2023年材料力学计算题库.doc

第一章 绪论
【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试拟定截面m-m上的内力。
【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床提成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。
（2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。
（3）由平衡条件

∴

【例1-2】 图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δ=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。

【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。
x方向

【例1-3】 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。
【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。

第二章 拉伸、压缩与剪切
【例题2.1】 一等直杆所受外力如Error! Reference source not found. (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。
解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如Error! Reference source not found. (b)所示)，假定轴力为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程
，
得
结果为正值，故为拉力。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如Error! Reference source not found. (c)所示)为

在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如Error! Reference source not found. (d)所示)，由于右段杆上包含的外力较少。由平衡方程
，
得
结果为负值，说明为压力。
同理，可得DE段内任一横截面上的轴力为

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)
图2. 1 例题2.1图
【例题2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知。试求荷载引起的最大工作应力。
解：一方面作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而拟定全柱的最大工作应力。
Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得
(压应力)
(压应力)
由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为，是压应力。
【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为，截面面积为，材料容重为。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。
解：应用截面法，在距下端距离为处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为，则有
(a)
设横截面上的轴力为，则由平衡条件
， (b)
将(a)式值代入(b)式，得
(c)
即为的线性函数。
当时，
当时，

(a) (b) (a) (b) (c)
图2.8 例题2.2图 图2.9 例题2.3图
式中为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为
(d)
即应力沿杆长是的线性函数。
当时，
当时，
式中为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。
【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径，壁厚，气压，活塞杆直径，试求汽缸横截面—及纵向截面—上的 应力。
解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。
(1) 求横截面—上的应力。取—截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件
，
当时，得—截面上的轴力为

—截面的面积为

那么横截面—上的应力为

称为薄壁圆筒的轴向应力。

图2.10 例题2.4图
(2) 求纵截面—上的应力。取长为的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件
，
得—截面上的内力为

—截面的面积为

当时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面—上的应力为

称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表白：周向应力是轴向应力的两倍。
【例题2.7】 螺纹内径的螺栓，紧固时所承受的预紧力为。若已知螺栓的许用应力MPa，试校核螺栓的强度是否足够。
解：
(1) 拟定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有

(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为
(MPa)
(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为

螺栓横截面上的实际应力为
MPa＜(MPa)
所以，螺栓的强度是足够的。
【例题2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载作用，屋架的上弦杆和由钢筋混凝土制成，下弦杆为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：，，，钢的许用应力MPa，试设计钢拉杆的 直径。
解：
(1) 求支反力和，因屋架及荷载左右对称，所以

图2.25 例题2.8图
(2) 用截面法求拉杆内力，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由
，
得

(3) 设计Q235钢拉杆的直径。
由强度条件

得

【例题2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，为其中一根支撑杆。各杆为的圆木，其许用应力MPa。试求支杆间的最大距离。
解：这是一个实际问题，在设计计算过程中一方面需要进行适本地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。
(1) 计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是杆的计算简图如图2.26(b)所示。

图2.26 例题2.9图
(2) 计算杆的内力。水压力通过防水闸门传递到杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为

其中为水的容重，其值为10；为水深，其值为3；为两支撑杆中心线之间的距离。于是有

根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件
，
其中

得

(3) 根据杆的强度条件拟定间距的值。
由强度条件

得

【例题2.10】 三角架由和两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆由两根No.14a的槽钢组成，许用应力MPa；杆为一根No.22a的工字钢，许用应力为MPa。求荷载的许可值。

(a) (b)
图2.34 例题2.10图
解：
(1) 求两杆内力与力的关系。取节点为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点的平衡方程为
，
，
解得
(a)
(2) 计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆和的横截面面积分别为
，。根据强度条件

得两杆的许可轴力为

(3) 求许可荷载。将和分别代入(a)式，便得到按各杆强度规定所算出的许可荷载为

所以该结构的许可荷载应取。
【例题2.5】 已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。规定：
(1) 作轴力图；(2) 计算杆的总伸长量。

图2.37 例题2.5图
解：
(1) 画轴力图。由于在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得

轴力图如图2.37(b)所示。
(2) 求杆的总伸长量。由于杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为

杆的总伸长量为

【例题2.6】 如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

图2.38 例题2.6图
解：
(1) 运用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有
，
，
解得各杆的轴力为
，
(2) 计算杆AB和AC的伸长。运用胡克定律，有

(3) 运用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点，再过点作水平线，与过点A的铅垂线交于点，则便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得
，
可得
，

所以点A的铅垂位移为

从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。
【例题2.11】 两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。
解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。

