2.1.9二重积分.doc
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1、新编经济应用数学(微分学 积分学)第五版课题2.1.9 二重积分(2学时)时间 年 月 日教学目的要求1、 理解曲顶柱体的体积。2、 掌握二重积分的定义。3、 掌握二重积分的几何意义。4、 理解二重积分的性质。5、 掌握二重积分的计算。重点二重积分的定义、几何意义、性质、计算。难点二重积分的定义、计算。教学方法手段讲授为主,数形结合。主要内容时间分配一、理解曲顶柱体的体积。 (20分钟)二、掌握二重积分的定义。 三、掌握二重积分的几何意义。 (10分钟)四、理解二重积分的性质。 (10分钟) 五、掌握二重积分的计算。 (50分钟)作业备注12.1.9 二重积分新编经济应用数学2.1.9 二重积
2、分一、曲顶柱体的体积 定义1 设函数在有界闭区域上连续,且,过区域边界上的所有点,作平行于轴的直线。这些直线构成一个曲面,则称此曲面为由边界产生的柱面。以曲面为顶,以区域为底,以的边界产生的柱面为侧面所围成的立体成为曲顶柱体。 现在我们讨论当时,曲顶柱体的体积。(1) 分割:把曲顶柱体的底一区域,任意分割成个小的区域,且以表示第个小区域的面积。这样就把曲顶柱体分成了个小曲顶柱体。用表示以为底的第个小曲顶柱体的体积,表示原曲顶柱体的体积,则。(2) 近似:在每一个小区域内,任取一点,把以为高,为底的曲顶柱体的体积作为的近似值,即 (3) 求和:把这些小曲顶柱体的体积的近似值,加起来,就得到所求的
3、曲顶柱体的体积的近似值,即 (4) 取极限:当分割无限细密时,即当所有小区域的最大直径,和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积,即 二、二重积分的定义 定义2 如果是定义在有界闭区域上的二元函数,将任意分割成个小区域,(其面积仍记为,),在每个小区域中任意取一点,为区域的直径,作和式: 如果无论对怎么划分以及点在上如何选取,时,这个和式有唯一的极限存在,则称此极限值为函数在区域上二重积分,记为或,即 其中,叫做被积函数,为面积元素,为积分变量,为积分区域。 对于二重积分应注意以下两点:(1) 如果函数在有界闭区域上连续,则在上的二重积分一定存在。(2) 二重积分与被积函数和积分区域有关,与积分变量
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