复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学函数基础知识省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章 函数n n3.1 函数基本概念n n3.2 逆函数与复合函数n n3.3 集合特征函数第1页序言n n函数回顾中学期间所学函数函数特点：自变量和应变量n n函数类型第2页3.1 函数基本概念n n一 函数及其术语定义n n定义定义3.13.1（函数）（函数）设设A A和和B B是两个任意集合，是两个任意集合，f f 是从是从A A到到B B二二元关系。若元关系。若f f 含有性质：含有性质：（1 1）f f 定义域定义域Dom f=ADom f=A；（2 2）假如）假如(a,b)(a,b)，(a,b)(a,b)f f，则，则b=bb=b。则称关系则称关系f f 是从是从A A到到B B函数，记为函数，记为f:Af:AB B，或，或A AB B。称。称b b为为a a象，象，a a为为b b原象，记为原象，记为b=f(a)b=f(a)。f f 值域记为值域记为R Rf f。又称。又称f f 为从为从A A到到B B映射。映射。第3页3.1 函数基本概念n n函数：一个特殊关系 函数关系 函数关系 给出关系，依据函数定义判定是否是函数。第4页3.1 函数基本概念n n例：设A=1,2,3,4,B=a,b,c,从A到B关系:n nR1=(1,a),(2,b),(3,c),n nR2=(1,a),(1,b),(2,b),(3,c),(4,c),n nR3=(1,a),(2,b),(3,b),(4,a)n nDR1=1,2,3A,不是函数。n nDR2=1,2,3,4=A,但(1,a),(1,b)R2,故不是函数。n nR3是函数，满足函数定义。第5页n n例：设A=,a,a，定义f:AAP(A)以下：f(x,y)=x,x,yn n判断以下各式是否成立：n n1)f(,)=n n2)f(,)=,n n3)f(a,a)=an n4)f(a,a)=a,a,an n西安交通大学西安交通大学1996年考研年考研第6页n nf(,)=,=,=n n所以1)成立，2)不成立；n nf(a,a)=a,a,an n所以3)不成立，4)成立；第7页3.1 函数基本概念n n定义定义3.2 3.2 （象，原象）（象，原象）设函数设函数f f：A AB B，X X A A，Y Y B B，定义：，定义：f(X)=f(a)|af(X)=f(a)|a XX称称f(X)f(X)是在是在f f 下下X X 象。象。f f-1-1(Y)=a(Y)=a A|f(a)A|f(a)YY称称f f-1-1(Y)(Y)是在是在f f 下下Y Y原象。原象。第8页n n例例3.3 /*3.3 /*象，原象概念象，原象概念*/*/n n设设A=1,2,3,B=a,b,c,d,g=(1,a),(2,c),A=1,2,3,B=a,b,c,d,g=(1,a),(2,c),(3,c)(3,c)从从A A到到B B一个函数。一个函数。S=1S=1，T=1,3T=1,3，U=aU=a，V=a,cV=a,c。n ng(S)=ag(S)=a，g(T)=a,cg(T)=a,cn ng g-1-1(U)=1(U)=1，g g-1-1(V)=1,2,3(V)=1,2,3第9页3.1 函数基本概念n n二 满射、内射、双射n n定义3.3（满射、内射、双射）（1）设f：AB，若Rf=B，则称f为满射（到上）。（2）设f：AB，若a1,a2A，a1a2有f(a1)f(a2)，则称f为内射（一对一）。（3）设f：AB B，若f是满射且是内射，则称f为双射（一一对应）。第10页n n例例3.4 /*3.4 /*判断满射、内射、双射判断满射、内射、双射*/*/n n设设A=a,b,c,d,B=1,2,3,4A=a,b,c,d,B=1,2,3,4，f f是从是从A A到到B B函数。函数。n n(1)f=(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)(1)f=(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)n n(2)f=(a,1),(b,3),(c,4),(d,2)(2)f=(a,1),(b,3),(c,4),(d,2)n n问问f f是满射还是内射？是满射还是内射？第11页n n例：指出以下函数是否为满射、内射和双射，并说明理由。然后依据要求进行计算，其中N为自然数集合。