图2.38 例题2.11图
(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为
， (a)
(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力和未知力作用，并引起变形。设杆由力引起的变形为(如图2.38(d)所示)，由引起的变形为(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系
(b)
(3) 物理方面。由胡克定律，有
， (c)
将式(c)代入式(b)即得补充方程
(d)
最后，联立解方程(a)和(d)得
，
求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。
【例题2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力作用，如图2.39所示。、和、分别表达钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少？
解：设钢筋和混凝土的内力分别为和，运用截面法，根据平衡方程
， (a)
这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为
(b)
由物理关系知

图2.39 例题2.12图
， (c)
将式(c)代入式(b)得到补充方程为
(d)
联立解方程(a)和(d)得

可见
即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。
又

可见
即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。
【例题2.14】 如图2.42(a)所示，①、②、③杆用铰相连接，当温度升高时，求各杆的温度应力。已知：杆①与杆②由铜制成，GPa，，线膨胀 系数，；杆③由钢制成，其长度，GPa，，。
解：设、、分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑铰的平衡(如图2.42(b)所示)，则有

图2.42 例题2.14图
，，得 (a)
，，得 (b)
变形几何关系为
(c)
物理关系(温度变形与内力弹性变形)为
(d)
(e)
将(d)、(e)两式代入(c)得
(f)
联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力

杆①与杆②承受的是压力，杆③承受的是拉力，各杆的温度应力为
(MPa)
(MPa)
【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为(如图41(a)所示)现需将制造的过长的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径，铜杆横截面为的矩形，钢的弹性模量210GPa，铜的弹性模量100GPa。铸铁很厚，其变形可略去不计。
解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。
因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3，故其变形关系如图2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为
(a)

图2.41 例题2.13图
物理关系为
(b)
(c)
以上两式中的和分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的在理论上应是杆3的原长，但由于与相比甚小，故用代替。
将(b)、(c)两式代入式(a)，即得补充方程
(d)
在建立平衡方程时，由于上面已鉴定1、2两杆伸长而杆3缩短，故须相应地假设杆1、2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图2.41(d)所示。由对称关系可知
(e)
另一平衡方程为
， (f)
联解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得装配内力为

所得结果均为正，说明原先假定杆1、2为拉力和杆3为压力是对的的。
各杆的装配应力为

【例题3.6】 两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度，厚度，铆钉直径，铆钉许用切应力，许用挤压应力，钢板许用拉应力。试求许可荷载。

图2.44 例题3.6图
解：
(1) 按剪切强度条件求。
由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图2.44(b)所示。每个铆钉所受的剪力为

根据剪切强度条件式(3-17)

可得

(2) 按挤压强度条件求。
由上述分析可知，每个铆钉承受的挤压力为

根据挤压强度条件式(3-19)

可得

(3) 按连接板抗拉强度求。
由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图2.44(b)所示的是上板的受力情况及轴力图。1—1截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有

由此可得

根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取

【例题3.7】 两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)所示。已知主板厚度，盖板厚度，主板和盖板的宽度，铆钉直径。铆钉的许用切应力，试对此铆接进行校核。
解：
(1) 校核铆钉的剪切强度。此结构为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b)、图2.47(c)所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的剪切面所承受的剪力为

图2.47 例题3.7图
根据剪切强度条件式(3-17)
＞
超过许用切应力1.9%，这在工程上是允许的，故安全。
(2) 校核挤压强度。由于每个铆钉有两个剪切面，铆钉有三段受挤压，上、下盖板厚度相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应当校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19)
＜
剪切、挤压强度校核结果表白，铆钉安全。
(3) 校核连接板的强度。为了校核连接板的强度，分别画出一块主板和一块盖板的受力图及轴力图，如图2.47(b)和图2.47(c)所示。
主板在1—1截面所受轴力，为危险截面，即有

主板在2—2截面所受轴力，但横截面也较1—1截面为小，所以也应校核，有
＜
盖板在3—3截面受轴力，横截面被两个铆钉孔削弱，应当校核，有
＜
结果表白，连接板安全。

第三章 扭转
【例题3.1】 传动轴如图3.9(a)所示，其转速，功率由A 轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：，，及。试作轴的扭矩图。

图3.9 例题3.1图
解：
(1) 计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为

(2) 由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面2—2上的扭矩。沿截面2—2将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图3.9(c)可知
，
得
同理，在BC段内
在AD段内
(3) 根据以上数据，作扭矩图(如图3.1(d)所示)。由扭矩图可知，发生在段内，其值为。
【例题3.2】 某传动轴，轴内的最大扭矩，若许用切应力=50MPa，试按下列两种方案拟定轴的横截面尺寸，并比较其重量。
(1) 实心圆截面轴的直径。
(2) 空心圆截面轴，其内、外径之比为。
解：
(1) 拟定实心圆轴的直径。由强度条件(3-13)式得

