机械制图直线和平面平面和平面的相对位置市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第第第第 五五五五 章章章章 直线与平面、直线与平面、直线与平面、直线与平面、平面与平面平面与平面平面与平面平面与平面相对位置相对位置相对位置相对位置 （编制（编制 李小平）李小平）第1页本本 章章 目目 录录5-1 5-1 平行问题平行问题5-2 5-2 相交问题相交问题5-3 5-3 垂直问题垂直问题5-4 5-4 综合问题解题示例综合问题解题示例第2页5-1 5-1 平行问题平行问题一、一、直线和平面平行直线和平面平行二、二、平面和平面平行平面和平面平行 本章介绍它们投影特征和作图方法。本章介绍它们投影特征和作图方法。直线与平面、平面与平面相对位置直线与平面、平面与平面相对位置可能是可能是平行平行、相交相交或或垂直垂直。第3页一、一、直线和平面平行直线和平面平行定理定理 假如平面外一条假如平面外一条直线和平面内一条直线直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和平行，那么这条直线和这个平面平行。这个平面平行。QABCD第4页 相关直线与平面平行作图问题：相关直线与平面平行作图问题：1.1.作直线作直线已知平面。已知平面。2.2.作平面作平面已知直线。已知直线。3.3.判断已知直线、平面是否平行。判断已知直线、平面是否平行。第5页222 2例例1 1 含点含点I(1,1)I(1,1)作平面与直线作平面与直线AB(ab,ab)AB(ab,ab)平行。平行。11331 13 3aaa ab b bbX X 作作 法法(1)(1)过点过点作直作直线线与与ABAB平行平行(2)(2)含直线含直线作作一任意平面。一任意平面。图图 5-1 5-1第6页例例 2 2 判断直线判断直线ABAB与与是否平行。是否平行。图图 5-2 5-2 ab321ab312x 作作 法法 (1)(1)在平面任一投在平面任一投影中，作面内直线影中，作面内直线CFCFABAB同面投影。同面投影。(2)(2)求求CFCF另一投影，另一投影，并判断直线并判断直线CFCF是是否否ABAB 。dfcfdc第7页特殊情况特殊情况 若直线与某一投影面垂直面平行，若直线与某一投影面垂直面平行，则它们在该投影面上投影一定平行。则它们在该投影面上投影一定平行。X直线投影直线投影平面有积聚性同面投影平面有积聚性同面投影,它它们在空间必相互平行们在空间必相互平行第8页特殊情况特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚直线与平面对某一投影面同时有积聚性性,它们在空间必相互平行。它们在空间必相互平行。PH第9页二、二、平面和平面平行平面和平面平行定理定理 假如一个平面内相交两直线与另一个平面内假如一个平面内相交两直线与另一个平面内相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10页 相关两平面平行作图问题：相关两平面平行作图问题：1.1.作平面作平面已知平面。已知平面。2.2.判断两已知平面是否平行。判断两已知平面是否平行。第11页例例 含点含点A A1 1作平面平行定平面作平面平行定平面(A A2 2B B2 2AA2 2C C2 2)。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1图图 5-3 5-3 第12页c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例例 判断两平面是否平行判断两平面是否平行。分析：分析：若两若两面相互平行，面相互平行，则它们有一则它们有一对相互平行对相互平行相交直线。相交直线。第13页讨论讨论 相互平行两投影面垂直面，它们一对有积聚相互平行两投影面垂直面，它们一对有积聚性同面投影必平行。性同面投影必平行。x xacabcb1 12 23 3112233dd图图 5-4 5-4 若两正垂面相若两正垂面相互平行，则它互平行，则它们正面投影相们正面投影相互平行。互平行。第14页 若两铅垂面相互平行，则它们水平投影相互平行。若两铅垂面相互平行，则它们水平投影相互平行。