得两边积分,得即
4、得原方程通解即得原方程通解10/10/6 6第6页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例3 求解方程求解方程 ,作变换作变换 ,移项,得移项,得则有则有10/10/7 7第7页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课两边积分,得两边积分,得将将 代入,有代入,有即满足初始条件解为即满足初始条件解为由初始条件由初始条件 ,即原方程解为即原方程解为10/10/8 8第8页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 原方程变形为原方程变形为即即例例4 求微分方
5、程求微分方程 通解通解此是关于函数此是关于函数 一阶线性非齐次线性微一阶线性非齐次线性微由求解公式得由求解公式得分方程,分方程,10/10/9 9第9页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课10/10/1010第10页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例5 5 求以下方程通解求以下方程通解求以下方程通解求以下方程通解:提醒提醒:(1)令令 u=x y,得得(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为P315 题题710/10/1111第11页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课令令 y=u
6、 t(齐次方程齐次方程)令令 t=x 1,则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为10/10/1212第12页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课练习题练习题练习题练习题:求以求以为通解微分方程为通解微分方程.提醒提醒:消去消去 C 得得 求以下微分方程通解求以下微分方程通解:提醒提醒:令令 u=x y,化成可分离变量方程化成可分离变量方程:P353P353 题题题题1 1,2 2,3(1),(2),(3),(5),(10)3(1),(2),(3),(5),(10)P353 题题2P353 题题310/10/1313第13页高高高高 等等等等 数
7、数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课提醒提醒:可化为可化为关于关于 x 一阶线性方程一阶线性方程提醒提醒:这是一阶线性方程这是一阶线性方程,其中其中10/10/1414第14页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课原方程化为原方程化为,即即则则故原方程通解故原方程通解提醒提醒:令令10/10/1515第15页高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课分离变量,得分离变量,得两边积分,得两边积分,得例例6 求解微分方程求解微分方程 解法解法1作代换作代换 ,此方程为齐次方程,此方程为齐次方程,则有则有10/10/1616第16页高
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