而实心圆轴的扭转截面系数为
那么，实心圆轴的直径为

(2) 拟定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空心圆轴的外径为

而其内径为

(3) 重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，两者的重量之比等于其横截面之比，即

上述数据充足说明，空心轴远比实心轴轻。
【例题3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径，BC段直径。扭转力偶矩，，。已知材料的许用切应力，试校核该轴的强度。
解：
(1) 作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。
(2) 强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。
AB段 ＜
BC段 ＜

图3.18 例题3.3图
因此，该轴满足强度规定。
【例题3.4】 一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩 ，轴的内外直径之比。钢的许用切应力，切变模量 ，许可单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。

图3.19 例题3.4图
解：
(1) 求扭矩。用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得

(2) 根据强度条件拟定轴的外径。
由
和
得
(3) 根据刚度条件拟定轴的外径。
由
和
得

所以，空心圆轴的外径不能小于，内径不能小于。

第四章 弯曲内力
【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。
解：静定梁的段为基本梁或主梁，段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力；然后，取整体为研究对象，求出处的支反力，，。

图4.5 例题4.1图
(1) 取梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程
，
得

(2) 取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程
，
，
得

，
上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否对的，也可取梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。
【例题4.2】 梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知、，且，以及尺寸、、、和。试求梁在、点处横截面上的剪力和弯矩。
解：为求梁横截面上的内力——剪力和弯矩，一方面求出支反力和(如图4.8(a)所示)。由平衡方程
，
和
，
解得
，

图4.8 例题4.2图
当计算横截面上的剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其左段梁，并假定和均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程
，
可得

由 ，
可得

结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向对的，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算和以验算上述结果。
计算横截面上的剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其右段梁，并假定和均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程
，
可得

由 ，
可得

结果为负，说明与假定的指向相反()；结果为正()，说明假定的转向对的。将和代入上述各式即可拟定、截面的内力值。
【例题4.3】 如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度，几何尺寸如图所示。试求、两点处横截面上的剪力和弯矩。

图4.9 例题4.3图
解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面上的剪力和弯矩。

有三角形比例关系，可得 ， 则

【例题4.4】 如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。运用求内力的简便方法，考虑任意截面的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程：
(a)
(b)
由(a)式可见，剪力图与无关，是常值，即为水平直线，只需拟定线上一点，例如处，，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。
由式(b)可知，弯矩是的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需拟定线上两点，如处，，处，，即可绘出弯矩图(如图4.11(c)所示)。

图4.11 例题4.4图
【例题4.5】 如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为的均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：对于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，两支反力(如图4.12(a)所示)相等。

任意横截面处的剪力和弯矩方程可写成

由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线拟定线上两点，而抛物线需要拟定三个点以上。

图4.12 例题4.5图
由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，，而该截面上的；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，(正值，负值)。
【例题4.6】 如图4.13(a)所示的简支梁在点处受集中荷载力作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：一方面由平衡方程和分别算得支反力(如图4.13(a)所示)为
，
由于梁在点处有集中荷载力的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯矩方程均不相同，故需将梁分为和两段，分别写出其剪力和弯矩方程。

图4.13 例题4.6图
对于段梁，其剪力和弯矩方程分别为
(a)
(b)
对于段梁，剪力和弯矩方程为
(c)
(d)
由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.13(b)和图4.13(c)所示。
由图可见，在>的情况下，段梁任一横截面上的剪力值为最大，；而集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，；在集中荷载作用处左、右两侧截面上的剪力值不相等。
【例题4.7】 图4.14(a)所示的简支梁在点处受矩为的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶，即、处的约束反力为
，
由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表达，即
(a)
而弯矩则要分段建立。
段： (b)
段： (c)
由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于轴的直线。由(b)、(c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的合用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图4.14(b)和图4.14(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。若>，则最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，(负值)。

图4.14 例题4.7图
【例题4.9】 图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如图所示。试作刚架的内力图。
解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对象，这样就可以不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为
段：
段：
在段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。
根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19(b)、图4.19(c)和图4.19(d)所示。

(a) (b)
图4.19 例题4.9图

(c) (d)
图4.19 (续)
【例题4.10】 一端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载作用，如图4.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。
解：对于环状曲杆，应用极坐标表达其横截面位置。取环的中心为极点，认为极轴，并用表达横截面的位置(如图4.20(a)所示)。对于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的弯矩方程为
()
在上式所合用的范围内，对取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连接这些点，即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的截面上，其值为。