n n1）f:NNN，f(x,y)=x+y+1,计算f(N1)。n n2）f:NNN，f(x)=(x,x+1)，计算f0,1,2。n n北京大学北京大学1993年考研年考研第12页n n解：1）n n因为0N，不过找不出这么(x,y)NN，使得f(x,y)=0；所以f 不是满射；n n因为f(1,2)=f(2,1)=1+2+1=4，所以f 不是内射；n nf(N1)=x|xN且x2。第13页n n解：2）n n因为(1,1)NN，但找不出这么xN，使得f(x)=(1,1)，所以f 不是满射；n n对任意x,yN，f(x)=(x,x+1),f(y)=(y,y+1),假如f(x)=f(y),则(x,x+1)=(y,y+1),即得x=y。所以f 是内射。n nf0,1,2=(0,1),(1,2),(2,3)第14页n n例：设双射f f：A AB B，试结构从，试结构从P(A)P(A)到到P(B)P(B)一一个双射，并证实之。个双射，并证实之。n n武汉大学1997年考研第15页n n解：结构函数g:P(A)P(B),xP(A)，令g(x)=y，满足ax，都有f(a)y，且对于by，f-1(b)x，即y为仅由x中各元素在f作用下象组成集合。n n证实g:P(A)P(B)是双射。第16页3.1 函数基本概念n n三、不一样函数个数n n1 集合A到集合B能够定义多少个不一样函数?n n(1)集合A到集合B二元关系个数n n/*集合A到集合B二元关系是集合AB子集，所以应考查AB有多少个不一样子集，也就是考查AB幂集元素个数。*/n n因为|AB|=|B|A|,故|P(AB)|=2|A|B|，所以集合A到集合B二元关系个数是2|A|B|第17页3.1 函数基本概念n n(2)A(2)A上二元关系个数有多少个？上二元关系个数有多少个？n n设设|A|=n|A|=n，则，则A A上二元关系个数有上二元关系个数有2 2n n2 2n nA A上有多少个自反关系？上有多少个自反关系？n nA=aA=a1 1,a,a2 2,a,an n n nAA=?AA=?n n用矩阵形式表示：用矩阵形式表示：第18页3.1 函数基本概念n n自反关系一定包含(a1,a1),(a2,a2),(an,an),n n余下共有n2-n个元素，可组成2n2-n个不一样关系。n n故不一样自反关系有2n2-n个。第19页3.1 函数基本概念n n2.集合A到集合B不一样函数个数n n/*依据函数定义，AB子集不一定是A到B函数。*/n n设|A|=m,|B|=n,因为对A中m个元素任一个元素a，可在Bn个元素中任取一个元素作为a象,所以A到B函数有nm个。第20页3.1 函数基本概念n n3.例：令X=x1,x2,xm，Y=y1,y2,yn，问n n1）有多少不一样由X到Y 关系？n n2）有多少不一样由X到Y 函数？n n3）有多少不一样由X到Y 内射和双射？n n中国科学院计算所1999年考研第21页3.1 函数基本概念n n1)1)不一样不一样X X到到Y Y关系数关系数|P(XP(X Y)Y)|=2|=2mnmn.n n2)n2)nmm.n n3)3)n n 在有限集中在有限集中,只有只有n=mn=m才存在才存在X X到到Y Y双射双射,且个数且个数为为m!m!,不然不存在双射不然不存在双射.n n若若m=nm=n,则内射个数为则内射个数为m!m!,n n若若mnmn,则内射个数为则内射个数为0 0,n n若若mnmn,从从Y Y 中任取中任取m m 个元素有个元素有 种方法种方法,此此m m 个个元素与元素与X X 中中m m 个元素间有个元素间有m!m!种不一样双射种不一样双射,所以所以内射个数为内射个数为 .第22页3.2 逆函数与复合函数n n一 逆函数n n定义定义3.4(3.4(逆函数)设设f f：A AB B是双射，是双射，f f逆关系称为逆关系称为f f逆函逆函数，记为数，记为f f-1-1：B BA A。f(a)=b,f f(a)=b,f-1-1(b)=a(b)=a第23页n n定理定理3.13.1 设设f f：A AB B是双射，则设是双射，则设f f-1-1：B BA A也也是是双射。双射。证实方法：依据双射、满射和内射定义进行证实：证实方法：依据双射、满射和内射定义进行证实：（1 1）证实满射；（）证实满射；（2 2）证实内射。）证实内射。直接推导直接推导第24页n n证实：由定义知：证实：由定义知：f f-1-1是是f f逆函数。逆函数。