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《数理统计》考试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ .解：．
2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ .
解：．
3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．
4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．
5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ .解：．
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ .
（A）； （B）；
（C）； （D）.
2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ .
（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.
3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ .
（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；
（C）其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .
（A）； （B）；
（C）； （D）与相互独立.
5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ .
（A）接近0时回归效果显著； （B）接近1时回归效果显著；
（C）接近时回归效果显著； （D）前述都不对.
三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明
，其中.
证明：易知
， ．
由定理可知
， ．
由独立性和分布的可加性可得
．
由与得独立性和分布的定义可得
．
四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解：（1），用代替，所以
．
（2），所以该估计量是无偏估计．
五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．
解：

当时，，令，得
．
六、（本题10分）设总体的密度函数为 未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．
证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
，
的的无偏估计方差的C-R下界为
．
另一方面
， ，
即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．
七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？
参考数据: , , , ．
解：（1），则应有：
，
具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．
（2）新设 由 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.
解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知
， ，
由分布的定义可得
．
对于置信度，查分布表找和使得
，
即
，
所求的置信度为的置信区间为 ．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．
解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．