(a) (b)
图4.20 例题 4.10 图

第五章 弯曲应力
【例题5.1】 受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2()所示。试求当最大正应力为最小时的支座位置。
解：一方面作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示)，可见，支座位置直接影响支座或处截面及跨度中央截面上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小，即为最小。建立

图5.2 例题5.1图

得
由于应为正值，所以上式中根号应取正号，从而解得

【例题5.2】 跨长的铸铁梁受力如图5.3(a)所示。已知材料的拉、压许用应力分别为和。试根据截面最为合适的规定，拟定型截面梁横截面的尺寸(如图5.3(b)所示)，并校核梁的强度。

图5.3 例题5.2图
解：要使截面最为合理，应使梁的同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力(如 图5.3(c)所示)之比与相应的许用应力之比相等。由于和 ，并已知，所以
(a)
式(a)就是拟定中性轴即形心轴位置(如图5.3(b)所示)的条件。考虑到(如图5.3(b)所示)，即得
(b)
显然，值与横截面尺寸有关，根据形心坐标公式(见附录A)及如图5.3(b)中所示尺寸，并运用式(b)可列出

由此求得 (c)
拟定后进行强度校核。为此，由平行移轴公式(见附录A)计算截面对中性轴的惯性矩为

梁中最大弯矩在梁中点处，即

于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大压应力，并据此校核强度：

可见，梁满足强度条件。
【例题5.3】 试运用附录C的型钢表为如图5.4所示的悬臂梁选择一工字形截面。已知。

图5.4 例题5.3图
解：一方面作悬臂梁的弯矩图，悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为

应用式(5-7b)，计算梁所需的抗弯截面系数

由附录C型钢表中查得，号工字钢，其与算得的最为接近，相差不到%，这在工程设计中是允许的，故选号工字钢。
【例题5.4】 一外伸铸铁梁受力如图5.5(a)所示。材料的许用拉应力为，许用压应力为，试按正应力强度条件校核梁的强度。
解：(1) 作梁的弯矩图。
由图5.5(c)可知，最大负弯矩在截面上，其值为，最大正弯矩在截面上，其值为。

图5.5 例题5.4图
(2) 拟定中性轴的位置和计算截面对中性轴的惯性矩。横截面形心位于对称轴上，点到截面下边沿距离为

故中性轴距离底边139mm(如图5.5(b)所示)。
截面对中性轴的惯性矩，可以运用附录A中平行移轴公式计算。

(3) 校核梁的强度。由于梁的截面对中性轴不对称，且正、负弯矩的数值较大，故截面与都也许是危险截面，须分别算出这两个截面上的最大拉、压应力，然后校核强度。
截面上的弯矩为负弯矩，故截面上的最大拉、压应力分别发生在上、下边沿(如图5.5(d)所示)，其大小为

截面E上的弯矩为正弯矩，故截面E上的最大压、拉应力分别发生在上、下边沿(如图5.5(d)所示)，其大小为

比较以上计算结果，可知，该梁的最大拉应力发生在截面下边沿各点，而最大压应力发生在截面下边沿各点，作强度校核如下。

所以，该梁的抗拉和抗压强度都是足够的。
【例题5.5】 如图5.12所示两端铰支的矩形截面木梁，受均布荷载作用，荷载集度。已知木材的许用应力，顺纹许用应力，设。试选择木材的截面尺寸，并进行切应力的强度校核。

图5.12 例题5.5图
解：
(1) 作梁的剪力图和弯矩图。木梁的剪力图和弯矩图如图5.12()和图5.12()所示。由图可知，最大弯矩和最大的剪力分别发生在跨中截面上和支座，处，其值分别为
，
(2) 按正应力强度条件选择截面。由弯曲正应力强度条件得

又因，则有

故可求得

(3) 校核梁的切应力强度。最大切应力发生在中性层，由矩形截面梁最大切应力公 式(5-9)得

故所选木梁尺寸满足切应力强度规定。

第六章 弯曲变形
【例题6.1】 如图6.4所示一弯曲刚度为的简支梁，在全梁上受集度为的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并拟定其最大挠度和最大转角。
解：由对称关系可知梁的两支反力为

梁的弯矩方程为
(a)
将式(a)中的代入式(6-1b)

图6.4 例题6.1图
再通过两次积分，可得
(b)
(c)
在简支梁中，边界条件是左、右两铰支座处的挠度均等于零，即