拉格朗日方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第第2章章 拉格朗日方程拉格朗日方程内容内容:基本概念基本概念 理想完整系拉格朗日方程理想完整系拉格朗日方程 对称性和守恒定律对称性和守恒定律重点重点:完整保守系拉格朗日方程完整保守系拉格朗日方程难点难点:拉格朗日方程推导拉格朗日方程推导第1页第2页 牛顿力学理论几乎都以力牛顿力学理论几乎都以力 为为基基础础,所以它,所以它应应用只局限于用只局限于纯纯力学力学问题问题范范围围,运算也比,运算也比较烦琐较烦琐。18世世纪纪伯努利、达朗伯努利、达朗贝贝尔尔、欧拉等人、欧拉等人发发展了展了经经典力学分析形式。典力学分析形式。1788年拉格朗日年拉格朗日发发表了名著表了名著分析力学分析力学,建立了,建
2、立了经经典力学拉格朗日形式,用体系典力学拉格朗日形式,用体系动动能和能和势势能取代了牛能取代了牛顿顿形式加速度和力,将力学研究和形式加速度和力,将力学研究和应应用范用范围围开拓到整个物理学。开拓到整个物理学。2.1 分析力学基本概念分析力学基本概念2.1.1 约束、自由度约束、自由度(1)约束)约束 限制体系各质点自由运动条件称为约束。约束数学表示称为约束方限制体系各质点自由运动条件称为约束。约束数学表示称为约束方程。比如一质点限制在程。比如一质点限制在xy平面上运动,其约束方程为:平面上运动,其约束方程为:Z=0。假如约束只是限制质点几何位置,称为几何约束或完整约束,约束方程为假如约束只是限
3、制质点几何位置,称为几何约束或完整约束,约束方程为 (2.1)第3页 假如假如约约束除了限制束除了限制质质点位置外,点位置外,还还要限制要限制质质点运点运动动速度速度则则称称为为运动运动约束或微分约束约束或微分约束,约约束方程束方程为为 (2.2)微分约束经过积分可变为几何约束,不能积分即不能变为几何约束时称为微分约束经过积分可变为几何约束,不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。非完整约束。(2)自由度)自由度 能完全描述体系运动所需要可独立改变坐标参量数目,称为体系自由度。能完全描述体系运动所需要可独立改变坐标参量数目,称为体系自由度。比如一质点在空间运动时其位置需要三个独立坐标参量表
4、示,自由度为比如一质点在空间运动时其位置需要三个独立坐标参量表示,自由度为3;约束(限制)在一平面上运动时,自由度为;约束(限制)在一平面上运动时,自由度为2;约束在一直线上运动时;约束在一直线上运动时自由度为自由度为1。一个由一个由n个质点组成力学体系受个质点组成力学体系受k个完整约束时,其约束方程为个完整约束时,其约束方程为;j=1,2,k,(2.3)第4页2.1.2 位移理想约束位移理想约束(1 1)虚位移和实位移)虚位移和实位移自由度为自由度为 S=3n-k (2.4)图图2.12.1P P 想象在某想象在某时时刻刻t t,质质点点发发生一个生一个约约束束所所许许可无限小位移,可无限小
5、位移,这这一位移不是一位移不是质质点点实际实际运运动产动产生,而是想象可能生,而是想象可能发发生生无限小位移称无限小位移称为为虚位移,用虚位移,用表示。表示。运运动时动时,在,在dt时间时间内内实际发实际发生位置生位置变变更称更称为实为实位移用位移用表示。表示。质点按规律质点按规律第5页 (2)理想约束)理想约束 设质设质点点i受到受到约约束力束力为为,力,力在虚位移在虚位移过过程中做虚功程中做虚功为为,若整个体系虚功,若整个体系虚功(2.5)则则体体系系所所受受约约束束称称为为理理想想约约束束。比比如如光光滑滑曲曲面面、光光滑滑曲曲线线、光光滑滑铰铰链链、不不可可伸长杆或绳等都是理想约束。伸
6、长杆或绳等都是理想约束。(3 3)广义坐标)广义坐标 建建立立一一个个力力学学体体系系动动力力学学方方程程所所需需要要独独立立坐坐标标称称为为广广义义坐坐标标,广广义义坐坐标标确定了,体系在空间位形(体系位置状态)就确定了。确定了,体系在空间位形(体系位置状态)就确定了。广广义义坐坐标标能能够够是是坐坐标标变变量量,也也可可能能是是是是角角动动量量或或其其它它独独立立变变量量,凡凡能能用用来表述体系位形、运动和动力学状态独立参量都可作为广义坐标。来表述体系位形、运动和动力学状态独立参量都可作为广义坐标。广广义义坐坐标标条条件件是是:相相互互独独立立;满满足足约约束束方方程程;唯唯一一确确定定体
7、体系系位位形形式式动动力力学学状态。状态。第6页用用广广义义坐坐标标表表出出动动力力学学方方程程称称为为拉拉格格朗朗日日方方程程,能能够够直直接接由由牛牛顿顿第第二二定定律律导导出。出。图图2.22.2O O (1)达朗贝尔方程)达朗贝尔方程 设设受受约约束束质质点点系系中中质质点点i i所所受受主主动动力力和和约约束束力力分分别别为为 和和 ,位位矢矢为为 ,由由牛顿牛顿 第二定律有第二定律有给质点给质点i以虚位移以虚位移 ,得,得对整个质点系对整个质点系 第7页(2.6)上式称为上式称为达朗贝尔(达朗贝尔(dAlembert)方程)方程,是理想约束体系动力学普遍方程。是理想约束体系动力学普