n n先证实先证实先证实先证实f f-1-1是满射是满射是满射是满射：设：设f=(a,b)|af=(a,b)|a A,bA,b B,B,f(a)=b,f(a)=b,f f-1-1=(b,a)|(a,b)=(b,a)|(a,b)f f。因为对于每。因为对于每一个一个a a A A，必有，必有b b使使(a,b)(a,b)f f，从而对每一个，从而对每一个a a A A使使(b,a)(b,a)f f-1-1，即，即f f-1-1(b)=a(b)=a，所以，所以f f-1-1:B:BA A是满射。是满射。n n再证实再证实再证实再证实f f-1-1是内射是内射是内射是内射：因为若：因为若f f-1-1(b(b1 1)=a)=a，f f-1-1(b(b2 2)=a)=a，则则f(a)=bf(a)=b1 1，f(a)=bf(a)=b2 2。又。又f f：A AB B是函数，便有是函数，便有b b1 1=b=b2 2。所以。所以f f-1-1:B:BA A是内射。是内射。第25页n n定理定理3.23.2 设设f f：A AB B是双射，则是双射，则(f(f-1-1)-1-1=f=f。证实两个函数证实两个函数f f和和g g相等方法：对于定义域相等方法：对于定义域A A中中任意元素任意元素a a，证实，证实f(a)=g(a)f(a)=g(a)。第26页3.2 逆函数与复合函数n n二二 复合函数复合函数n n定义定义3.53.5（复合函数）（复合函数）设设g:Ag:AB,f:BB,f:BC C，定义复合函数，定义复合函数f f o o g g为：为：f f o o g=(a,c)|ag=(a,c)|a A,cA,c C C，且存在，且存在b b B B，使，使b=g(a),c=f(b)b=g(a),c=f(b)，称，称f f o o g g是从是从A A到到C C复合函复合函数，记为数，记为f f o o g:g:A AC C。对对a a A,(f A,(f o o g)(a)=f(g(a)g)(a)=f(g(a)。n n先后次序先后次序第27页3.2 逆函数与复合函数n n注意：这里采取复合函数习惯记法,目标是为 了 将 变 元 放 在 函 数 记 号 右 侧，使(fg)(a)=f(g(a),所以用记号(fg)，而不用gf。n n例：A=1,2,3,f、g是集合A到A函数。n ng=(1,2),(2,1),(3,3),f=(1,2),(2,3),(3,1)n n(fg)=(1,3),(2,2),(3,1)n ngf=(1,1),(2,3),(3,2)n n普通fggf第28页n n定理：设函数g:AB,f:BC,则A到C复合关系gf是A到C函数。n n证证实实：先先证证实实对对A A中中任任一一元元素素,都都有有C C中中元元素素与与之之对对应应,然然后后证证实实对对A A中中每每个个元元素素,都都只只对对应应C C中中一一个个元素元素n n(1)(1)对对A A中任一元素中任一元素a,a,都有都有C C中元素与之对应中元素与之对应n n对对任任意意a a A A，因因为为g g是是A A到到B B函函数数，所所以以存存在在b b B B，使得，使得(a,b)(a,b)g g，n n又又因因为为f f是是B B到到C C函函数数，所所以以对对于于b b，存存在在c c C C，使使得得(b,c)(b,c)f f，n n依据关系复合概念得依据关系复合概念得(a,c)(a,c)g g f f第29页n n(2)(2)对对A A中每个元素中每个元素,都只对应都只对应C C中一个元素中一个元素n n即即证证实实对对A A中中元元素素a a，若若有有x,yx,y C C，使使得得(a,x)(a,x)g g f f，(a,y)(a,y)g g f f，必有，必有x=yx=y。n n因因为为(a,x)(a,x)g g f f，依依据据复复合合关关系系概概念念，存存在在b b1 1 B B，使得，使得(a,b(a,b1 1)g g，(b(b1 1,x),x)f f，n n一一样样因因为为(a,y)(a,y)g g f f，依依据据复复合合关关系系概概念念，存存在在b b2 2 B B，使得，使得(a,b(a,b2 2)g g，(b(b2 2,y),y)f f，n n现在有现在有b b1 1,b,b2 2 B B，而，而(a,b(a,b1 1)g g，(a,b(a,b2 2)g g，n n因为因为g g是函数，所以是函数，所以b b1 1=b=b2 2，n n现在是存在现在是存在x,yx,y C C，(b(b1 1,x),x)f f，(b(b1 1,y),y)f f，n n而而f f也是函数，所以有也是函数，所以有x=yx=y。n n所以所以g g f f是函数。是函数。