微分方程建模中的若干问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
《微分方程建模中的若干问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程建模中的若干问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx(52页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、微分方程建模中若干问题微分方程建模中若干问题 数模竞赛辅导札记数模竞赛辅导札记 第1页 1.微分方程建模中假设微分方程建模中假设 提出提出 与与 修改修改 问题问题 “商品价格改商品价格改变变两大特点两大特点”:平衡价格平衡价格应应是是 商品供需平衡商品供需平衡 价位;价位;趋趋于于过过程程应应含有含有惯惯性特征:展性特征:展现现 阻尼震阻尼震荡荡 过过程特征程特征 建立在建立在 市市场经济场经济 下下 价格价格变动变动模型模型 详细问题详细问题:试图试图建立一个建立一个 数学模型数学模型,描,描绘绘在健全市在健全市场场 经济经济框架下,商品价格受市框架下,商品价格受市场场机制机制调调整,偏高
2、或偏低整,偏高或偏低 价格将会价格将会 自自动趋动趋于平衡于平衡。建模目建模目标标:建立一个价格随:建立一个价格随时间时间演演变变,以以 阻尼振阻尼振荡荡 方式方式 逐步逐步趋趋于理性于理性 商品供需平衡价格商品供需平衡价格 模型。模型。第2页 (3)商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)与市场与市场 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)相关相关.假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :(2)商品供给商品供给 S(t)随价格随价格 p(t)增大而上升增大而上升.假定它们之间关系也近似为假定它们之间关系也近似为 线性关系线性关系;建模假建模假设设:(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格
3、 p(t)增大而下降增大而下降.假定它们之间关系近似为假定它们之间关系近似为 线性关系线性关系:第3页 模型建立:模型建立:第4页 模型分析:模型分析:当当 时时,当当时时,结论未能达到建模目!说明商品价格是说明商品价格是 单调单调 地趋向平衡价格地趋向平衡价格.第5页 建模假设建模假设 修改修改:(3)*商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)与市场与市场 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 累积量相关累积量相关(即考虑过剩即考虑过剩 需求时间滞后效应需求时间滞后效应).(2)商品供给商品供给 S(t)随价格随价格 p(t)增大而上升增大而上升.假定它们之间关系也近似为假定
4、它们之间关系也近似为 线性关系线性关系;(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)增大而下降增大而下降.假定它们之间关系近似为假定它们之间关系近似为 线性关系线性关系:假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :第6页 模型再建立:模型再建立:商品价格随时间演变而处于商品价格随时间演变而处于 等幅震荡等幅震荡 之中。之中。结论还未能达到建模目!第7页 建模假设建模假设 再次修改再次修改:假假设设(1)、(2)不不变变;(3)*商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)不但与市场过剩需求不但与市场过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 累积量相关累积量相关,还与当初价格与平衡价格还
5、与当初价格与平衡价格 p*偏差程度偏差程度 相关相关 (即考虑健全市场有政府宏观调控原因即考虑健全市场有政府宏观调控原因),假定它们之间也成假定它们之间也成 正比正比,且百分比系数且百分比系数 仍假定它们之间仍假定它们之间 成成 正比正比;(强调政府宏观调控只是微调强调政府宏观调控只是微调)。第8页 模型又一模型又一 次建立:次建立:商品价格随时间演变而展现商品价格随时间演变而展现 阻尼震荡阻尼震荡 现象现象 。该结论达到建模目!模型可采用 第9页 2.微分方程模型在微分方程模型在 模型分析模型分析 中主要问题之一中主要问题之一 稳定性分析稳定性分析 用微分方程方法建立动态模型问题用微分方程方
6、法建立动态模型问题 模型分析模型分析 中一个中一个 主要问题是:主要问题是:当初间充分长后当初间充分长后,动态过程,动态过程 改变趋势改变趋势 是什么?是什么?微分方程模型中微分方程模型中,方程方程(组组)+初始条件初始条件 解解 初始条件作用在于确定解初始条件作用在于确定解,它它微小改变会产生不一样微小改变会产生不一样 解,换言之,对解发展性态改变解,换言之,对解发展性态改变,往往含有影响作用往往含有影响作用.问题问题是是这这种种对对解解发发展性展性态态影响作用是影响作用是 长长久存在久存在 ,还还是当初是当初间间充分大以后充分大以后,影响作用会影响作用会 “消逝消逝”?(1)微分方程模型稳
7、定性及其实际意义 第10页 有有时时候候,初始条件微小改初始条件微小改变变会造成解性会造成解性态态随随时间变时间变 大后大后,产产生生显显著差异著差异,这时这时称称 系系统统是不是不稳稳定定 ;有有时时候候,初始条件改初始条件改变变造成解性造成解性态态差异会随差异会随时间变时间变大大 后而消失后而消失,这时这时称称该该 系系统统是是稳稳定定.在在实际问题实际问题中中,初始状初始状态态不能准确地而只能近似地确定不能准确地而只能近似地确定,所以所以稳稳定性定性问题问题研究研究对对于用微分方程方法建立模型于用微分方程方法建立模型 含有十分主要含有十分主要实际实际意意义义。也就是说,在含有稳定性特征微