X第15页x x1 12 23 3112233 分析：分析：若两面若两面相互平行，则相互平行，则它们有积聚性它们有积聚性同面投影相互同面投影相互平行。平行。PV例例 含点含点A A1 1作平面平行平面作平面平行平面 。a aa a第16页5-2 5-2 相交问题相交问题一、特殊线、面与普通直线或平面相一、特殊线、面与普通直线或平面相交交二、普通直线与普通平面相交二、普通直线与普通平面相交三、两普通位置平面交线三、两普通位置平面交线 第17页 相相 交交 问问 题题 直线与平面不平行时即相交，交点是直直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面线与平面共有点共有点；两平面不平行时必相交，其交线是两平两平面不平行时必相交，其交线是两平面面共有线共有线。第18页一、特殊位置线、面与普一、特殊位置线、面与普通位置直线或平面相交通位置直线或平面相交 交点交点、交线交线为线与面、面与面二者所为线与面、面与面二者所共有共有，假如其中有一个处于垂直投影面特殊位置，则假如其中有一个处于垂直投影面特殊位置，则可利用其投影积聚性直接求出交点或交线一个可利用其投影积聚性直接求出交点或交线一个投影投影，另外投影可依据其在线上（或在面内），另外投影可依据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。特点按投影关系求出。第19页 假如平面为投影面平行面或投影面垂直面，假如平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用则可利用平面投影积聚性平面投影积聚性直接定出交点一个直接定出交点一个投影。投影。1.1.特殊位置平面与普通位置直线相交特殊位置平面与普通位置直线相交第20页例例 求直线求直线ABAB与铅垂面与铅垂面EFGHEFGH交点交点K K。K K 求出交点后，对于直线与平面投影重合部分，要判别求出交点后，对于直线与平面投影重合部分，要判别直线可见性。直线可见性。第21页（1 1）求出交点后，对于直线求出交点后，对于直线与平面投影重合部分，要判别与平面投影重合部分，要判别直线可见性（不重合部分都是直线可见性（不重合部分都是可见）。可见）。（2 2）交点交点是直线可见部分与不是直线可见部分与不可见部分可见部分分界点分界点。（3 3）判别方法判别方法 A.A.直接观察直接观察;B.B.利用交叉直线重影点。利用交叉直线重影点。关于直线可见性判别关于直线可见性判别第22页k k11(2)(2)x xcceeddaabbc ca ab be ed d例例 求直线求直线ABAB与铅垂面与铅垂面CDECDE交点交点K K。分分 析析 利用铅垂面水利用铅垂面水平投影积聚性平投影积聚性求交点求交点图图 5-5 5-5 1 12 2k k第23页例例 求求ABAB与与P P平面交点。平面交点。分分 析析 利用利用P PV V积聚性积聚性求交点。求交点。k ka ab bP PH HP PV Va ab bx xp px x图图 5-6 5-6 k k第24页11x xcceeddaa（bb）c ca ab be ed d例例 求正垂线求正垂线ABAB与与CDECDE交点交点K K。分分 析析 利用线利用线V V面投影面投影积聚性确定交点一积聚性确定交点一个投影，依据点在个投影，依据点在面上求出交点另一面上求出交点另一投影。投影。1 12 2k k22k k特殊位置直线与普通位置平面相交特殊位置直线与普通位置平面相交第25页 两平面不平行时必相交，其两平面不平行时必相交，其交线交线是两平面是两平面共有共有线，是平面可见部分与不可见部分分界限线，是平面可见部分与不可见部分分界限。两平面交线是直线。所以，求作两平面交线方两平面交线是直线。所以，求作两平面交线方法是：法是：求出交线上两个点，在两个平面公共范围求出交线上两个点，在两个平面公共范围处连出交线处连出交线。两平面相交两平面相交第26页2.2.特殊位置平面与普通位置平面交线特殊位置平面与普通位置平面交线 当相交两平面之一为特殊位置平面时，当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它投影积聚性直接求出交线上两个可利用它投影积聚性直接求出交线上两个点，然后连成交线。点，然后连成交线。