第30页3.2 逆函数与复合函数n n定理定理 3.3 3.3 设设g:Ag:AB,f:BB,f:BC,h:CC,h:CD D，则则(h o f)o g=h o(f o g)(h o f)o g=h o(f o g)。n n证实：由我们前面证实定理能够知道：证实：由我们前面证实定理能够知道：n n(h h f f)g g和和h h(f f g g)都都是是A A到到D D函函数数。对对任任意意a a A A，存存在在b b B B，使使得得g g(a)=b,(a)=b,又又对对于于b b，存存在在c c C C，使使得得f f(b)=c,(b)=c,对对 于于 c c，存存 在在 d d D D，使使 得得h h(c)=d,(c)=d,有有(h h f f)g g(a)=(a)=(h h f f)()(g g(a)=(a)=(h h f f)()(b b)=)=h h(f f(b b)=)=h h(c c)=d=d，一一样样我我们们有有h h(f f g g)(a)=)(a)=h h(f f g g(a)=(a)=h h(f f(g g(a)(a)=h h(f f(b b)=)=h h(c c)=d)=d，由由 a a任任意性得意性得(h h f f)g g=h h(f f g g)第31页3.2 逆函数与复合函数n n定理3.4 设g:AB,f:BC,f o o g:AC，则(1)若f和g是满射，则f o o g是满射。(2)若f和g是内射，则f o o g是内射。(3)若f和g是双射，则f o o g是双射。第32页n n证实：(1)要证实fg满射，就是证实对C中每个元素都有A中元素与之对应。n n对任意cC，因为f是满射,所以存在bB，使得f(b)=c。n n又因为g是满射，所以存在aA，使得g(a)=b，n nfg(a)=f(g(a)=f(b)=c,n n所以fg是满射。第33页n n(2)所谓内射就是要证实当ab时，fg(a)fg(b)n n对任意a,bA,若ab，则因为g是内射,所以g(a)g(b)。n n又因为f是内射,所以当g(a)g(b)时，有f(g(a)f(g(b),n n即fg(a)fg(b)，所以fg是内射。第34页n n(3)因为f和g是双射,所以f和g当然满射,则由(1)知fg是满射。n nf和g也是内射，则由(2)可得fg内射，n n所以fg是双射。第35页n n例：设f,g,h是I 到I 函数，f(x)=3x，g(x)=3x+1，h(x)=3x+2，I 是整数集，求函数复合fg,gh,fgh。n n依据复合函数定义:fg(x)=f(g(x)，n n上海大学1998年考研第36页n n解：n nfg(x)=f(g(x)=3(3x+1)=9x+3n ngh(x)=g(h(x)=3(3x+2)+1=9x+7n nfgh(x)=f(g(h(x)=f(3(3x+2)+1)=3(3(3x+2)+1)=27x+21第37页3.2 逆函数与复合函数n n三 恒等函数n n定义3.6（恒等函数）设设f f：A AA A，若对全部，若对全部a a A A ，有，有f(a)=af(a)=a，则称则称f f 为为A A上恒等函数，记为上恒等函数，记为I IA A。第38页n n定理定理3.53.5 设设f f：A AB B是任意一个函数，则是任意一个函数，则I IB B o o f=f o o I IA A=fn n证实证实n n/*证实函数f和g相等:aA,f(a)=g(a)*/第39页3.2 逆函数与复合函数n n定理定理3.63.6 若函数若函数f f：A AB B存在逆函数存在逆函数f f-1-1，则，则f f-1-1 o f=o f=I IA A,f f o f o f-1-1=I IB B 第40页n n定理定理3.73.7设g:AB,f:BC都是双射，则(f o o g)-1=g-1o of-1第41页n n证实：由假设和定理3.4可知，f o o g是双射。又由定理3.1可知，g-1和和f-1是双射。所以g-1o of-1是双射，而且(f o o g)-1也是双射。下面证实(f o o g)-1=g-1o of-1。n n对任意cC，且f-1(c)=b，g-1(b)=a于是(g-1o of-1)(c)=g-1(f-1(c)=g-1(b)=a，(f o o g)(a)=f(g(a)=f(b)=c.n n由上式知(f o o g)-1(c)=a,因为c任意性,所以(f o o g)-1=g-1o of-1.第42页n n定义：设函数f、g:AB,若对任意aA,有f(a)=g(a)，则称函数f和g相等，记为f=g。