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人教版高中数学课标教材（人教版高中数学课标教材（A A版）版）普通高中课程标准试验教科书选修普通高中课程标准试验教科书选修1-2,2-31-2,2-3统计案例统计案例简简 介介天津八中天津八中 陈健陈健欢迎光临,请多指导 10/10/12:00 AM第1页两种统计方法：两种统计方法：回归分析回归分析和和独立性检验独立性检验都是惯用，在统计学中占有很主要地位。都是惯用，在统计学中占有很主要地位。统计方法处理问题过程：统计方法处理问题过程：确定总体、选择适当变量、搜集数据、确定总体、选择适当变量、搜集数据、分析整理数据、进行决议或预测。分析整理数据、进行决议或预测。第2页数学数学1 1数学数学3 3数学数学4 4数学数学2 2数学数学5 5选修选修2-32-3选修选修2-22-2选修选修2-12-1选修选修1-21-2选修选修1-11-1选修选修3-3-5 5选修选修3-3-4 4选修选修3-3-3 3选修选修3-3-2 2选修选修3-3-1 1选修选修3-3-6 6选修选修4-4-1010选修选修4-4-9 9 选修选修4-34-3选修选修4-4-2 2选修选修4-14-1系列1系列2系列3系列4选修必修第3页v数学3：统计：随机抽样、用样本预计总体、变量间相关关系概率：随机事件概率、古典概型、几何概型v选修2-3(选修1-2)：概率：离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量均值与方差、正态分布回归分析基本思想及其初步应用、独立性检验基本思想及其初步应用v选修4-9 风险与决议第4页v统计学关注是怎样探知由观察数据获取知识中不确定性度量，以及怎样明确在最小损失下最优决议。第5页1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验第6页1.教学目标a.经过经典案例探究，深入了解线性回归模型相关知识，包含残差变量起源、模型诊疗初步知识、应用回归模型处理非线性相关关系问题，深入了解回归分析基本思想、方法及其初步应用。第7页b.经过经典案例探究，了解独立性检验（只要求22列联表）基本思想、方法及其初步应用。1.教学目标第8页1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验第9页2.结构设置与课时分配统计案例（10课时）独立性检验模型（3课时）回归分析模型（4课时）实习作业与小结（3课时）第10页1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验第11页3.回归分析a.比数学3中“回归”增加内容b.回归分析知识结构图c.回归分析教学提议第12页a.比数学3中“回归”增加内容必修数学必修数学已学回归内容已学回归内容1.1.画散点图画散点图2.2.了解最小二乘法思想，了解最小二乘法思想，最小二乘预计计算公式最小二乘预计计算公式3.3.求回归直线方程求回归直线方程y ybxbxa a4.4.用回归直线方程处理应用回归直线方程处理应用问题（进行预报）用问题（进行预报）选修数学选修数学2 23 3新增内容新增内容1.1.引入引入一元一元线性回归模型线性回归模型y ybxbxa ae e2.2.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e e产产生原因生原因3.3.了解相关指数了解相关指数 R R2 2 和模型拟和模型拟合效果之间关系合效果之间关系4.4.了解残差图作用（异常数据了解残差图作用（异常数据识别方法、模型改进）识别方法、模型改进）5.5.利用线性回归模型处理一类利用线性回归模型处理一类非非线性回归问题线性回归问题6.6.正确了解统计分析方法与结正确了解统计分析方法与结果果第13页3.回归分析a.比数学3中“回归”增加内容b.回归分析知识结构图c.回归分析教学提议第14页问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析相关指数散点图线性相关系数应用第15页3.回归分析a.比数学3中“回归”增加内容b.回归分析知识结构图c.回归分析教学提议第16页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关系数、相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第17页函数模型与“回归模型”关系函数模型：回归模型：样本点在函数曲线上样本点不在回归函数曲线上y=f(x)y=f(x)+e1993中国GDP散点图第18页函数模型与“回归模型”关系函数模型：回归模型：确定性关系确定性关系y=f(x)y=f(x)+e 自变量取值一定时，因变量取值带有一定自变量取值一定时，因变量取值带有一定随随机性机性两个变量之间关系叫做两个变量之间关系叫做相关关系相关关系。1）：相关关系是一个不确定性关系；）：相关关系是一个不确定性关系；对含有相关关系两个变量进行统计分对含有相关关系两个变量进行统计分析方法叫析方法叫回归分析回归分析。