第27页deaab bXedffcckl例例 求求DEFDEF(H H面面)与与ABCABC交线交线KLKL。分分 析析 利用利用dfedfe积聚性，积聚性，求两平面交线。求两平面交线。k11(2)(2)12（1 1）求出交线后，对于求出交线后，对于两平面同面投影重合两平面同面投影重合部分，部分，要判别可见性（不重合部要判别可见性（不重合部分都是可见）。分都是可见）。（2 2）交线交线是可见部分与不是可见部分与不可见部分分界限。可见部分分界限。（3 3）判别方法判别方法 A.A.直接观察直接观察;B.B.利用交叉直线重利用交叉直线重 影点。影点。图图 5-7 5-7 l第28页(a)a)全交全交(b)b)互交互交两平面相交两种情况两平面相交两种情况 全交：全交：一个平面全部穿过另一个平面一个平面全部穿过另一个平面;互交：互交：两个平面边线相互穿过。两个平面边线相互穿过。第29页 分分 析析 利用水平面利用水平面efgefg积聚性求积聚性求两平面交线。两平面交线。ecgf1efg1dbakllabcdkx例例 求求EFGEFG(H H面面)与平面与平面ABCDABCD交线，并判断可见性。交线，并判断可见性。图图 5-8 5-8 本题中两平面图形本题中两平面图形只有部分互交。求交只有部分互交。求交时要注意除去交线多时要注意除去交线多出部分。出部分。第30页 当两平面同时垂直某一投影面时，当两平面同时垂直某一投影面时，它们交线也是此投影面垂直线。它们交线也是此投影面垂直线。第31页xegfefgcbaabc例例 求两面交线。求两面交线。第32页各种位置平面间交线各种位置平面间交线第33页例例 3 3 求矩形平面与两个共边三角形平面交线。求矩形平面与两个共边三角形平面交线。分分 析析 利用水平面投影利用水平面投影积聚性求两平面交积聚性求两平面交线。线。水平面与两三角水平面与两三角形交线是水平线，形交线是水平线，而且与对应底边平而且与对应底边平行。行。xcs1abcabs12图图 5-10 5-10 2第34页当直线和平面都处于普通位置时，交点求法是：当直线和平面都处于普通位置时，交点求法是：1.1.含已知直线作辅助平面含已知直线作辅助平面;2.2.求辅助平面与已知平面交线求辅助平面与已知平面交线;3.3.交线与已知直线交点即为所求。交线与已知直线交点即为所求。为了作图方便，应选择特为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。殊位置平面作为辅助平面。二、普通位置直线与普通位置平面相交二、普通位置直线与普通位置平面相交Pk第35页PV例例1 1 求直线求直线DEDE与平面与平面ABCABC交点。交点。aaggffbbcckXddeek图图 5-12 5-12 第36页aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例例1 1 求直线求直线DEDE与平面与平面ABCABC交点。交点。利用两交叉直利用两交叉直线重影点判别直线重影点判别直线可见性。线可见性。图图 5-12 5-12 第37页解法一空间分析：解法一空间分析：含点含点与一直线作平面，求与另与一直线作平面，求与另一直线交点。一直线交点。aaff2233gg4411x x2 2a a3 34 4k k1 1P PV Vf fg gkkbbb b例例2 2 含点含点A A作直线作直线ABAB使与交叉直线使与交叉直线、都相交。都相交。图图 5-13 5-13 A AB BK K第38页B B解法二空间分析：解法二空间分析：含点和含点和两直线分别作面，求两面交两直线分别作面，求两面交线与一直线交点。线与一直线交点。解法三空间分析：解法三空间分析：将一直线变成将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作投影面垂直线，利用积聚性，作直线直线ABAB与二交叉直线垂直相交与二交叉直线垂直相交A AK K例例2 2 含点含点A A作直线作直线ABAB使与交叉直线使与交叉直线、都相交。都相交。图图 5-14 5-14 第39页例例 3 3 求求ABAB与两三角形交点。与两三角形交点。作作 法法 作正垂面作正垂面Q Q求求ABAB与两三角形交点。与两三角形交点。