n n例：在 实 数 范 围 内，f(x)=x+1,g(x)=x(x+1)/xn n对x=0,f(0)=1,n n而g在0处没有定义。n n所以fg.n n所以两个函数是否相等必须考查它们定义域是否相同。第43页n n设f f：A AB B是一个映射，记f-1是f 逆关系，f o o g是f、g复合关系。证实：n n1）当且仅当f-1 o o f=IB时，f 是满射。n n2）当且仅当f o o f-1=IA时，f 是内射。n n/*上海交通大学1999考研*/第44页n n解：关系复合与函数复合联络和区分第45页3.3 集合特征函数n n1.定义3.7（特征函数）设U是全集，且AU，函数A:U 0,1定义为：A(x)=1，若xA；A(x)=0，若xA。n n例3.5 设U是某大学全体学生组成集合，A是女大学生集合，特征函数A值为1对应女大学生，0对应于男大学生。第46页n n2.定理3.8n n设A和B是全集U子集，对于全部xU，以下各式成立：(1)A(x)=0 A=;(2)A(x)=1 A=U;(3)A(x)B(x)AB;(4)A(x)=B(x)A=B;第47页(5)AB(x)=A(x)*B(x);(6)AB(x)=A(x)+B(x)-AB(x);第48页n n证实：(5)因为xAB即xA且xB，所以A(x)=1，B(x)=1，于是有AB(x)=A(x)*B(x)=1.假如xAB，则AB(x)=0，于是A(x)=0或B(x)=0，AB(x)=A(x)*B(x)=0。第49页n n3.利用集合特征函数证实集合恒等式n n例3.7第50页n n例3.8n n证实A(BC)=(AB)(AC)n n证实:A(BC)(x)=A(x)*BC(x)=A(x)*(B(x)+C(x)-BC(x)=A(x)*B(x)+A(x)*C(x)-A(x)*BC(x)=AB(x)+AC(x)-ABC(x)=AB(x)+AC(x)-(AB)(AC)(x)=(AB)(AC)(x)第51页形式化证实n n1.演绎证实n n 演绎证实包含命题序列，其正确性造成从某个初始命题（称为前提或已知命题）得出“结论”命题。证实每一步都必须依据某条公认逻辑原理，利用已知事实或演绎证实中前面一些命题，或者利用这二者组合。第52页n n2.定理形式n n1)“假如-则”方式:“假如H，则C。”n n 假如前提H对给定参数值为真，则结论C对一样值为真。n n 其它形式:H蕴涵C;H仅当C;C当H;只要H为真，就得出C.第53页n n2)当且仅当命题:n nA当且仅当B,A iff B,A等价于B，A恰好当Bn n两个“假如-则”命题：假如A，则B；假如B，则A。第54页命题n n命题：假如H，则Cn n逆否命题：假如非C，则非Hn n一个命题与其逆否命题同时为真或同时为假第55页n n命题：假如H，则Cn n逆命题：假如C，则Hn n逆命题与原命题不等价第56页第57页习题解析n n一、计算题一、计算题n n1)1)设设S=a,b,cS=a,b,c，T=p,qT=p,q，f:Sf:ST T，问有问有多少函数多少函数f f，其中有多少满射。，其中有多少满射。n n|S|=3,|T|=2,f:S|S|=3,|T|=2,f:ST T，共有函数为，共有函数为2 23 3=8=8个，其个，其中满射为中满射为2 2 =6 =6个。个。第58页n n2)以下哪些是函数，哪些是入射函数，哪些是满射函数，假如是双射，写出它逆函数：n nA)f:Z N,f(x)=xN,f(x)=x2 2+1+1n nB)g:N Q,g(x)=1/xQ,g(x)=1/xn nC)h:ZN Q,h(Z,n)=Z/(n+1)Q,h(Z,n)=Z/(n+1)n nD)f:1,2,3 p,q,r,f=(1,q),p,q,r,f=(1,q),(2,r),(3,p)(2,r),(3,p)n nE)g:N N,g(x)=2N,g(x)=2x xn nF)h:R2 R2,h(x,y)=(y+1,x+1),h(x,y)=(y+1,x+1)R2第59页n nA)函数n nB)不是函数，在x=0 x=0无定义无定义n nC)函数，满射n nD)函数，双射，f-1:p,q,r1,2,3,这里f-1=(q,1),(r,2),(p,3)n nE)函数，内射n nF)函数，双射,h-1:R2R2,这里h-1(x,y)=(y-1,x-1).第60页n n3)设g:AB,f:BC，定义复合函数f o o g:AC，给出A,B和f,g；使得n nA)f o o g:AC是满射，但g不是满射；n nA=1,2,3,4,B=a,b,c,d,C=5,6,7,g=(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),f=(a,5),(b,6),(c,7),(d,7),则 f o o g:AC是满射，但g不是满射。