2）：）：注注不确定性关系不确定性关系第19页函数模型与“回归模型”关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：预报变量y完全由解释变量x 和随机误差e确定解释变量x（身高）随机误差e（其它全部变量）预报变量y（体重）无法得到残差变量值，但却能够预计它，对它进行分析。无法得到残差变量值，但却能够预计它，对它进行分析。第20页线性回归模型线性回归模型 见选修见选修2-3 P83 +其中和为模型其中和为模型未知参数未知参数，e e是是y与与 之间误差之间误差,通常通常称为称为随机误差随机误差。函数模型与“回归模型”关系采取最小二乘法预计模型参数：（文科不包括）第21页这么方法叫做最小二乘法这么方法叫做最小二乘法.（数学（数学3 P92）第22页问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体和即总体和最小最小.下面是计算回归方程斜率和截距普通公下面是计算回归方程斜率和截距普通公式式.依据最小二乘法和上述公式能够求回归方程依据最小二乘法和上述公式能够求回归方程.推导过程见选修推导过程见选修2-3 P2-3 P8080第23页为了衡量预报精度为了衡量预报精度,需要预计需要预计2 2值值?公式中分母取公式中分母取n-n-2 2是为了到达更是为了到达更加好预计效果。加好预计效果。第24页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关系数、相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第25页1993中国GDP散点图 散点图与模型选择样本点呈条状且散布在样本点呈条状且散布在某一某一直线直线附近附近(线性）线性）在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表表x与与y之间关系呢？之间关系呢？第26页 散点图与模型选择散点图帮助确定可供选择模型范围，而散点图帮助确定可供选择模型范围，而模型比较则基于残差分析模型比较则基于残差分析案例案例2 2：红铃虫产卵数与温度：红铃虫产卵数与温度这些散点更像是集中在一条这些散点更像是集中在一条指数曲线指数曲线或或二次曲线二次曲线附近。附近。第27页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第28页 残差变量与模型选择残差图帮助确定异常点，以及模型改进残差图帮助确定异常点，以及模型改进方向。方向。残差图制作及作用 在残差图中寻找异常点 可能由错误数据引发 残差图趋势性分析趋势性残差图说明模型有改进余地第29页残差图制作及作用。(选修2-3P85及教参P97)坐标纵轴为残差变量，横轴能够有不一样选择。横轴为编号，能够考查残差与编号次序之 间关系，惯用于调查数据错误。横轴为解释变量，能够考查残差与解释变量关系，惯用于研究模型是否有改进余地。若模型选择正确，残差图中点应该分布在以横轴为中心带形区域。第30页在残差图中寻找异常点（远离横轴）可能由错误数据引发异常点异常点异常点身高与体重残差图身高与体重残差图第31页 残差图趋势性分析残差图含有趋势性，模型有改进余地，模型中应该添加二次项第32页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第33页残差变量起源：残差变量起源：其它原因影响。如影响身高 y 原因不只是体重 x，可能还包含遗传基因、饮食习惯、生长环境等原因。选取回归模型近似真实模型所引发误差。预报变量观察误差。身高 y 测量有误差。第34页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第35页正确了解相关系数含义总偏差平方和(,)为样本点中心x y表明两个变量之间线性相关关系强弱第36页 相关指数是度量相关指数是度量模型模型拟合效果一个指拟合效果一个指标。标。在在线性模型线性模型中，它代表解释变量刻画中，它代表解释变量刻画预报变量能力。预报变量能力。正确了解相关指数含义第37页相关指数是度量模型拟合效果一个指标。相关指数越大，模型拟合效果越好。残差(i)平方和总偏差平方和第38页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第39页 注意提炼案例所蕴含统计思想在例在例1 1结尾提到结尾提到“用身高预报体重时，需要注意用身高预报体重时，需要注意以下问题：以下问题：”，这些叙述，这些叙述适合用于全部回归模型。适合用于全部回归模型。.模型适用性；.模型时间性；.样本取值范围对模型影响；.模型预报结果正确了解。第40页 注意提炼案例所蕴含统计思想又如教科书上所列又如教科书上所列“建立回归模型基本步骤建立回归模型基本步骤”，不但适合用于线性回归模型，也不但适合用于线性回归模型，也适合用于全部回归模适合用于全部回归模型。型。.对研究对象背景分析；.利用散点图判断模型类别；.预计模型参数；.残差分析，模型诊疗。第41页1.对研究对象背景分析；编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359某大学8名女大学生身高与体重确定变量：确定变量：解释变量x（身高）预报变量y（体重）分析：因为问题中要求依据身高预报体重，所以选取身高为分析：因为问题中要求依据身高预报体重，所以选取身高为自变量，体重为因变量自变量，体重为因变量第42页 注意提炼案例所蕴含统计思想又如教科书上所列又如教科书上所列“建立回归模型基本步骤建立回归模型基本步骤”，不但适合用于线性回归模型，也不但适合用于线性回归模型，也适合用于全部回归模适合用于全部回归模型。