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVnm图图 5-15 5-15 第40页三、两普通位置平面交线三、两普通位置平面交线 惯用方法：惯用方法：1 1 线面交点法线面交点法 2.2.辅助平面法辅助平面法第41页1.1.线面交点法线面交点法 当相交两平面都用平面图形表示，且同面投当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有相互重合部分时，可用求直线和平面交点影有相互重合部分时，可用求直线和平面交点方法找出交线上两个点。方法找出交线上两个点。第42页QV例例 求求ABCABC和和DEFDEF交线。（求交点）交线。（求交点）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXddeek图图 5-16 5-16 第43页aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例例 求求ABCABC和和DEFDEF交线。（判别可见性）交线。（判别可见性）图图 5-16 5-16 fkaafbbccXddeellk第44页 若线段投影与另一平面图形投影不重合，若线段投影与另一平面图形投影不重合，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。这类直线来求交点。使用使用线面交点法时注意：线面交点法时注意：第45页2.2.辅助平面法辅助平面法图图 5-17 5-17 作图原理作图原理1.1.求求P P、Q Q平面交线时，任平面交线时，任作平面作平面S S1 1，使与使与Q Q相交得相交得交线交线L L1 1，与与P P相交得交线相交得交线L L2 2；2.2.L L1 1、L L2 2交点交点I I为为P P、Q Q、S S1 1三面共有点，即三面共有点，即P P、Q Q交交线上一个点。线上一个点。3.3.再作平面再作平面S S2 2，又可得到交又可得到交线上另一个交点线上另一个交点。4.4.连接连接I I 即即P P、Q Q交线。交线。第46页bb例例 求求ABCABC和平面和平面(L L1 1 L L2 2)交线。交线。ccaax xa ab bc c111 122332 23 3S S1V1VS S2V2Vl l2 2l l1 1l l2 2l l1 1k k1 1k k1 1图图 5-18 5-18 k k2 2k k2 2第47页5-3 5-3 垂直问题垂直问题一、一、直线和平面垂直直线和平面垂直二、二、两平面垂直两平面垂直第48页一、一、直线和平面垂直直线和平面垂直定理定理 假如一条直线和一个平假如一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么面内两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。这条直线垂直于这个平面。直线直线L L平面平面P P内两相交直线内两相交直线ABAB、CDCD,则则L LP P面面LBACDP第49页直线与平面垂直投影特征：直线与平面垂直投影特征：直线水平投影直线水平投影平面内水平面内水平线水平投影，直线正面投影平线水平投影，直线正面投影平面内正平线正面投平面内正平线正面投影。影。ccC CKA Ak ke eMMB BE EF Ff fa ab bc cHHeec cb ba aa ab bfff fe ed dddkkmmX X mk mk ef,mk ef,mk ad,MKABCad,MKABC所确定所确定平面。平面。第50页 相关直线与平面垂直作图问题：相关直线与平面垂直作图问题：1.1.作直线作直线已知平面；作平面已知平面；作平面已知直线。已知直线。2.2.判断已知直线、平面是否垂直。判断已知直线、平面是否垂直。第51页QQH H例例1 1 含点含点E E作直线垂直于作直线垂直于ABCABC，并求垂足。并求垂足。a aaab bbbcceekkc ck ke e1 12 22 21 13 34 44 43 3fff fX X图图 5-21 5-21 分分 析析 先求平面垂线，先求平面垂线，然后求垂线与平然后求垂线与平面交点。面交点。第52页(b)b)已知已知例例 求求C C点到直线点到直线ABAB距离。（分析）距离。（分析）a aa ab bb bc cc cX X(a)a)分析示意图分析示意图PBAKC解题步骤解题步骤:1.1.