第61页n nB)f o o g:AC是内射，但f不是内射；n nA=1,2,3,B=a,b,c,d,C=5,6,7,8,g=(1,a),(2,b),(3,c),f=(a,5),(b,6),(c,7),(d,7),则f o o g:AC是内射，但f不是内射；第62页n nC)f o o g:AC是双射；n nA=1,2,3,B=a,b,c,d,C=5,6,7,g=(1,a),(2,b),(3,c),f=(a,5),(b,6),(c,7),(d,7),则f o o g:AC是双射；第63页计算题总结n n在概念明确基础上解题第64页n n二、证实题n n1）设g:AB,f:BC，定义复合函数f o o g:AC，已知f o o g是内射，g是满射，证实f是内射。n n证实：反证法。假设f不是内射，即存在b1,b2B，b1b2,g(b1)=g(b2)=c。因为g是满射，所以存在a1,a2A,a1a2,g(a1)=b1,g(a2)=b2.则f o o g(a1)=f o o g(a2).所以f o o g不是内射，造成矛盾。第65页n n2）设g:AB,f:BC，定义复合函数f o o g:AC，已知f o o g是满射，f是内射，证实g是满射。n n证实：反证法。假设g不是满射，则存在bB，不存在aA，使得g(a)=b。因为f是内射，所以存在cC,使得f(b)=c，而且不存在其它bB,使得f(b)=c。因为f o o g是满射，所以存在aA，f o o g(a)=c,则存在g(a)B，使得f(g(a)=c。则造成矛盾。所以g是满射。第66页n n3）设f:XY,g:YX，定义复合函数f o o g=IX,g o o f=IY，证实f与g是双射，而且g=f-1。n n证实由学生完成。第67页证实方法n n（1）依据定义给出性质进行证实：n n证实函数是满射、内射和双射，即证实满足满射、内射和双射要满足条件；n n（2）证实两个函数f与g相等n n对任意aA,证实f(a)=g(a).第68页n n3.21 设函数f:AB,且X和Y是A子集。证实：n n（1）f(XY)=f(X)f(Y)n n基本法证实两个集合相等：第69页n n（2）f(XY)f(X)f(Y)n n基本法证实第70页是非判断n n3.16 设函数g:AB,f:BC，判断以下命题真假，并说明理由。n n(1)若f是内射，则f o o g是内射；n n假n nA=1,2,3,B=a,b,c,C=4,5,6,7,f(a)=4,f(b)=5,f(c)=6,g(1)=a,g(2)=b,g(3)=a,则f o o g(1)=4,f o o g(2)=5,f o o g(3)=4.所以f o o g不是内射。第71页n n(2)若f是满射，则f o o g是满射；n n假n nA=1,2,3,B=a,b,c,d,C=4,5,6,f(a)=4,f(b)=5,f(c)=6,f(d)=5,g(1)=a,g(2)=b,g(3)=d,则f o o g(1)=4,f o o g(2)=5,f o o g(3)=5.所以f o o g不是满射。第72页n n(3)若f o o g是内射，则f是内射；n n假n nA=1,2,3,B=a,b,c,d,C=4,5,6,f(a)=4,f(b)=5,f(c)=6,f(d)=5,g(1)=a,g(2)=b,g(3)=c,则f o o g(1)=4,f o o g(2)=5,f o o g(3)=6.所以f不是内射。第73页n n(4)若f o o g是内射，则g是内射；n n真。n n反证法证实，假设g不是内射,即存在a1,a2A，a1a2,g(a1)=g(a2)。则f(g(a1)=f(g(a2),则f o o g不是内射，造成矛盾。n n所以命题为真。第74页n n(5)若f o o g是满射，则f是满射；n n真。n n反证法证实，假设f不是满射,即存在cC，不存在bB，使得f(b)=c。因为f o o g是满射，所以存在aA，使得f o o g(a)=c，即f(g(a)=c。所以存在g(a)B，使得f(g(a)=c，造成矛盾。所以f是满射。第75页n n(6)若f o o g是双射，则f是满射，g是内射；n n真。n n由(4),(5)证实导出。第76页作业n n3.1,3.2,3.5,3.7,3.8,3.12,3.16,3.17，3.21,3.22 第77页第78页