8、遍方程。思索:达朗贝尔方程优点和不足之处是什么?思索:达朗贝尔方程优点和不足之处是什么?(2)拉格朗日方程)拉格朗日方程 消消去去达达朗朗贝贝尔尔方方程程中中虚虚位位移移 ,并并用用广广义义坐坐标标表表出出体体系系动动力力学学方方程程即即是拉格朗日方程。是拉格朗日方程。求虚位移求虚位移 是是位位矢矢 变变分分,运运算算规规则则是是:算算符符作作用用在在空空间间坐坐标标 上上时时与与微微分分算算符符d运算规则一样,作用在时间运算规则一样,作用在时间t上则为零,即上则为零,即t=0t=0。设设体体系系由由n个个质质点点组组成成,受受k个个理理想想完完整整约约束束,其其自自由由度度为为s=3n-k,
9、即即需要需要s个独立坐标即广义坐标,用表示个独立坐标即广义坐标,用表示 K K,则则sqqq,21在理想约束条件下,有在理想约束条件下,有第8页 (2.7)将(将(2.8)式代入()式代入(2.6)式:)式:因因是独立,所以是独立,所以 (2.9)第9页 第二项第二项(2.10)为广义力为广义力 (2.11)(2.12)体系动能体系动能 (2.13)第10页 (2.14)将(将(2.13)式、()式、(2.14)式代入()式代入(2.11)式:)式:(2.15)将(将(2.10)、()、(2.15)式代入()式代入(9)式,得)式,得 (2.16)上式为理想完整系拉格朗日方程。其中:上式为理想
10、完整系拉格朗日方程。其中:主主动动力广力广义义力,能力,能够够是力、力是力、力 矩或其矩或其 他力学量(不包含他力学量(不包含约约束反力)束反力)体系相体系相对惯对惯性系性系动动能能 第11页广广义动义动量,可量,可为线动为线动量、角量、角动动量或其它物理量量或其它物理量 (3)保守体系拉格朗日方程)保守体系拉格朗日方程 假如主假如主动动力都是保守力,即力都是保守力,即,则为则为广广义义力力 将上式代入(将上式代入(2.16)式,得)式,得 (2.17)想一想:(想一想:(2.17)式成立、适用条件是什么?)式成立、适用条件是什么?上式为保守体系拉格朗日方程,惯用一个拉格朗日方程。式中:上式为
11、保守体系拉格朗日方程,惯用一个拉格朗日方程。式中:(2.18)为拉格朗日函数,是表征体系约束运动状态和相互作用等性质特征函数。为拉格朗日函数,是表征体系约束运动状态和相互作用等性质特征函数。第12页 (4)对拉格朗日方程评价)对拉格朗日方程评价 拉氏方程特点(优点):拉氏方程特点(优点):是一个二阶微分方程组,方程个数与体系自由度相同。形式简练、结是一个二阶微分方程组,方程个数与体系自由度相同。形式简练、结构紧凑。而且不论选取什么参数作广义坐标,方程形式不变。构紧凑。而且不论选取什么参数作广义坐标,方程形式不变。方程中不出现约束反力,因而在建立体系方程时,只需分析已知主动方程中不出现约束反力,
12、因而在建立体系方程时,只需分析已知主动力,无须考虑未知约束反力。体系越复杂,约束条件越多,自由度越少,方力,无须考虑未知约束反力。体系越复杂,约束条件越多,自由度越少,方程个数也越少,问题也就越简单。程个数也越少,问题也就越简单。拉氏方程是从能量角度来描述动力学规律,能量是整个物理学基本物拉氏方程是从能量角度来描述动力学规律,能量是整个物理学基本物理量而且是标量,所以拉氏方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了理量而且是标量,所以拉氏方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了可能性,成为力学与其它物理学分支相联络桥梁。可能性,成为力学与其它物理学分支相联络桥梁。拉氏方程价值拉氏方程价值 拉氏
13、方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一规律,描述拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一规律,描述了力学系统动力学规律,为处理体系动力学问题提供了统一程序化方法,不了力学系统动力学规律,为处理体系动力学问题提供了统一程序化方法,不但在力学范围有主要理论意义和实用价值,而且为研究近代物理学提供了必但在力学范围有主要理论意义和实用价值,而且为研究近代物理学提供了必要物理思想和数学技巧。要物理思想和数学技巧。第13页 2.3 拉格朗日方程应用拉格朗日方程应用 解:(解:(1)求运动规律)求运动规律 体系自由度为体系自由度为1,以,以r为广义坐标,拉格朗日函数为为广义坐标,拉格朗日函
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