过过C C点作点作P P面面直线直线ABAB;2.2.求求ABAB与与P P面交点面交点K K;3.3.求垂线求垂线CKCK实长。实长。第53页P PV Va aa ab bb bc cd dc ce e1 11 12 22 2k kckckk k0 0CKCK实长实长 例例 求求C C点到直线点到直线ABAB距离。（作图）距离。（作图）X Xe ed dk k解题步骤解题步骤:1.1.过过C C点作点作P P面面直线直线ABAB;2.2.求求ABAB与与P P面交点面交点K K;3.3.求垂线求垂线CKCK实长。实长。第54页 例例2 2 已知已知ABABBCBC，求求bcbc。a aa ab bb bc cc c1 11 12 22 23 34 43 34 4X XA AB BC CP P 分分 析析1.1.过过B B点作点作P P面面直线直线ABAB 则则BCBC一定在一定在P P面内；面内；2.2.在在P P面内求面内求C C点。点。图图 5-22 5-22 第55页二、二、两平面垂直两平面垂直定理定理 如一直线如一直线一平面，则一平面，则包含这直线一切平面都包含这直线一切平面都该平该平面。面。反之，如两平面相互垂直，反之，如两平面相互垂直，则从第一平面内任意一点向第则从第一平面内任意一点向第二平面所作垂线，必定在第一二平面所作垂线，必定在第一平面内。平面内。简述简述 如一平面内有一直线垂如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面相直于另一平面，则此两平面相互垂直。互垂直。两平面垂直条件两平面垂直条件第56页 相关两平面垂直作图问题：相关两平面垂直作图问题：1.1.作平面作平面已知平面；已知平面；2.2.判断两已知平面是否垂直。判断两已知平面是否垂直。第57页例例 含点含点A A作平面垂直于作平面垂直于。11223 31 12 23 355445 54 4ccaabbx xa ab bc c 分分 析析 含点含点A A只能作一只能作一直线直线定平面，但定平面，但此垂线可作无穷多此垂线可作无穷多个平面，即本题有个平面，即本题有没有穷多解。没有穷多解。图图 5-24 5-24 第58页5-4 5-4 综合问题解题示例综合问题解题示例1.1.含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。2.2.求直线与平面交点。求直线与平面交点。3.3.求两平面交线。求两平面交线。4.4.含定点作直线平行于定平面。含定点作直线平行于定平面。5.5.含定点作直线垂直于定平面。含定点作直线垂直于定平面。6.6.含定点作平面垂直于定直线。含定点作平面垂直于定直线。必须熟练掌握以下六个基本问题作图方法：必须熟练掌握以下六个基本问题作图方法：第59页例例1:1:作直线作直线ABAB使与使与L L平行，并与两交叉直线平行，并与两交叉直线、相交。相交。空间解题分析一：含一直空间解题分析一：含一直线作面平行直线线作面平行直线L L，求面求面与另一直线与另一直线交点交点，过交点，过交点作线平行直线作线平行直线L L。1 13 31 12 23 3l l4 4l l4 42 2x x5 55 5b bb bQ QV VL LB BAaa第60页空间解题分析二空间解题分析二：含两直线：含两直线分别作面平行直线分别作面平行直线L L，求两求两面交线，即为所求。面交线，即为所求。空间解题分析三空间解题分析三：用换面法将一：用换面法将一直线变换成投影面垂直线，过其直线变换成投影面垂直线，过其积聚性投影作线平行直线积聚性投影作线平行直线L L并与并与另一直线相交，即为所求。另一直线相交，即为所求。L L第61页例例2 2 已知点已知点A A到到距离为距离为1515，求，求a a。1 13 31 12 23 34 44 42 2x x5 56 66 615mm15mm求垂线实长求垂线实长z z6 6-z-z1 11616a aa ab bB B0 0k kf fk kf f5 5解题步骤：解题步骤：作直线作直线平面；平面；求垂线上距面为求垂线上距面为1515点；点；过点作面过点作面平行原面；平行原面；A A点在平行面内，在面点在平行面内，在面内作线求内作线求A A点水平投影。点水平投影。b bb b第62页