型。.对研究对象背景分析；.利用散点图判断模型类别；.预计模型参数；.残差分析，模型诊疗。第43页.利用散点图判断模型类别；样本点呈条状分布：身高与体重有比很好线性相关关系，所以能够用线性回归方程来近似刻画。第44页 注意提炼案例所蕴含统计思想又如教科书上所列又如教科书上所列“建立回归模型基本步骤建立回归模型基本步骤”，不但适合用于线性回归模型，也不但适合用于线性回归模型，也适合用于全部回归模适合用于全部回归模型。型。.对研究对象背景分析；.利用散点图判断模型类别；.预计模型参数；.残差分析，模型诊疗。第45页.预计模型参数；设线性回归模型：y=bx+a+e采取最小二乘法预计模型参数：=ybx(xi)(yii=1n)yx(xii=1nx)2b=0.849=85.712y=0.849x85.712x=1ni=1nxiy=1ni=1nyi第46页 注意提炼案例所蕴含统计思想又如教科书上所列又如教科书上所列“建立回归模型基本步骤建立回归模型基本步骤”，不但适合用于线性回归模型，也不但适合用于线性回归模型，也适合用于全部回归模适合用于全部回归模型。型。.对研究对象背景分析；.利用散点图判断模型类别；.预计模型参数；.残差分析，模型诊疗。第47页（1 1）依据散点图来粗略判断它们是否线性相关。）依据散点图来粗略判断它们是否线性相关。（2 2）是否能够用线性回归模型来拟合数据）是否能够用线性回归模型来拟合数据（3 3）经过残差）经过残差 来判断模型拟合效果来判断模型拟合效果 这种分析工作称为这种分析工作称为残差分析残差分析.残差分析，模型诊疗。第48页.残差分析，模型诊疗。编号12345678身高/cm 165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.627 2.419-4.6181.1376.627-2.8830.382第49页.残差分析，模型诊疗。编号12345678身高/cm 165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.627 2.419-4.6181.1376.627-2.8830.382第50页总偏差平方和总偏差平方和：预：预报变量改变程度报变量改变程度回归平方和回归平方和：解释变：解释变量引发改变程度量引发改变程度残差平方和残差平方和：残差：残差变量改变程度变量改变程度预报变量改变改变之中能预报变量改变改变之中能由解释变量引发百分比由解释变量引发百分比R2越大，模型拟合效果越好。.残差分析，模型诊疗。第51页c.回归分析教学提议函数模型与“回归模型”关系散点图与模型选择残差变量与模型选择解释残差变量起源正确了解相关指数含义注意提炼案例所蕴含统计思想应用统计方法处理实际问题需要注意问题第52页 应用统计方法处理实际问题需要注意问题经过例经过例2 2，说明以下结论：，说明以下结论：对于一样数据，有不一样统计方法进行分析，要用最有效方法分析数据。（残差平方和与R2）第53页案例案例2 2：红铃虫产卵数与温度（残差分析）：红铃虫产卵数与温度（残差分析）指数模型二次模型残差平方和：相关系数R R2 2：1550.5381550.53815448.43115448.4310.980.980.800.80第54页 应用统计方法处理实际问题需要注意问题在在讲讲完完例例2 2经经过过引引导导学学生生们们讨讨论论“是是不不是是还还有有其其它它效效果果更更加加好好模模型型来来拟拟合合例例2 2中中数数据据？”，取得上述结论。，取得上述结论。第55页1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验第56页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第57页a.假设检验问题假设检验问题由两个假设检验问题由两个互斥互斥假设组成假设组成:原假设原假设，用，用H H0 0表示；表示；备择假设备择假设，用，用H H1 1表示。表示。表示式为：H0：H1：如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。原假设为：H0：吸烟与患肺癌没关系备择假设为：H1：吸烟与患肺癌有关系这个假设检验问题能够表示为：H H0 0：吸烟与患肺癌没关系 H H1 1：吸烟与患肺癌有关系第58页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第59页b.求解假设检验问题考虑假设检验问题：H0 H11.在H0成立条件下，结构与H0矛盾小概率事件；2.假如样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；不然，就说从数据中没有发觉充分证据支持H1成立。求解思绪：检验问题解：一个规则，用以判断是H0 还是H1正确。规则要在获取观察数据之前确定规则要在获取观察数据之前确定显著性水平显著性水平第60页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题2、结构随机变量3、确定拒绝域4、考查临界值5、推断结果及解释第61页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。