8、分方程模型中也就是说,在含有稳定性特征微分方程模型中,久远久远 来看来看,最终发展结果与准确初始状态终究怎样最终发展结果与准确初始状态终究怎样,二者二者 之间没有多大关系之间没有多大关系,初始状态刻画得准确不准确是无关初始状态刻画得准确不准确是无关 紧要。紧要。第11页 微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 能够使我们在很多情况下不求解能够使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘系统是方程便可直接得到微分方程模型描绘系统是 稳定稳定 或或 不稳定不稳定 结论。结论。研究者对于微分方程稳定性理论研究兴趣往往大于研究者对于微分方程稳定性理论研究兴趣往往大于 该方程解有没有解析表示
9、式研究兴趣。该方程解有没有解析表示式研究兴趣。在数学建模竞赛活动中,很多问题中包括到微分方在数学建模竞赛活动中,很多问题中包括到微分方 程是一类称为程是一类称为 自治系统自治系统 方程方程。自治方程自治方程 是指方程中不显含自变量是指方程中不显含自变量 t 微分方程,比如微分方程,比如第12页 自治方程自治方程 中解随时间不停变大如有稳定改变趋势,中解随时间不停变大如有稳定改变趋势,则这个解则这个解 最终趋势值最终趋势值 只能是该方程只能是该方程 平衡点平衡点。平衡点平衡点 是指代数方程是指代数方程 根根 (可能不止一个根)(可能不止一个根);平衡点平衡点 是是指代数方程组指代数方程组 解解
10、(可能不止一组解)。(可能不止一组解)。假如存在某个邻域,使微分方程解假如存在某个邻域,使微分方程解 x(t)从这个邻域从这个邻域 内某个点内某个点 x(0)出发出发,满足满足:则称微分方程则称微分方程 平衡点平衡点 是是 稳定稳定;第13页 假如存在某个邻域,使微分方程解假如存在某个邻域,使微分方程解 x(t),y(t)从这个邻域内某个点从这个邻域内某个点 x(0),y(0)出发出发,满足满足:则称微分方程则称微分方程 平衡点平衡点 是是 稳定稳定。上述上述 一阶自治方程一阶自治方程 和和 二阶自治方程组二阶自治方程组 解解 稳定性理论稳定性理论 结果可介绍以下:结果可介绍以下:第14页 非
11、线性方程非线性方程(一个方程一个方程 )情况情况 形式形式:x(t)=f(x(t)平衡点平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程 根不止一个.稳定意义稳定意义:当当 t 时时,如如 x x0,则称则称 x0 是稳定是稳定 平衡点平衡点;不然称不然称 x0 是不稳定平衡点是不稳定平衡点.第15页 由此由此,当当 f(x0)0 时时,x x0;当当 f(x0)0 时时,x +.(c)一阶一阶非非线线性性问题稳问题稳定性定性结论结论:依据相关数学理依据相关数学理论论,一阶一阶非非线线性性问题稳问题稳定性在非定性在非临临界情况下,与界情况下,与一阶一阶 线线性性问题结论问题结论完全相同
12、完全相同.研究方法研究方法:(a)作作 f(x)线性替换线性替换(利用一元函数泰勒展开式利用一元函数泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);(b)线性问题研究线性问题研究:求解求解 x=f(x0)(x x0),解得解得 第16页非线性方程非线性方程(两个方程两个方程 )组情况组情况 平衡点平衡点:解解 f(x,y)=0,得得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0 .y(t)=g(x(t),y(t)形式形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳稳定意定意义义:当当 t +时时,如如 x x0,y y0,则则称称 (x0,y0)是是稳稳定平衡点定平衡点
13、;不然称不然称 (x0,y0)是不是不稳稳定平衡点定平衡点.上面方程上面方程组组有有时时可能不止一可能不止一组组解解.第17页 研究方法研究方法:(a)作作 f(x,y)与与 g(x,y)线线性替性替换换(利用二元函数(利用二元函数(b)泰勒展开式)泰勒展开式):f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y0).(b)线线性性问题问题研究研究:记记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a
14、1 b2-a2 b1,并无妨并无妨设设 x0=0,y0=0;第18页求解求解 其中其中 1 ,2 为为特征方程特征方程 r 2+p r+q=0 两根两根.这里这里 1+2=-p,1 2 =q 或写为或写为 第19页 (1)当当 p 0,q 0 时时,假如假如 p2 4q 0,由,由 1+2=-p,1 2 =q,推得推得 1 与与 2 均为负数均为负数,故当故当 t +时,时,e 1 t 与与 e 2 t 均趋于零均趋于零,系统稳定系统稳定;假如假如 p2 4q 0,由,由 1+2=-p,k=i 中中 为负数为负数(k =1,2),故当故当 t +时,时,ek t=et(sint cost)(k
15、 =1,2)也均趋于零也均趋于零,系统仍为稳定系统仍为稳定;第20页 (2)当当 p 0 时时,假如假如 p2 4q 0,由,由 1+2=-p,可推出可推出 1 与与 2 中最少有一个为正数,中最少有一个为正数,故当故当 t +时,时,e1 t 与与 e2 t 中最少有一个中最少有一个 趋于趋于 +,系统不稳定系统不稳定;假如假如 p2 4q 0,仍由,仍由 1+2=-p,可推出可推出 k=i (k =1,2)中中 为正数为正数,故当故当 t +时时,ek t=et(sint cost)(k =1,2)趋于趋于+,仍可推出,仍可推出 系统不稳定系统不稳定。第21页 (3)当当 q 0 时时,此
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 建模 中的 若干问题 公开 一等奖 联赛 特等奖 课件
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【精***】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【精***】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。