提出假设问题：原假设 为：H0：吸烟与患肺癌没关系备择假设为：H1：吸烟与患肺癌有关系第62页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题2、结构随机变量3、确定拒绝域4、考查临界值5、推断结果及解释第63页b.求解假设检验问题求解过程：2、结构随机变量如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。结构随机变量：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n(ad-bc)2注：注：不含任何未知参数不含任何未知参数 K K2 2越越小小，原假设，原假设H H0 0成立可能性越成立可能性越大大第64页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题2、结构随机变量3、确定拒绝域4、考查临界值5、推断结果及解释第65页b.求解假设检验问题求解过程：3、确定拒绝域如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。确定拒绝域：kk0 0，+）6.635，+）注：注：6.635 6.635经统计取得经统计取得 若原假设若原假设H H0 0成立成立,则则P(KP(K2 26.635)0.016.635)0.01 其中其中0.010.01即为显著性水平即为显著性水平第66页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题2、结构随机变量3、确定拒绝域4、考查临界值5、推断结果及解释第67页b.求解假设检验问题求解过程：4、考查临界值如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。考查临界值：k k0 0依据依据K K2 2公式及实际数据计算公式及实际数据计算K K2 2观察值观察值kk56.6326.635=k k0 0不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775（a）42（b）7817（a+b）吸烟2099（c）49（d）2148（c+d）总计9874（a+c）91（b+d）9965（a+b+c+d）第68页b.求解假设检验问题求解过程：1、提出假设问题2、结构随机变量3、确定拒绝域4、考查临界值5、推断结果及解释第69页b.求解假设检验问题求解过程：5、推断结果及解释如：在“吸烟与患肺癌是否相关系”例子中。推断及解释：P(KP(K2 26.635)0.016.635)0.01，k56.6326.635k56.6326.635观察值k落在拒绝域中，拒绝原假设，即有1-把握认为备择假设成立；不然接收原假设，即没有发觉样本数据与原假设矛盾。（教参P108）依据k56.6326.635，断定原假设：（H0：吸烟与患肺癌没关系）不成立，即认为“吸烟与患肺癌相关系”或者解释为：备择假设：（H1：吸烟与患肺癌相关系）成立有99%把握认为：吸烟与患肺癌相关系只有1%成立可能第70页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第71页反证法原理：在假设一个叙述不成立前提下，假如推出一个矛盾，就证实了这个叙述成立。假设检验原理：在假设一个叙述不成立前提下，假如一个与该假设矛盾小概率事件发生，就推断这个叙述成立。c.反证法原理与假设检验原理第72页c.反证法原理与假设检验原理反证法假设检验v要证实结论A备择假设H1v在A不成立条件下进行推理v在H1不成立条件下，即H0成立条件下进行推理推出矛盾，即结论A成立v推出有利于H1成立小概率事件（概率不超出事件）发生，即H1成立可能性（可能性为1-）很大没有找到矛盾，不能对A下结论即反证法不成功v推出有利于H1成立小概率事件不发生，v即接收原假设第73页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第74页d.d.独立性检验（假设检验一个特例）检验两个分类变量 x 和 y 之间是否相关系：H0：x 和 y 之间没相关系 H1：x 和 y 之间相关系两个分类变量 x 和 y可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表（称为22列联表）为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d第75页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第76页e.e.独立性检验知识结构图分类变量之间关系条形图柱形图列联表独立性检验背景分析第77页4.独立性检验a.假设检验问题b.求解假设检验问题c.反证法原理与假设检验原理d.独立性检验e.独立性检验知识结构图f.教学提议第78页f.教学提议 关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议 关于例1教学提议 关于例2教学提议第79页不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965不患肺癌 患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d22列联表关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议第80页关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议经经过过图图形形直直观观判判断断，只只能能得得到到定定性性结结论论，无无法法知知道道所所得得结结论论可可信信程程度度及及含含义，所以需要用列联表检验。义，所以需要用列联表检验。第81页关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议经经过过图图形形直直观观判判断断，只只能能得得到到定定性性结结论论，无无法法知知道道所所得得结结论论可可信信程程度度及及含含义，所以需要用列联表检验。义，所以需要用列联表检验。不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌百分比不患肺癌百分比第82页推导统计量K2 用意是建立判定吸烟与患肺癌是否相关系指标(用于结构有利于H1成立小概率事件指标)，使同学了解：K2越大，H1成立可能性就越大。关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议这种可能性计算基于K2分布K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n(ad-bc)2第83页在教学过程中强调：只有在此条件下，才能得到这个近似公式。在教学过程中能够指出估算需要很多概率统计知识。在“吸烟与患肺癌没相关系”成立条件下，能够估算出：关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议当 n 时，变为等号。在实际应用中，当近似效果才可接收。第84页结果解释：k54.7216.635解释为有99%把握断定“吸烟与患肺癌相关”。若按以下规则进行判断，则把“吸烟与患肺癌没相关系”错判断成“吸烟与患肺癌相关系”可能性不超出0.01。规则：若K26.635，就断定“吸烟与患肺癌相关”关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议第85页关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议总结“两个分类变量独立性检验”本质问题：建立判断结论H0：分类变量X与Y之间相关系是否成立规则。判别指标：规则k0：假如kk0,判定H0成立；不然认为H0不成立。确定规则k0判定“H0成立”犯错误概率。选修2-3P95表310给出了一些规则犯错误概率。第86页 归纳两个分类变量独立性检验基本思想：当 很大时，就认为两个变量相关系；不然就认为没有充分证据显示两个变量相关系。关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议第87页在前面案例中，由 k54.7216.635 可得结论：有99%把握断定“吸烟与患肺癌有关”。其次，由 k54.72110.828 还可得结论：有99.9%把握断定“吸烟与患肺癌有关”。问题：二个结论矛盾吗？关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议可引导学生讨论下面问题，加深对假设检验问题正确了解。第88页两个结论不矛盾，它们是对两个不一样评判规则结论。结论“有99%把握断定吸烟与患肺癌相关”是相对于规则一：假如随机变量观察值大于或等于6.635就认为“吸烟与患肺癌相关系”。结论“有99.9%把握断定吸烟与患肺癌相关”是相对于规则二：假如随机变量观察值大于或等于10.828就认为“吸烟与患肺癌相关系”。第89页阀值设定v阀值设定并无客观标准，但当前统计学上习惯是将其规范化到几个惯用值：最惯用是0.05，其次是0.01，0.10，更小或更大值也能够依据情况需要去采取。v阀值人为性是一个常见现象，往往是为了将事务分类而不得已而做出一个选择。第90页f.教学提议 关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议 关于例1教学提议 关于例2教学提议第91页 关于例1教学提议例1.秃头与患心脏病 在处理实际问题时，能够直接计算K2观察值k进行独立检验，而无须写出K2推导过程。提醒学生们注意统计结果适用范围（这由样本代表性所决定）。因为这组数据来自住院病人，所以所得到结论适合住院病人群体第92页f.教学提议 关于探究吸烟与患肺癌关系教学提议 关于例1教学提议 关于例2教学提议第93页例2.性别与喜欢数学课 本例主要是使学生了解独立性检验原理。在教学过程中向同学们说明：在掌握了两个分类变量独立性检验方法之后，就能够模仿例1中计算处理实际问题，而没有必要画对应图形。图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也能够帮助我们判断所得结果是否合理 关于例2教学提议第94页10/10/12:00 AM第95页第96页